“化整為零”在概率論教學(xué)中的應(yīng)用

胡平 蔡希文

化整為零思想就是將一個(gè)事物作為一個(gè)整體，每個(gè)整體都是由若干個(gè)不同且不可分割的部分構(gòu)成的，學(xué)生要想對(duì)這個(gè)整體進(jìn)行了解和探索，就要將整體進(jìn)行切割，細(xì)致了解不同部分的具體情況，從而了解整體問題，由此可見，“化整為零”在概率論教學(xué)中的應(yīng)用，就是將概率論問題的整體進(jìn)行細(xì)化，從多個(gè)個(gè)體角度出發(fā)解決問題，以多個(gè)小問題促進(jìn)概率論問題的解決。本文結(jié)合實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，分別從引入概率定義、突擊問題本質(zhì)、解決實(shí)際問題的角度出發(fā)，深入探究“化整為零”在概率論教學(xué)中的應(yīng)用這一課題。

“化整為零”是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是數(shù)學(xué)界學(xué)者們探究數(shù)學(xué)問題的運(yùn)用方法，在笛卡爾的《方法論》中提出“將復(fù)雜的問題看做一個(gè)整體，盡可能多的將整體問題分化為若干個(gè)小問題，逐個(gè)擊破，從而解決復(fù)雜問題”，這句話既是“化整為零”思想在數(shù)學(xué)問題探究中應(yīng)用的證明，又直接表明了“化整為零”在數(shù)學(xué)問題中的實(shí)際應(yīng)用技巧與方法。概率論是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要組成部分，也是經(jīng)典的數(shù)學(xué)思想問題，學(xué)生在學(xué)習(xí)概率論時(shí)常常會(huì)遇到一些難以分析的問題，教師在概率論的教學(xué)過程中引進(jìn)“化整為零”思想，首先可以結(jié)合具體數(shù)學(xué)課例引入概率定義;然后要認(rèn)真觀察重點(diǎn)突擊問題本質(zhì)，逐個(gè)突破知識(shí)點(diǎn)并進(jìn)一步探究問題本質(zhì)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維;最后要著重培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。

1 化整為零第一步，結(jié)合具體數(shù)學(xué)課例引入概率定義

數(shù)學(xué)教師要始終給學(xué)生灌輸“發(fā)現(xiàn)問題、探究問題、解決問題”的良好數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維，引導(dǎo)學(xué)生通過“觀察—探究—解決”等一系列數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維，促使學(xué)生找到科學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。在概率論的教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師要引進(jìn)“化整為零”思想，第一步就是要結(jié)合具體的概率論知識(shí)點(diǎn)與數(shù)學(xué)課例，通過講解案例的方法引入概率定義，加深學(xué)生對(duì)概率論知識(shí)點(diǎn)的理解，提高課堂教學(xué)效率。教師引進(jìn)課例可以通過兩種方法，第一種方法是建設(shè)課堂教學(xué)情境，將概率論知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用場(chǎng)景無限貼合學(xué)生的日常生活，從而引進(jìn)概率論知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生對(duì)概率論知識(shí)的應(yīng)用產(chǎn)生直觀感受，提升學(xué)生對(duì)概率論知識(shí)的接受程度和理解程度;第二種方法就是利用多個(gè)概率論事例進(jìn)行而對(duì)比，引發(fā)學(xué)生的思想，讓學(xué)生積極主動(dòng)的探究不同案例之間的聯(lián)系，最終引出相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，避免學(xué)生產(chǎn)生知識(shí)點(diǎn)混淆的情況。

以《全概率公式》課堂教學(xué)為例，數(shù)學(xué)教師可以根據(jù)全概率知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)目標(biāo)“了解并掌握全概率公式的適用范圍、基本步驟及其具體運(yùn)用”及全概率知識(shí)點(diǎn)的特性設(shè)計(jì)教學(xué)場(chǎng)景“在我們的日常生活中，很多人都有購買彩票或者是刮刮樂的經(jīng)歷，那么我們知道無論是先購買彩票還是后購買彩票，其實(shí)每個(gè)人所購買彩票的中獎(jiǎng)概率均等的，那么請(qǐng)同學(xué)們思考這是為什么？”、“那么刮刮樂的中獎(jiǎng)概率也是如此嗎？他們有什么不同？哪里不同？”，通過這種方式讓學(xué)生產(chǎn)生熟悉感，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與探究熱情，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“彩票與刮刮樂的中獎(jiǎng)概率”進(jìn)行深入探究并思考，促使學(xué)生在“彩票”的問題中得出“設(shè)實(shí)驗(yàn)E的樣本空間為S，A為E的事件，B1，B2，...，Bn為S的一個(gè)劃分，且P（Bi）>0（i=1，2，...，n），則P（A）=P（A|B1）*P（B1）+P（A|B2）*P（B2）+...+P（A|Bn）*P（Bn）”的全概率公式定義。這種結(jié)合具體數(shù)學(xué)課例引入概率定義教學(xué)方法，不僅可以幫助學(xué)生明確全概率知識(shí)點(diǎn)，加深學(xué)生對(duì)全概率知識(shí)點(diǎn)的理解，還能直接告訴學(xué)生全概率公式的應(yīng)用基礎(chǔ)，提高學(xué)生對(duì)全概率理論的應(yīng)用能力。

2 化整為零第二步，認(rèn)真觀察重點(diǎn)突擊問題本質(zhì)

2.1 化繁為簡，逐個(gè)突破知識(shí)點(diǎn)

