移動荷載作用下多跨梁的振動特性研究

朱偉偉

摘? ?要：利用傳遞矩陣法，在隨荷載移動的動態(tài)坐標(biāo)系下建立了彈性地基上帶阻尼多跨梁的波傳播分析模型，分析了阻尼和失諧各自單獨作用以及同時存在對波動速度帶的影響。研究表明，阻尼和失諧均會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)中發(fā)生波動局部化，隨著阻尼和失諧程度的增大，波動衰減增強。在速度通帶內(nèi)，阻尼和失諧引起的效應(yīng)可以簡單疊加。對于同一阻尼系數(shù)和失諧水平，阻尼引起的衰減效應(yīng)明顯大于失諧所致。

關(guān)鍵詞：周期梁? 移動荷載? 失諧? 阻尼? 波動特性

中圖分類號：O327;TH113? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1674-098X（2019）04（c）-0063-03

實際工程中移動荷載經(jīng)常出現(xiàn)，并使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生強烈的振動以及顯著的變形，因此，研究結(jié)構(gòu)中移動荷載引起的波傳播問題得到了學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注，但以往的研究對象主要集中在均勻結(jié)構(gòu)中。

近年來，一些學(xué)者開始致力于研究諧調(diào)周期結(jié)構(gòu)中由移動荷載引起的波動傳播現(xiàn)象。Aldraihem和Baz[1]利用有限單元法和沖量參數(shù)激振法研究了恒定移動荷載作用下諧調(diào)周期階梯梁的動態(tài)穩(wěn)定性，研究發(fā)現(xiàn)通過調(diào)整階梯梁的空間間距可以改變結(jié)構(gòu)的某些振動模態(tài)，從而提高其穩(wěn)定性，且壓電驅(qū)動器的嵌入將會使結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定效果達(dá)到更佳。Ruzzene和Baz[2]針對軸對稱諧調(diào)周期加固圓柱殼，計算了傳遞矩陣的特征值，并給出了不同移動荷載速度和結(jié)構(gòu)尺寸變化對波傳播動力學(xué)的影響，指出周期結(jié)構(gòu)在移動荷載作用下存在傳播域和衰減域，周期性地加固結(jié)構(gòu)可以顯著改善殼體的動態(tài)穩(wěn)定性。Yu等[3]將該方法應(yīng)用到彈性地基上由兩種不同材料構(gòu)成的諧調(diào)周期復(fù)合管系統(tǒng)中，研究了恒定移動荷載作用下結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)振動波傳播，明確指出類似于頻域，速度域內(nèi)同樣存在振動帶隙，可以利用此特性控制移動載荷下波動的傳播。但是，實際工程結(jié)構(gòu)總是不可避免地同諧調(diào)周期結(jié)構(gòu)存在一定的偏差，稱之為失諧。失諧會顯著地影響周期結(jié)構(gòu)的動力特性[4-5]。對于帶阻尼失諧周期結(jié)構(gòu)，Bouzit和Pierre[6]以及王晶和于桂蘭[7]對比分析了頻域內(nèi)失諧和阻尼對多跨梁動力特性的影響，指出不同激振頻率下，阻尼和失諧引起的梁動力特性的變化規(guī)律相同。而到目前為止，關(guān)于帶阻尼失諧周期結(jié)構(gòu)由移動荷載引起的波傳播問題的研究很少涉及，因此有必要對其進(jìn)行研究。

本文由彈性地基上梁的垂向波動微分方程，建立了結(jié)構(gòu)中各跨在隨荷載移動的動態(tài)坐標(biāo)系下的動態(tài)剛度矩陣，并利用傳遞矩陣法得到了相鄰各跨的傳遞矩陣，進(jìn)而采用局部化因子分析了阻尼和失諧對波動局部化特性的影響，為周期多跨梁的振動控制提供了新的思路。

1? 多跨梁波動控制方程和傳遞矩陣

圖1為彈性地基上的多跨梁，荷載以速度沿梁移動。相鄰跨間通過線彈簧和抗彎彈簧與基礎(chǔ)相連，線彈簧剛度和抗彎彈簧剛度分別為Ks和Cs。

利用Winkler地基和Timoshenko梁理論[8]，阻尼采用復(fù)阻尼，則移動荷載下第j跨梁的彎曲波動微分方程可寫為

（1）

式中：wj和θj分別為垂向位移和橫截面轉(zhuǎn)角;A為截面面積;κ為截面幾何形狀系數(shù);I和ρ分別為截面慣性矩和密度;，E0為彈性模量，η為阻尼系數(shù)，為剪切模量;ν為泊松比。Kf為彈性地基剛度系數(shù);t為時間。為垂向外荷載，其沿著梁長度方向以勻速v0移動;F0為荷載幅值，δ為Delta函數(shù)。

引入隨荷載移動的動態(tài)坐標(biāo)系ζ

（2）

則垂向位移和轉(zhuǎn)角變?yōu)?/p>

（3）

考慮梁結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，式（1）中關(guān)于時間的偏導(dǎo)項等于零，則式（1）在動態(tài)坐標(biāo)系下可表示為

（4）

式（4）的解可寫成

（5）

式中：為常數(shù)，其值可以通過邊界條件求得;βn為系數(shù);為彎曲波數(shù)。

將式（5）代入微分方程式（4）中可到關(guān)于波數(shù)的特征方程

（6）

進(jìn)而可得4個彎曲波數(shù)和。

第j跨梁兩端的垂向位移和轉(zhuǎn)角邊界條件可表示為

（7）

將式（5）代入式（7）可得到節(jié)點由垂向位移和轉(zhuǎn)角構(gòu)成的向量δj和系數(shù)向量α間的關(guān)系

（8）

其中（n=1，2，3，4）。

第j跨梁兩端的剪切力和彎矩表達(dá)式可表示為

（9）

將式（5）代入式（9）得到節(jié)點由剪切力和彎矩所構(gòu)成向量Fj和系數(shù)向量α間的關(guān)系

（10）

其中，（n=1，2，3，4）。

由式（8）和式（10）可消除系數(shù)向量，得到節(jié)點力向量Fj與位移向量δj的關(guān)系

（11）

Kj為第j跨梁在動態(tài)坐標(biāo)系下彎曲波動的動態(tài)剛度矩陣。

第j跨梁的動態(tài)運動方程可由式（11）寫成如下形式

（12）

其中，為Kj中22階子矩陣。

經(jīng)調(diào)整，式（12）可表示為

（13）

進(jìn)一步，式（13）可寫為

（14）

其中，、分別為第j跨梁左、右兩端的狀態(tài)向量。

根據(jù)連續(xù)性條件，第j跨和第j+1跨間的狀態(tài)向量可表示為

（15）

上式可簡化為

（16）