復(fù)雜邊界矩形板聲輻射特性研究

隗世松 樸金生 張旭萬(wàn) 王剛

摘?要：本文以矩形板-重流體（水）聲振耦合為研究對(duì)象，探究了任意安裝邊界條件下板輻射聲問題。板的振動(dòng)位移函數(shù)通過(guò)譜幾何法獲取，即假設(shè)板的振動(dòng)位移由傅里葉余弦級(jí)數(shù)添加相應(yīng)的附加項(xiàng)，其中余弦項(xiàng)可用于分析四邊固支板的振動(dòng)模態(tài)，而附加項(xiàng)的添加則是處理在非固支邊界時(shí)僅用余弦項(xiàng)帶來(lái)的邊界不連續(xù)問題，同時(shí)附加項(xiàng)能高效率的提高結(jié)果的收斂性。本文建立了板-水聲振耦合模型，通過(guò)將流體對(duì)板的做功加入拉格朗日方程，并同時(shí)利用瑞麗輻射聲積分公式來(lái)建立二者強(qiáng)耦合模型，該耦合模型可用于分析板在水或空氣中的輻射聲問題。

關(guān)鍵詞：矩形板;重流體;聲振耦合;聲輻射

板結(jié)構(gòu)的輻射聲問題一直是眾多學(xué)者的研究對(duì)象，并得到了深入的研究。當(dāng)前大量的研究工作集中于板向空氣中輻射噪聲模型，而該類問題無(wú)需考慮聲波對(duì)板的反作用;但當(dāng)板浸入在水中或其他重流體中時(shí)，流體對(duì)板的發(fā)作用需加以考慮。本文以此為研究對(duì)象，展開相應(yīng)的研究工作。

板的輻射聲問題得到一定研究，這其中包括板同聲場(chǎng)的耦合以及板的隔聲特性。在板的隔聲性能分析上，Sabin[1]分析了板中含縫隙時(shí)結(jié)構(gòu)的隔聲特點(diǎn)，London[2]研究了不同入射波情況下板的隔聲性能，為研究入射聲功率問題，部分學(xué)者[3]，[4]通過(guò)角度積分來(lái)實(shí)現(xiàn)該功率的數(shù)值計(jì)算。當(dāng)聲波達(dá)到同系統(tǒng)耦合頻率相同時(shí)，板的隔聲性能大大降低。[5]-[7]當(dāng)結(jié)構(gòu)的邊界條件發(fā)生變化時(shí)，板的隔聲性能將相應(yīng)的發(fā)生變化，其中Chiello[8]分析了不同邊界情況下系統(tǒng)的隔聲性，為結(jié)構(gòu)邊界的優(yōu)化點(diǎn)明方向。

當(dāng)前針對(duì)水中的板輻射問題未得到充分研究，且任意安裝邊界條件下板的水中聲輻射問題未得到實(shí)質(zhì)研究，因此本文以此為研究對(duì)象，展開相應(yīng)的理論研究，并驗(yàn)證本方法的準(zhǔn)確性。

1 理論推導(dǎo)

圖1所示為矩形薄板，不考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，板的尺寸為a×b×h，為分析不同邊界下板的振動(dòng)情況，在板的四周采用彈簧進(jìn)行支撐，彈簧剛度分別是：橫向彈簧kx0，kxa，ky0，kyb和扭轉(zhuǎn)彈簧Kx0，Kxa，Ky0，Kyb，當(dāng)板收到點(diǎn)力或面力F（x，y）作用時(shí)，則相應(yīng)的拉格朗日泛函為：

Lplate=Uplate-Tplate-WF（1）

其中Upanel、Tpanel和WF的采用是為了得到勢(shì)能、動(dòng)能和外力功。

對(duì)于板的振動(dòng)位移，本文采用傅里葉級(jí)數(shù)的譜分析方法。板各點(diǎn)的位移可以表示為：

W（x，y）=∑Mm=0∑Nn=0Amncosλamxcosλbny

+∑4j=1（ξjb（y）∑Mm=0cjmcosλamx

+ξja（x）∑Nn=0djncosλbny）（2）

為簡(jiǎn)便計(jì)算，本文將帶有余項(xiàng)的傅里葉級(jí)數(shù)均展開成傅里葉余弦形式，即

W（x，y）=∑Mm=0∑Nn=0A-mncosλamxcosλbny（3）

其中：

A-mn=Amn+∑4l=1（β～lnclm+α～lmdln）（4）

系數(shù)α～lm和β～ln可以通過(guò)函數(shù)ξjb（y） 和ξja（x）的傅里葉余弦展開求得。

將公式（2），（3）和（4）代入拉格朗日方程（1），并采用瑞麗-利茲方法，即可獲取板的系統(tǒng)方程，如：

Kp-ω2MpA=F（5）

其中Kp，Mp，F(xiàn)和A分別表示剛度矩陣、質(zhì)量矩陣、力矩陣和傅里葉系數(shù)矩陣，該方程的求解將獲得傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)，即得到了板上各處的振動(dòng)位移。

