數(shù)形結(jié)合助推意義理解

邵珠利

【課前思考】

長方形是最基本的平面幾何圖形。它的形狀比較簡單，特征比較明顯，長方形面積的計算方法又是其他平面幾何圖形面積計算方法的基礎(chǔ)。從一年級學(xué)習“認識圖形（二）”開始，學(xué)生就不斷地與平面圖形中的這個“老朋友”打交道。翻閱人教版教材，繼三（上）學(xué)習了“長、正方形的認識”，三（下）學(xué)習了“長、正方形面積”計算后，學(xué)生對于長方形面積計算的簡單題型已經(jīng)有了較為扎實的基礎(chǔ)。接下來在四（上）研究積的變化規(guī)律中，出現(xiàn)了解決長方形一個量不變另一個量變化求面積的問題（見圖1）。

在四（下）“運算定律”的學(xué)習中，安排了在求長方形菜地面積時運用“乘法分配律”的問題（見圖2）。

后續(xù)在五（上）“多邊形的面積”、五（下）“長方體和正方體”、六（上）“分數(shù)乘法”、六（下）“圓柱和圓錐”的學(xué)習中又涉及有關(guān)長方形面積的內(nèi)容。

但綜觀教材編排不難發(fā)現(xiàn)：自學(xué)習了長方形面積后，四（上）與四（下）教材中的兩道習題編排比較分散，且都是教材已經(jīng)畫好圖形，無須學(xué)生自己畫圖分析;除了在六（上）“分數(shù)乘法”學(xué)習時通過畫長方形幫助分析理解題意外，運用畫長方形的方法解決問題的學(xué)習幾乎一片空白。

基于以上分析，筆者在三（下）“長、正方形面積”學(xué)習后設(shè)計了“畫長方形解決問題（一）”，主要通過對具有“長方形元素1”的問題解決的過程，培養(yǎng)學(xué)生畫長方形解決問題的意識和能力，在數(shù)形結(jié)合的過程中培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題的能力，進一步加深對長方形長、寬以及面積的認知。

能否跳出“長方形元素”，進一步開拓學(xué)生視野，通過畫長方形解決問題的學(xué)習為學(xué)生打開另一扇窗？筆者想到在四（上）學(xué)習了“單價×數(shù)量=總價”“速度×時間=路程”這兩個數(shù)量關(guān)系式后，設(shè)計了“畫長方形解決問題（二）”，將不具有“長方形元素”的實際問題中的數(shù)量關(guān)系與長方形面積建立關(guān)聯(lián)，進而通過畫長方形，借數(shù)形結(jié)合助推對意義的理解，有效分析、解決問題。

【教學(xué)目標】

1.經(jīng)歷畫長方形解決簡單實際問題的學(xué)習過程，感受畫長方形解決問題直觀形象的特點。

2.在解決實際問題過程中，掌握畫長方形解決問題的方法，感悟數(shù)形結(jié)合的思想。

3.感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，初步形成靈活運用所學(xué)知識解決簡單實際問題的能力和意識。

【教學(xué)重點】掌握畫長方形解決問題的方法，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

【教學(xué)難點】畫長方形表達已知條件、所求問題以及根據(jù)所畫長方形確立解決問題方法的思考過程。

【教學(xué)過程】

一、課前互動，營造氛圍

介紹大關(guān)小學(xué)及區(qū)藝術(shù)節(jié)在大關(guān)小學(xué)申花校區(qū)舉行的情況。

二、對比關(guān)聯(lián)，初步感知

1.畫圖分析，列式解答

出示問題：在藝術(shù)節(jié)開幕式上大關(guān)小學(xué)應(yīng)邀參加體操表演，每排20人。如果每排增加5人，就要增加75人。原來參加體操表演的同學(xué)一共有多少人？

