建立不等式的初步探索

王紅梅

摘?要：不等關(guān)系和相等關(guān)系都是反映客觀世界中的量與量之間的最基本的數(shù)學(xué)關(guān)系，把不等式作為刻畫和描述現(xiàn)實(shí)世界中事物不等關(guān)系的一種工具，作為描述刻畫優(yōu)化問題的一種數(shù)學(xué)模型，它和方程一樣，都是解決數(shù)學(xué)問題的重要工具。不等式是高中數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)內(nèi)容，它始終貫穿在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)中，它與數(shù)、式、方程、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)有著密切的關(guān)系。不等式知識(shí)是從研究等量關(guān)系到研究現(xiàn)實(shí)生活中的不等量關(guān)系，讓大家認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界和實(shí)際生活的聯(lián)系，培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，還體現(xiàn)了一種由已知探求未知的研究方法，它建立了更完整的數(shù)學(xué)構(gòu)架，為解決數(shù)學(xué)問題提供了又一種工具，它更是數(shù)學(xué)思想的載體，充分展示了分類討論思想，方程與函數(shù)思想，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，最優(yōu)化思想等，因此它的地位特殊而且重要。

關(guān)鍵詞：不等式;不等關(guān)系;糖水不等式

一、 教材分析

本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書》數(shù)學(xué)必修5第三章。這是第一節(jié)“不等關(guān)系與不等式”第一課時(shí)。

在歷屆高考題中，有單純的不等式問題，也有很多的綜合題，主要是與函數(shù)、解析幾何、數(shù)列、三角函數(shù)的綜合。

本節(jié)課是不等式的起始課，重點(diǎn)是不等關(guān)系的建立和得到不等式的推導(dǎo)。通過學(xué)習(xí)“不等關(guān)系與不等式”，有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)不等關(guān)系及不等式的必要性和重要性。通過感受具體情境中的不等關(guān)系，可以激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生用數(shù)學(xué)研究不等關(guān)系的強(qiáng)烈愿望，并且為進(jìn)一步學(xué)習(xí)后面的內(nèi)容奠定良好的基礎(chǔ)。讓學(xué)生意識(shí)到：建立不等觀念，處理不等關(guān)系與處理等量問題同樣的重要。

二、 學(xué)情分析

學(xué)生在小學(xué)開始接觸不等式，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的大小比較，在初中繼續(xù)學(xué)習(xí)了不等式的一些基礎(chǔ)，了解了三個(gè)不等式的基本運(yùn)算性質(zhì)，會(huì)解一元一次不等式及簡(jiǎn)單的一元一次不等式組，可以用簡(jiǎn)單的不等關(guān)系來處理實(shí)際生活中的不等量的關(guān)系，和進(jìn)行簡(jiǎn)單的不等式的運(yùn)算和推理，能夠應(yīng)用數(shù)軸這個(gè)工具來表示對(duì)應(yīng)的不等式，能比較兩數(shù)的大小，有一定的抽象概括能力，數(shù)學(xué)建模能力和合情推理能力。但小學(xué)和初中的結(jié)論都是由特殊到一般歸納出來的，進(jìn)入高中階段后更要注重的是邏輯推理，而且有一部分學(xué)生在解決不等式問題時(shí)容易犯的錯(cuò)誤之一就是不等式性質(zhì)錯(cuò)誤，比如說交叉相乘，比如說不等式的平方開方問題，所以高中不等式的學(xué)習(xí)從基本性質(zhì)開始，將初中的知識(shí)進(jìn)行延伸和擴(kuò)充，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的螺旋上升。

三、 教法與學(xué)法

（一） 對(duì)核心素養(yǎng)的體現(xiàn)

