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    蝸牛運(yùn)動原理分析

    2019-10-20 07:21:57何京松
    科技風(fēng) 2019年27期
    關(guān)鍵詞:牛頓流體

    何京松

    摘?要:蝸牛,一種無脊椎生物,通過一種不尋常的機(jī)械原理驅(qū)動自身。本文結(jié)合生物學(xué)家的研究成果,針對蝸牛運(yùn)動介紹一種逆行波模型:在運(yùn)動過程中,蝸牛身體底部軟體足將產(chǎn)生一個逆行波,同時會在承載物與足之間分泌一層粘液(在本模型中假定為牛頓流體),正是波狀足與粘液層的相互作用,給蝸牛的前行提供了足夠的驅(qū)動力。

    關(guān)鍵詞:蝸牛運(yùn)動;逆行波;牛頓流體

    中圖分類號:O313文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

    蝸牛是自然界的一種常見生物,其運(yùn)動規(guī)律一向是國內(nèi)外科學(xué)家感興趣的話題,[1-3]目前對蝸牛本身運(yùn)動規(guī)律的研究已經(jīng)趨于完善:通過波狀足與自身分泌粘液的相互作用,產(chǎn)生一個與足部波傳播方向相反的推進(jìn)力,從而實(shí)現(xiàn)自身在承載物上的移動。本文依據(jù)這一研究成果,通過對蝸牛運(yùn)動實(shí)際模型的簡化,介紹了一種逆行波模型,可以有效地計算蝸牛運(yùn)動速度。

    將蝸牛運(yùn)動模型簡化為二維模型,記蝸牛前進(jìn)速度為V^s,蝸牛底部足波動速度為V^w,方向與蝸牛前進(jìn)方向相反,波長為λ,振幅為a。為消除時間項(xiàng),以蝸牛足部波形為參照系,以承載面為x^軸,蝸牛前進(jìn)方向?yàn)閤^軸正方向,以垂直于蝸牛前進(jìn)方向?yàn)閥^軸,由承載面指向蝸牛,則粘液層沿x^軸的厚度為:

    h^=h^(x^)(1)

    因此,相對于波參照系,蝸牛速度為V^w,承載面速度為V^w-V^s。

    當(dāng)粘液層平均厚度H^遠(yuǎn)小于波長λ時,N-S方程可簡化為標(biāo)準(zhǔn)潤滑方程,[4]在x^與y^方向的動量守恒方程可簡化為:

    p^x^=μ2u^y^2,p^y^=0(2)

    其中p^為壓強(qiáng),μ為粘性系數(shù),u^為x^方向分速度。令x^=λx,y^=H^y,u^=V^wu,p^=λμV^w/H^2p,h^=H^h,V^s=V^wVs,則x^方向動量守恒方程變?yōu)椋?/p>

    dpdx=2uy2(3)

    對此方程采用無滑移邊界條件:

    u(0)=1-Vs,u(h)=1(4)

    對方程(3)積分兩次可得到:

    u(x,y)=12dpdxy(y-h)+Vs(yh-1)+1(5)

    在穩(wěn)態(tài)時,粘液層流量Q=∫h0udy在x方向應(yīng)保持不變,對方程(5)從0到h進(jìn)行積分,并求解出壓力梯度可得:

    dpdx=12h3[h(1-12Vs)-Q](6)

    由于h(x)以波長1周期性變化,故有p(1)=p(0),即:

    ∫10dpdxdx=p(1)-p(0)=0(7)

    結(jié)合方程(7),對方程(6)在一個波長內(nèi)進(jìn)行積分,可解得:

    Q=(1-12Vs)I2I3(8)

    其中,Ij=∫10dxhj。因此,只要給定波形h(x),即可計算出流量Q,壓力梯度dp/dx,以及x方向的速度分布。

    最后,為了求解蝸牛速度,需在蝸牛足部建立力平衡方程。粘液對蝸牛的牽引力為F=σ^n^,其中σ^為粘液應(yīng)力張量,n^為外法線單位向量。在一個周期內(nèi)對x進(jìn)行積分,并應(yīng)用力平衡方程,[5-6]可得:

    ∫10pdhdx+uyy=hdx=0(9)

    其中第一項(xiàng)為蝸牛足部所受壓力,第二項(xiàng)為粘性力。結(jié)合方程(6)對第一項(xiàng)進(jìn)行分部積分可得:

    3QI2=(3-2Vs)I1(10)

    聯(lián)立方程(8)(10)并定義一個形狀函數(shù):

    A≡I22I1I3(11)

    可求出蝸牛速度的表達(dá)式:

    Vs=6(1-A)4-3A(12)

    綜上,只要給定蝸牛的足部形狀,便可估算出蝸牛的運(yùn)動速度。

    以上分析僅針對水平承載面,在方程(6)中加入重力分力便可應(yīng)用于傾斜承載面情況:

    -Wsin=∫10pdhdx+uyy=hdx(13)

    其中φ為承載面傾斜角,W=H^mg/μV^wλb為無量綱重力,b為z^方向的蝸牛厚度。求解方程(13)可得:

    Vs=6(1-A)4-3A-WsinI1(4-3A)(14)

    由此方程可知,只需6(1-A)W/I1蝸牛便可以翻越任何障礙物。

    通過以上分析我們可以得出結(jié)論,蝸牛的前進(jìn)速度與底部足波形息息相關(guān),其與波速的比值由底部足波形、蝸牛重力以及承載面傾斜角等共同決定。

    參考文獻(xiàn):

    [1]M.Denny.The role of gastropod pedal mucus in locomotion[J].Nature(London),1980,285:160-161.

    [2]R.H.Ewoldt,C.clasen,A.E.Hosoi.Rheological fingerprinting of gastropod pedal mucus and synthetic complex fluids for biomimicking adhesive locotion[J].Soft Matter,2007,3:634-643.

    [3]E.lauga,A.E.Hosoi.Tuning gastropod locomotion:Modeling the influence of mucus rheology on the cost of crawling[J].Phys.Fluids 18,113102(2006).

    [4]O.Reynolds.On the theory oflubrication and its applications to Mr.Beauchamp Tower,s experiments,including an experimental determination of the xiscosity of olive oil[J].Philos.R.Soc.London 177,157(1886).

    [5]J.M.Skotheim,L.Mahadevan.Soft lubrication[J].Phys.Rev.Lett 92,245509(2004).

    [6]J.Ashmore,C.del Pino,T.Mullin.Cavitation in a lubrication flow between a moving sphere and a boundary[J].Phys.Rev.Lett 94,124501(2005).

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