數(shù)學(xué)教師在概率論的教學(xué)中，要重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生“探究問題”的能力，引導(dǎo)學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維與邏輯思維能力，將復(fù)雜的問題簡單化，分解復(fù)雜問題，優(yōu)先解決分散的小問題，從而解決復(fù)雜問題，提高解決問題的效率。教師在教學(xué)過程中可以有計(jì)劃、有目的的引導(dǎo)學(xué)生逐漸樹立“化整為零”的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生將概率論問題中的小問題單獨(dú)抽取并解決，降低概率論問題的難度，樹立概率論問題的解決思路與知識(shí)點(diǎn)脈絡(luò)。

以《全概率公式》的實(shí)際教學(xué)為例，教師要明確運(yùn)用“化整為零”的第二步，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察全概率公式中的問題，將復(fù)雜問題中的小知識(shí)點(diǎn)分別提煉出來，如：隨機(jī)試驗(yàn)A的樣本空間為Ω，若B1、B2、B3、···Bn···為A的一組事件，并且分別滿足以下條件“具備完全性、具備非負(fù)性、具備互不相容性”，則對(duì)于A的任意事件C，有P（C）=P（B）P（C|B）。在這組課題中，“P（C）=P（B）P（C|B）”就是我們課本教材中的P（B）=P（A）P（B|A），就是正在學(xué)習(xí)的全概率公式，教師引導(dǎo)學(xué)生將全概率公式設(shè)立為樣本Ω，將Ω劃分為B1、B2、B3、···Bn···，就是將復(fù)雜事件A劃分成若干個(gè)小時(shí)間，然后在通過概率的加法公式給出結(jié)果，優(yōu)先解決這些小問題的計(jì)算，從而解決復(fù)雜問題。

2.2 探究問題本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)邏輯思維

數(shù)學(xué)教師將“化整為零”思想引進(jìn)概率論教學(xué)中，在引導(dǎo)學(xué)生探究問題本質(zhì)時(shí)，除了要幫助學(xué)生樹立“逐個(gè)擊破”的思維，還要帶領(lǐng)學(xué)生探析概率論的問題本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力，提高課堂效率。

以全概率公式以及分布函數(shù)的課堂教學(xué)為例，在全概率定義中，很多知識(shí)點(diǎn)的形式接復(fù)雜，但是基本是較為簡單，教師在教學(xué)的過程中可以引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察其復(fù)雜的表面形式，如：“設(shè)T是一個(gè)隨機(jī)變量，稱F（t）=P{T≤t}”，讓學(xué)生通過表面形式分析問題的本質(zhì)，從而找到更好的問題解決方法，比如：在離散型的變量計(jì)算中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在計(jì)算隨機(jī)變量的分布函數(shù)時(shí)引進(jìn)“化整為零”數(shù)學(xué)思維，尋找能夠滿足特定條件的pij，先求和，然后在給出分布函數(shù)的表達(dá)公式。

3 化整為零第三步，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力

概率論不僅僅是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的重要問題，也是我們?nèi)粘Ｉ钪械某Ｒ妴栴}，數(shù)學(xué)教師可以在概率論的課堂教學(xué)中引進(jìn)日常工作、生活中的一些小問題，讓學(xué)生通過解決實(shí)際生活問題的方式練習(xí)概率論的具體應(yīng)用方法，提升學(xué)生對(duì)概率論知識(shí)點(diǎn)的掌握與理解，循序漸進(jìn)的培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用概率論知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。

在我們的日常生活中，有很多場(chǎng)景應(yīng)用到了概率論問題，如上述提到的彩票中獎(jiǎng)問題、超市排隊(duì)結(jié)賬速度問題、醫(yī)院體檢問題，等等。以《貝葉斯公式及其應(yīng)用》的課堂教學(xué)為例，教師可以根據(jù)貝葉斯公式的特性及課堂教學(xué)目標(biāo)引進(jìn)生活實(shí)際問題“血液化驗(yàn)問題”，“在學(xué)校某項(xiàng)血液化驗(yàn)中，帶病菌的學(xué)生檢出陽性（概率為0.95），但會(huì)存在1%的誤診概率”，設(shè)定這種病菌的發(fā)病率是0.5%，那么問在已知體檢結(jié)果為陽性的情況下，此學(xué)生的患病概率是多少？在這個(gè)生活問題中，結(jié)果是“陽性屬性病人”，而能夠被確診為陽性有兩種可能，一種是確實(shí)患病的學(xué)生，另一種是被誤診的健康學(xué)生，教師要讓學(xué)生明確這兩種可能，引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考“帶菌學(xué)生的發(fā)生概率是P（帶菌︱陽性），誤診病人的發(fā)生概率是P（不帶菌︱陽性）”，進(jìn)一步確定B={陽性}，A1={不帶菌}、A2={帶菌}，由此讓學(xué)生根據(jù)這個(gè)思路對(duì)此問題進(jìn)行解決。

這種生活中的小問題能夠在很大程度上激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，誘使學(xué)生積極主動(dòng)的與教師保持思維同步，按照教師設(shè)定的路線解決生活問題，加深對(duì)概率論定義、使用方法、基本理論等知識(shí)點(diǎn)的理解。

4 結(jié)語

總而言之，概率論問題是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要問題，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生涯中的重點(diǎn)與難點(diǎn)，教師要結(jié)合實(shí)際情況，根據(jù)概率論中不同知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容適當(dāng)引進(jìn)“化整為零”思想，引導(dǎo)學(xué)生先了解問題整體，再將整體分成若干個(gè)小重點(diǎn)，逐一解決，從而解決整體問題，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。教師在概率論教學(xué)過程中引進(jìn)“化整為零”數(shù)學(xué)思想可以有效改善概率論知識(shí)點(diǎn)的枯燥感，提升學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的邏輯思維能力，促進(jìn)學(xué)生對(duì)概率論知識(shí)的掌握。

（作者單位：信陽農(nóng)林學(xué)院）