本節(jié)課充分利用學(xué)生已有的知識(shí)，利用生活中的不等關(guān)系來建立所有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，以教師啟發(fā)引導(dǎo)，學(xué)生探究、交流、發(fā)現(xiàn)的方式進(jìn)行，教師的“導(dǎo)”要做到把學(xué)生從充滿“不等關(guān)系”的現(xiàn)實(shí)世界帶到充滿理性思維的數(shù)學(xué)世界，鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行類比、歸納、抽象，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和良好的思維習(xí)慣，獲得“數(shù)學(xué)地思考”不等關(guān)系的體驗(yàn);通過生活中的實(shí)例尋找不等關(guān)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象;通過把不等關(guān)系用不等式表示，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模;通過對(duì)富有挑戰(zhàn)性的問題解答，培養(yǎng)探究精神和嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度，同時(shí)去感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，簡(jiǎn)潔美，數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)美。

對(duì)“四基”的體現(xiàn)：

基本知識(shí)：不等關(guān)系的得到和不等式的建立。

基本技能：生活常識(shí)數(shù)學(xué)化，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模。

基本思想：轉(zhuǎn)化與化歸思想，數(shù)學(xué)建模思想。

基本活動(dòng)：教師引導(dǎo)，學(xué)生討論、探究、交流、發(fā)現(xiàn)。

四、 教學(xué)過程

我們今天要來研究和學(xué)習(xí)不等關(guān)系和不等式，在此之前，我們研究了大量的相等關(guān)系和等式，那是因?yàn)?，?shù)學(xué)與生活緊密相連，在現(xiàn)實(shí)世界中，等量關(guān)系是一個(gè)非常重要的存在。我們將實(shí)際問題中的相等關(guān)系進(jìn)行抽象概括，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后用等式來刻畫這些實(shí)際問題，這就是數(shù)學(xué)研究相等關(guān)系的過程。然而，就像天平的平衡點(diǎn)只有一個(gè)，更多時(shí)候都處于不平衡狀態(tài)一樣，現(xiàn)實(shí)世界普遍的存在的是不等關(guān)系。

不等關(guān)系用在成語(yǔ)中，“尺有所短寸有所長(zhǎng)”是最窩心的一句話，它指的是不等關(guān)系的雙方各有優(yōu)勢(shì)，不因自己的優(yōu)勢(shì)而驕傲，不因自己的不足而沮喪，做最好的自己，足矣。不等關(guān)系用在詩(shī)句中，“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”兩個(gè)不等關(guān)系，“遠(yuǎn)近不同”，“高低不同”，寥寥數(shù)字，概括而形象地描繪出千姿萬(wàn)態(tài)的廬山景色，這是大自然饋贈(zèng)給你的一種看得見的不等的美。

老師：白天的香港維多利亞港，高樓鱗次櫛比，海面上風(fēng)平浪靜，盡顯美麗。

夜晚的維多利亞港，在霓虹燈的裝扮下變得魅力四射，美輪美奐，盡顯妖嬈。霓虹燈真是裝扮城市夜晚的一把好手。你知道嗎？世界上第一盞霓虹燈是填充稀有氣體氖氣制成的，在燈管里充稀有氣體氖、氬、氦和水銀蒸氣等四種氣體的混合物，由于各種氣體的相對(duì)含量不同，便制得五光十色的各種霓虹燈。那么，有同學(xué)知道稀有氣體是怎么被發(fā)現(xiàn)的嗎？

學(xué)生可能知道，也可能不知道。

老師：公元1882年，空氣中的稀有氣體還沒有被發(fā)現(xiàn)，以精確著稱的英國(guó)化學(xué)家瑞利（Rayleigh，J.W.S.1842-1919），一方面從空氣中除掉氧氣、二氧化碳、水蒸氣得到氮?dú)?另一方面從氮化物分解制得氮?dú)?。他發(fā)現(xiàn)在正常狀態(tài)下前者的密度是1.2572克/升，后者的密度是1.2508克/升，他發(fā)現(xiàn)了不等關(guān)系，你發(fā)現(xiàn)了嗎？能用不等式將它表示出來嗎？

