一題多解在二重積分計(jì)算中的應(yīng)用

摘要：本文以二重積分的計(jì)算為例，闡述了一題多解這種思維在二重積分計(jì)算中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：二重積分;一題多解;發(fā)散思維

中圖分類號(hào)：G642

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1672 -1578（ 2019） 08 - 02272 - 01

數(shù)學(xué)是思維的體現(xiàn)，解決問題是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的，因而如何通過解題活動(dòng)來培養(yǎng)學(xué)生思維能力和創(chuàng)新能力，應(yīng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的中心問題。過多盲目地做題，不僅不會(huì)促進(jìn)思維能力的發(fā)展、技能的形成，反而容易使學(xué)生疲勞，對(duì)數(shù)學(xué)提不起興趣，而一題多解無疑是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)發(fā)散思維品質(zhì)和綜合運(yùn)用知識(shí)能力的一種十分有效的方法。

1.理論依據(jù)[1]

二重積分是高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)的重要部分，二重積分的計(jì)算是教學(xué)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)。教材主要介紹了計(jì)算二重積分的三種一般方法：化為直角坐標(biāo)系下的二次積分、化為極坐標(biāo)系下的二次積分和換元法。下面給出一道例題的多種計(jì)算方法，使學(xué)生進(jìn)一步掌握二重積的各種計(jì)算方法，達(dá)到知識(shí)的融會(huì)貫通。

2.應(yīng)用舉例[2-3]

計(jì)算I=∫∫sinx/xdxdy，其中積分區(qū)域D是由直線y=x和拋線物y=x2所圍成。

基于二重積分的基本計(jì)算方法，將二重積分化為兩個(gè)定積分。那么涉及到此二重積分應(yīng)化為先對(duì)x的定積分，還是先對(duì)y的定積分，而這取決于積分區(qū)域和被積函數(shù)兩方面。畫圖可知，積分區(qū)域既是x—型區(qū)域，同時(shí)也是y型區(qū)域，再來看被積函數(shù)sinx/y，如果先對(duì)x積分，此函數(shù)的原函數(shù)是不容易求出來的，事實(shí)上，它的原函數(shù)是不能用初等函數(shù)表示出來的。那么我們嘗試將此二重積分化為先對(duì)x積分后y對(duì)積分的二次積分。我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)先對(duì)y積分代入上下限后，可以得到x-X2，然后與sinx/x作乘積后得到sinx - xsinx，而此函數(shù)對(duì)x積分，我們是特別容易求得的。

解1：由圖1可知，若看成是X—型區(qū)域，積分區(qū)域D可化成以下二次積分

最后容易求出結(jié)果I=1 - sinl。

若積分區(qū)域看成是Y一型區(qū)域，化成二次積分

，由于smx不易求出原函數(shù)，Y一型區(qū)域進(jìn)行求解看似行不通，但是我們可以進(jìn)行知識(shí)的遷移。在求不定積分的時(shí)候我們有學(xué)過一種方法是分部積分法，那么二重積分有類似方法嗎？事實(shí)上，答案是確定的。具體可以參考文獻(xiàn)2。

解2：由分部積分公式，得最后容易求得結(jié)果I=1 - sinl。

對(duì)于sinx/x不易求出原函數(shù)的問題，還有其他方法解決嗎？我們在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)第十二章無窮級(jí)數(shù)當(dāng)中有一節(jié)《函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用》，從中我們可以有所啟發(fā)，那就是可以將函數(shù)化為冪級(jí)數(shù)進(jìn)行計(jì)算。

解3：應(yīng)用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)，因?yàn)?/p>

利用冪級(jí)數(shù)對(duì)和函數(shù)積分可以逐項(xiàng)積分的性質(zhì)，有

由此，可以看出通過一題多解，不僅能夠幫助學(xué)習(xí)者建立新知識(shí)與原有知識(shí)的橋梁，還可以通過學(xué)習(xí)后面的知識(shí)來解決以前遺留下來的問題，進(jìn)行知識(shí)的融合。

除此之外，我們知道格林公式建立了二重積分和第二類曲線積分（對(duì)坐標(biāo)的曲線積分）的聯(lián)系，所以我們可以將二重積分轉(zhuǎn)換成第二類曲線積分來計(jì)算。

解4：利用格林公式計(jì)算。

取，則P=

，Q=O，則

。L是指平面區(qū)域D的邊界曲線，分為l1和l2，l1是指拋物線y= X2從（0，0）到（1，1）的一段弧，l2是指直線y=x從（1，1）到（0，0）的一條有向線段，代人格林公式，得

3.結(jié)語

通過一題多解的訓(xùn)練，可以加深學(xué)生對(duì)二重積分計(jì)算的理解，刺激其固有的思維模式，進(jìn)行各種知識(shí)的融會(huì)貫通，從而培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的品質(zhì)，提高學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué)（第七版）[M].北京：高等教育出版社.2014.

[2] 張肖金，薩學(xué)思.二重積分中的分部積分公式[J].西北師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1998，34（3），76 - 80.

[3] 馬艷麗，丁健，李海霞，關(guān)于二重積分計(jì)算法的補(bǔ)充[J].玉溪師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2016，32（4）：16 -20.

[4]周后卿，積分中的一題多解與思維訓(xùn)練[J].廣西教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2014（2）：158 - 160.

作者簡介：段文梅（1990-），女，山西大同人，碩士，助教，研究方向：無窮維動(dòng)力系統(tǒng)及高等數(shù)學(xué)。