為獲取板外輻射聲場(chǎng)，本文采用瑞麗積分，設(shè)板表面的輻射聲壓為P（x，y，t）=p（x，y）ejωt，則p（x，y）可表示為：

p（x，y）=-iωρ02π∫b0∫a0w·（x′，y′）eikRRdx′dy′（6）

其中w·為板的表面振速，可以表示為w·=jωW（x，y）。k=ω/c為波數(shù)，R=（x-x′）2+（y-y′）2表示振動(dòng)點(diǎn)和聲壓點(diǎn)的直線距離?？紤]聲壓分布的任意性，則可將板表面聲壓幅值表示為：

p（x，y）=∑Mm=0∑Nn=0Pmncosλamxcosλbny（7）

將公式（7）代入（6），并利用傅里葉級(jí)數(shù)的正交性，兩邊同時(shí)乘以cosλamxcosλbny，并對(duì)板區(qū)域進(jìn)行積分，表示成矩陣形式，則：

κP=ω2QA（8）

其中P是聲壓的傅里葉系數(shù)矩陣形式

結(jié)合方程（5）和（8），則此耦合系統(tǒng)的振動(dòng)和聲輻射響應(yīng)可由下式計(jì)算得到：

通過(guò)觀察公式（9）可以看出，板振動(dòng)幅值系數(shù)不受板外聲場(chǎng)的影響，即本模型為弱耦合模型，若考慮輻射聲壓對(duì)于板振動(dòng)的影響，則這種情況為強(qiáng)耦合，后文將對(duì)其進(jìn)行相應(yīng)分析。

板的輻射聲功率可以表示為：

W=12Re∫b0∫a0I（x，y）dxdy（10）

其中I（x，y）=Re（w·*（x，y）p（x，y））為板表面聲強(qiáng)，Re和*分別表示實(shí)部和復(fù)共軛。

板的輻射阻抗為：

Rrad=W〈w·2〉（11）

其中〈w·2〉表示板的平方振速。下文將采用實(shí)例來(lái)對(duì)板的聲輻射特性加以分析。

2 結(jié)果驗(yàn)證及分析

為驗(yàn)證本文所提模型的正確性，首先選取文獻(xiàn)[9]中的算例對(duì)本文進(jìn)行驗(yàn)證，板的幾何尺寸為邊長(zhǎng)a=1 m，b=1 m，厚度h=1 mm，材料楊氏模量E=2×1011 Pa，密度7800 kg/m3。圖2為板的輻射效率，通過(guò)圖2可以看出，本方法計(jì)算輻射功率所得結(jié)果同文獻(xiàn)吻合良好。

本文以板的彈性阻尼為研究對(duì)象，分別計(jì)算了阻尼值為0001、0.01、0.03、0.1和0.3時(shí)板的輻射功率、振速和平均輻射效率，如圖3-5所示，通過(guò)圖可以看出，當(dāng)板的阻尼增大時(shí)，板的輻射功率降低，但輻射效率提高，這跟板的近邊界效應(yīng)有關(guān)。

3 結(jié)論

本文以水中板的聲輻射為研究對(duì)象，分析了任意邊界條件板的輻射聲問題，并通過(guò)同文獻(xiàn)結(jié)果比對(duì)驗(yàn)證了本方法的準(zhǔn)確性。本文分析了板在不同的阻尼條件下的聲輻射特性，發(fā)現(xiàn)高阻尼情況會(huì)降低板的輻射功率，但是板的輻射效率將得到提高。

參考文獻(xiàn)：

[1]Sabine P E.Weight as a determining factor in sound transmission.The Journal of the Acoustical Society of America，1932，4（1A）：38-43.

[2]London A.Transmission of reverberant sound through single walls.J.Research Nat.Bur.of Stand，1949，42（605）.

[3]Ungar E E，Beranek L L.Noise and vibration control.McGraw-Hill，New York，1971.

[4]Kang H J，Ih J G，Kim J S，et al.Prediction of sound transmission loss through multilayered panels by using Gaussian distribution of directional incident energy.The Journal of the Acoustical Society of America，2000，107（3）：1413-1420.

[5]Cremer L.Theory of the sound attenuation of thin walls with oblique incident.Architectural Acoustics，Bechmark papers in Acoustics，1942，10：367-399.

[6]Ljunggren S.Airborne sound insulation of thick walls.The Journal of the Acoustical Society of America，1991，89（5）：2338-2345.

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[8]Chiello O，Sgard F C，Atalla N.On the use of a component mode synthesis technique to investigate the effects of elastic boundary conditions on the transmission loss of baffled plates.Computers & structures，2003，81（28）：2645-2658.

[9]Nelisse H，Beslin O，Nicolas J.A generalized approach for the acoustic radiation from a baffled or unbaffled plate with arbitrary boundary conditions，immersed in a light or heavy fluid[J].Journal of Sound and Vibration，1998，211（2）：207-225.