淺談七年級(jí)數(shù)學(xué)代數(shù)式找規(guī)律

杜艷

【摘 要】 本文對(duì)剛剛進(jìn)入七年級(jí)學(xué)習(xí)的學(xué)生在代數(shù)式找規(guī)律問題提出一些方法，意圖讓學(xué)生明白懂得數(shù)學(xué)中的規(guī)律不僅可以為自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)服務(wù)，同時(shí)可以培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)能力。以此說明重視對(duì)七年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)的必性。

【關(guān)鍵詞】 規(guī)律 ?等差 ?等商 ?數(shù)學(xué)思想

一、對(duì)七年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法進(jìn)行指導(dǎo)的必要性

數(shù)學(xué)教學(xué)在發(fā)展學(xué)生智力的同時(shí)，必須注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)。特別是剛剛進(jìn)入中學(xué)的七年級(jí)學(xué)生，科目增加、內(nèi)容拓寬、知識(shí)深化，尤其是數(shù)學(xué)從具體發(fā)展到抽象，從文字發(fā)展到符號(hào)，由靜態(tài)發(fā)展到動(dòng)態(tài)……學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)將發(fā)生根本變化。如果不會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)無方法或者沒有主動(dòng)攝取知識(shí)的能力，成績(jī)可能會(huì)逐漸下降，久而久之，失去了學(xué)習(xí)的信心和興趣，開始陷入?yún)拰W(xué)的困境。因此，重視對(duì)七年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)是非常必要的。

二、七年級(jí)代數(shù)式中等差、等商規(guī)律的分析總結(jié)

在此想談?wù)勂吣昙?jí)數(shù)學(xué)代數(shù)式中找規(guī)律的知識(shí)。七年級(jí)的數(shù)學(xué)課，數(shù)列或圖形變化的規(guī)律問題相對(duì)來說是比較難的知識(shí)。在知識(shí)運(yùn)用中，數(shù)列、圖形變化……往往形式很多很雜，題型多變，但根據(jù)大綱要求，需要掌握的找規(guī)律的題型種類并不多。在此談?wù)劦炔钜?guī)律和等商規(guī)律兩種類型。

1. 等差規(guī)律

對(duì)于這種題目多數(shù)學(xué)生在掌握規(guī)律以后容易把握并比較熟練的應(yīng)用。這類題可能以數(shù)字形式也可能是圖形形式出現(xiàn)，每?jī)蓚€(gè)數(shù)之間的差固定相等，找到公差，再利用前幾項(xiàng)很容易得出第n項(xiàng)的值。

如圖，將一張正方形紙片剪成四個(gè)小正方形（圖1），得到4個(gè)小正方形，成為第一次操作;然后，將其中一個(gè)正方形再剪成四個(gè)小正方形，共得到7個(gè)小正方形（圖2），稱為第二次操作;再將其中的一個(gè)正方形再剪成四個(gè)小正方形，共得到10個(gè)小正方形（圖3），稱為第三次操作;……根據(jù)以上操作，若要得到2014個(gè)小正方形，則需要多少次操作？

解析：根據(jù)題意可知，后一個(gè)圖形中的正方形個(gè)數(shù)總比前一個(gè)圖形中的個(gè)數(shù)多3，即剪第1次時(shí)，可剪出4個(gè)正方形;剪第2次時(shí)，可剪出7個(gè)正方形，比第一次多3×1=3個(gè)正方形;剪第3次時(shí)，可剪出10個(gè)正方形，比第一次多3×2=6個(gè)正方形;剪第4次時(shí)，可剪出13個(gè)正方形，比第一次多3×3=9個(gè)正方形;……;剪n次時(shí)，比第一次多3×（n-1）個(gè)正方形，第n次共剪出小正方形的個(gè)數(shù)有兩種求法：

① 一項(xiàng)和后面（n-1）項(xiàng)分開，則：4+3（n-1）=3n+1=2014，所以n=671;

② 把第一項(xiàng)看成是公差，則n項(xiàng)為：公差×序數(shù)n，但是由于把第一項(xiàng)看成公差，有可能與實(shí)際的第一項(xiàng)存在一個(gè)常數(shù)的差值，所以在式子后面加一個(gè)常數(shù)項(xiàng)a，即：公差×n+a 則：3n+a，把任意的一組已知序數(shù)和對(duì)應(yīng)的值代入就能求出a，例如當(dāng)n=1，值為4代入：3×1+a=4，a=1，所以任意一項(xiàng)的公式為：3n+1，本題中3n+1=2014，n=671。

由此總結(jié)得等差規(guī)律：

① 第一項(xiàng)和后面（n-1）項(xiàng)分開：第一項(xiàng)+公差×（n-1）

② 把第一項(xiàng)也看成公差：公差×n+常數(shù)（常數(shù)a可由任意一組序數(shù)和對(duì)應(yīng)的值求出）

2. 等商規(guī)律（也叫等比規(guī)律）

這種題目要求學(xué)生對(duì)數(shù)敏感，掌握規(guī)律，多見多宜。此類題目往往形式單一，便于總結(jié)，總結(jié)出規(guī)律以后很容易處理。