學(xué)生：正常狀態(tài)下，空氣中氮?dú)獾拿芏却笥诘锓纸獾玫降牡獨(dú)獾拿芏龋?.2572>1.2508。

老師：為什么會(huì)產(chǎn)生這樣的差異呢？是誤差嗎？還是其中還有較重的不活潑氣體？1894年，機(jī)智的實(shí)驗(yàn)者英國(guó)化學(xué)家拉姆塞（Ramsay，W.1852～1916）與他攜手，用燃燒的鎂與空氣中的氮?dú)庾饔?，除去空氣中的氮，發(fā)現(xiàn)了一種新的氣體元素——?dú)?。后幾年他又陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了四種稀有氣體——氖、氪、氙、氦。這里面又有什么不等關(guān)系？你能用不等式把它表示出來嗎？

學(xué)生：稀有氣體的密度大于氮?dú)獾拿芏龋?>ρ2。

隨著工業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，稀有氣體越來越廣泛地應(yīng)用在工業(yè)、醫(yī)學(xué)、尖端科學(xué)技術(shù)以至日常生活里。沒有科學(xué)家們嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度，我們發(fā)現(xiàn)稀有氣體的路會(huì)更曲折，讓我們銘記發(fā)現(xiàn)稀有氣體的化學(xué)家的名字——威廉·拉姆塞。這是一個(gè)奇妙的世界，它讓各種物質(zhì)顯示出不同的特性，引導(dǎo)我們?nèi)ヌ剿靼l(fā)現(xiàn)它，并加以利用。

在座的每一個(gè)同學(xué)都是一名潛在的科學(xué)家，你沒有科學(xué)實(shí)驗(yàn)可以做，但你可以在生活中去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)。

我們將現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問題不等關(guān)系進(jìn)行抽象概括，成為數(shù)學(xué)問題，用不等式來刻畫它們，這就是數(shù)學(xué)解決不等關(guān)系的基本手段。同學(xué)們從小學(xué)到初中已經(jīng)掌握了不等式的一些簡(jiǎn)單性質(zhì)和運(yùn)算，可以根據(jù)實(shí)際問題建立起不等式來解決問題。那大家一起來秀一下。

老師：（喝水）加糖，糖水變甜。你能在這件事中發(fā)現(xiàn)不等關(guān)系，能用不等式來表示它嗎？

學(xué)生活動(dòng)，得出結(jié)論：a>b>0，m>0，則b+ma+m>ba。注意限制條件，可能是學(xué)生容易忽略的。

老師：我們把這個(gè)不等式稱之為“糖水不等式”。

老師：現(xiàn)在，你已經(jīng)能夠把生活中的現(xiàn)象用數(shù)學(xué)式子來表示了。這就是數(shù)學(xué)來源于生活。我們還可以讓數(shù)學(xué)回到生活中去，用數(shù)學(xué)知識(shí)可以解釋生活中很多的現(xiàn)象。

例子：芭蕾舞是優(yōu)雅的代名詞，為什么芭蕾者踮起腳尖就可以給人一種美的享受呢？告訴你一個(gè)身材的秘密。當(dāng)一個(gè)人下半身長(zhǎng)x與全身長(zhǎng)y的身材比例為黃金分割值0.618時(shí)是最優(yōu)美的，而一般人的身材比例為0.57～0.60之間，踮腳就把這一比例接近了0.618。聰明的女同胞不用踮腳，穿上高跟鞋，就達(dá)到了身型優(yōu)美的目的。

老師：現(xiàn)在，讓我們走進(jìn)大數(shù)據(jù)時(shí)代，來看看大數(shù)據(jù)時(shí)代網(wǎng)商的幸福生活。

例子：某售書網(wǎng)店統(tǒng)計(jì)，若以12.5元每本銷售一種雜志，一個(gè)月內(nèi)可以賣出6000本，根據(jù)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，若單價(jià)每提高0.1元，銷量會(huì)減少40本，人工智能會(huì)主動(dòng)去進(jìn)行一些計(jì)算，雜志是否可以提價(jià)，提價(jià)在什么范圍內(nèi)銷售總額仍不低于75000元呢？這個(gè)計(jì)算式子是什么樣子的？

學(xué)生討論得到結(jié)論：

（6000-x0.1×40）（12.5+x）≥75000x≥0

老師：有補(bǔ)充嗎？這個(gè)是個(gè)實(shí)際問題，要符合實(shí)際條件。

學(xué)生：書價(jià)最多有一位小數(shù)。

老師：對(duì)，應(yīng)加上一個(gè)條件。

學(xué)生：10x=k，k∈Z。

老師：再走進(jìn)《厲害了我的國(guó)》，2015年，中國(guó)發(fā)出了扶貧攻堅(jiān)的號(hào)令，到2017年，全國(guó)已有1000萬(wàn)貧困人口進(jìn)行了易地搬遷，國(guó)家在安置點(diǎn)幫助貧困人家脫貧，阿德便是其中的受益者。他現(xiàn)在管理著一個(gè)運(yùn)輸公司，這里的車是大家伙集資買的，駕駛員也是安置點(diǎn)的搬遷戶，大家放心地把這個(gè)運(yùn)輸公司交給他來管理，因?yàn)樗沁@里為數(shù)不多的高中生之一，他每天要操心的就是怎么派車，如何安排駕駛員。你來幫他看看吧：現(xiàn)運(yùn)輸公司有7輛可載6t的A型卡車與4輛可載10t的B型卡車，有9名駕駛員，建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬運(yùn)360t瀝青的任務(wù)，已知每輛卡車每天往返的次數(shù)為A型車8次，B型車6次，怎樣寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式呢？若每輛卡車每天往返的成本費(fèi)為A型車160元，B型車252元，每天派出A型車和B型車各多少輛，公司所花的成本費(fèi)最低？

師生共同分析：設(shè)每天派出A型車x輛，B型車y輛，成本為z。

所以x和y需滿足：0≤x≤7，x∈Z0≤y≤4，y∈Zx+y≤948x+60y≥360，求z=160x+252y的最小值。（答案：A型車5輛，B型車2輛。）

老師：這個(gè)式子列起來還算容易，你知道怎么去計(jì)算嗎？

學(xué)生沒有這方面的方法積累。

老師：這說明同學(xué)們關(guān)于不等式的知識(shí)還不夠解決這些問題，這正是我們?yōu)槭裁匆谶@里繼續(xù)學(xué)習(xí)不等式內(nèi)容的原因。

老師：今天，你收獲了什么？

師生共同總結(jié)：

知識(shí)方面：世界上存在著大量的不等關(guān)系，通過抽象概括成數(shù)學(xué)問題，并用不等式來解決問題。

能力方面：結(jié)果很重要，過程更美麗，在列出這些不等式的過程中，你已經(jīng)具備了數(shù)學(xué)的抽象概括能力，數(shù)學(xué)建模能力，這是數(shù)學(xué)六個(gè)核心素養(yǎng)中的兩個(gè)。你已經(jīng)那么厲害了，再繼續(xù)學(xué)習(xí)，你會(huì)成就最好的自己。

個(gè)性品質(zhì)方面：用數(shù)學(xué)原理理性解釋生活問題，形成審慎的思維習(xí)慣。

老師：數(shù)學(xué)家陳省身說：我們欣賞數(shù)學(xué)，我們需要數(shù)學(xué)。那么，現(xiàn)在，我們欣賞不等式，我們更需要不等式，帶著探索宇宙奧秘的豪情來研究不等式吧！

參考文獻(xiàn)：

[1]韓蕾.“不等關(guān)系與不等式”教學(xué)設(shè)計(jì)、實(shí)踐與反思，中小學(xué)數(shù)學(xué)，2015（5）.

[2]李鋒.有機(jī)融入數(shù)學(xué)文化，大力倡導(dǎo)數(shù)學(xué)精神，中學(xué)數(shù)學(xué)，2013（2）.