例如：數(shù)列4，8，16，32，……第八個(gè)數(shù)是多少？8是4的2倍;16是8的2倍;32是16的2倍……這樣的數(shù)列，相鄰兩數(shù)后面的數(shù)除以前面的數(shù)的商是相等的，我們稱之為等商數(shù)列（也叫等比數(shù)列）。我們發(fā)現(xiàn)：從第二項(xiàng)起，每一個(gè)數(shù)都是前一個(gè)數(shù)乘等商得到的，這樣的數(shù)列第n項(xiàng)也有兩種求法：

第一項(xiàng)和后面（n-1）項(xiàng)分開：4×2n-1=4×28-1=512;

把第一項(xiàng)也看成是相等的商，則第n項(xiàng)為：等商，但是由于把第一項(xiàng)看成等商，有可能與實(shí)際的第一項(xiàng)存在一個(gè)常數(shù)的偏差，所以在式子前面或后面乘一個(gè)常數(shù)項(xiàng)a，即：等商n×a，則：2n×a，把任意的一組已知序數(shù)和對(duì)應(yīng)的值代入就能求出a，例如當(dāng)n=1，值為4代入：21×a=4，則a=2所以任意一項(xiàng)的公式為：2n×2=2n+1，本題中2n×2=2n+1=29=512

由此總結(jié)得等商（等比）規(guī)律：

① 第一項(xiàng)和后面（n-1）項(xiàng)分開：第一項(xiàng)×等商n-1

② 把第一項(xiàng)也看成公商：等商n×a

再舉一個(gè)圖形變化例子：如圖所示，將一張長(zhǎng)方形的紙對(duì)折，對(duì)折時(shí)每次的折痕與上次的折痕保持平行，對(duì)折一次，得到2個(gè)長(zhǎng)方形，如圖（1）所示;對(duì)折兩次，得到4個(gè)長(zhǎng)方形，如圖（2）所示;連續(xù)對(duì)折三次后可以得到8個(gè)長(zhǎng)方形，如圖（3）所示;那么對(duì)折四次可以得到16個(gè)長(zhǎng)方形，如果對(duì)折八次后，可以得到幾個(gè)長(zhǎng)方形？

根據(jù)題意，觀察圖形可知：對(duì)折1次，形成21=2個(gè)長(zhǎng)方形;對(duì)折2次，形成2×2=22=4個(gè)長(zhǎng)方形;對(duì)折3次形成2×2×2=23=8個(gè)長(zhǎng)方形;對(duì)折4次形成2×2×2×2=24=16個(gè)長(zhǎng)方形，……，據(jù)此可得，對(duì)折n次形成個(gè)長(zhǎng)方形，據(jù)此即可解答問題。

所以：當(dāng)n=8時(shí)，長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)為：28=256（個(gè)）

這是一個(gè)第一項(xiàng)和等商相等的例子，如果用第二種方法處理，就是常數(shù)a=1的特殊情況。

三、從實(shí)踐中總結(jié)規(guī)律，用規(guī)律指導(dǎo)實(shí)踐

對(duì)七年級(jí)的學(xué)生來說，負(fù)數(shù)與字母的引入使得他們覺得數(shù)學(xué)開始變得抽象，難度提升，感覺數(shù)學(xué)越來越難學(xué)，開始不適應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。為了縮短小學(xué)學(xué)習(xí)向初中學(xué)習(xí)的過渡期，使數(shù)學(xué)教學(xué)能更有效地幫助學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識(shí)和提高適應(yīng)能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方法方面的教學(xué)顯得很重要。這里討論的找規(guī)律只是數(shù)學(xué)思想方法中的一點(diǎn)點(diǎn)體現(xiàn)，我們要讓點(diǎn)滴規(guī)律的積累為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)服務(wù)，為學(xué)生培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)能力服務(wù)。俗話說：不積跬步，無以至千里;不積小流，無以成江海。我們要鼓勵(lì)學(xué)生樹立能夠解決此類問題的信心，讓學(xué)生嘗試在實(shí)踐中總結(jié)規(guī)律，再運(yùn)用這一規(guī)律指導(dǎo)學(xué)生解決學(xué)習(xí)中遇到的類似問題，讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是有規(guī)律可循的，感受到克服困難后的喜悅，提高他們對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。

參考文獻(xiàn)

[1] 柴書芹.淺談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中注意的幾個(gè)問題.中學(xué)生語數(shù)外：教研版，2009（7）.

[2] 王勇.圖形中的數(shù)列問題講析與演練.高等繼續(xù)教育學(xué)報(bào)，2001，14（4）：59-62.