要求：（1）先畫圖分析，再列式解答。

（2）完成后同桌交流：你是怎么畫的，又是怎么算的？

2.對比分析，感知模型

（1）四圖對比，建立關(guān)聯(lián)。

師：這幾位同學(xué)雖然畫的圖形不一樣，但算式都是相同的。75÷5=15（排），20×15=300（人）。

師：在這幾幅圖中，你更喜歡哪一幅，為什么？小組內(nèi)交流你們的想法。

生：我們組喜歡第4幅圖。因為它比較簡潔，比較清楚。

生：我們組也喜歡第4幅圖。大家看，雖然線段圖比較簡潔，但是不能完整表示所有信息;畫圓圈圖雖然比較具體，但太麻煩了;第3幅圖雖然比前兩幅圖清楚，但還是有點麻煩;只有長方形圖比較具體，能表示出所有信息，比線段圖完整，比圓圈圖簡潔。所以我們組也喜歡第4幅圖。

師：這四幅圖之間有什么聯(lián)系呢？

生：第1幅圖表示的就是第2、3、4幅圖中一排的情況。

生：第2幅圖和第3幅圖的想法其實是一樣的，都是先表示出每排的人數(shù)（20人）;再表示排數(shù)，因為不知道具體的排數(shù)，所以兩位同學(xué)都加上了省略號。最后都在剛才的基礎(chǔ)上表示出每排增加5人，就增加75人。

生：第2幅圖、第3幅圖簡化后就是第4幅圖。每排的人數(shù)就是長方形的長;排數(shù)就是長方形的寬;總?cè)藬?shù)就是長方形的面積。

師：你們這個發(fā)現(xiàn)太棒了，我要把它畫下來并記錄下來（師在黑板上畫長方形）。

（2）拓展聯(lián)想，感知模型。

師：我們知道長方形的面積就是長與寬的積。通過剛才的分析，我們發(fā)現(xiàn)，長方形的面積還可以表示誰與誰的積？

生：每排人數(shù)與排數(shù)的積。

師：想一想，長方形的面積還可以表示誰與誰的積？

生：長方形的面積還可以表示數(shù)量、單價與總價的積。

師：你的意思就是長表示單價、寬表示數(shù)量，面積就表示總價。

生：長方形的面積還可以表示速度、時間與路程的積。

師：你的意思就是長表示速度、寬表示時間，面積就表示路程……

師：觀察這些數(shù)量關(guān)系，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：它們都表示兩個數(shù)的積。

師：是的，一般情況下，當表示兩個數(shù)之積的數(shù)量關(guān)系時，畫長方形更直觀，更便于幫助我們分析解答問題。

但在畫長方形時，我們一定要明確長表示什么、寬表示什么。（隨著學(xué)生的回答，形成了以上板書）

（設(shè)計意圖：學(xué)生對畫圖并不陌生，并且也比較習慣用畫實物圖、示意圖或線段圖來分析解決問題。此題信息中沒有“長方形元素”，自然不存在要求學(xué)生畫長方形的暗示。另外，筆者之所以沒有強調(diào)要畫長方形，目的就是暴露學(xué)生的原有認知。通過對四幅圖形的對比分析，學(xué)生充分感知了長方形圖的特點及畫法，初步感受到當表示兩量之積的數(shù)量關(guān)系時畫長方形更直觀、形象，但畫的時候一定要明確長表示什么、寬表示什么、面積又表示什么。畫長方形幫助分析解決問題即水到渠成。）

三、例一變式，對比畫法

師：同學(xué)們，剛才我們不知道排數(shù)，解決了這個問題?，F(xiàn)在每排的人數(shù)也不知道，但是知道如果增加3排，就要增加60人。其他條件不變，你還會解答這個問題嗎？

要求：（1）先畫圖分析，再列式解答。

（2）完成后同桌交流：你是怎么畫的，又是怎么算的？

（反饋討論）

師：這兩位同學(xué)畫的圖形不一樣，你能看懂它們的意思嗎？

生：第一個同學(xué)分開畫兩幅圖，分析起來比較方便;第二位同學(xué)合在一起只畫一幅圖，更加簡潔。

師：我們可以像第一位同學(xué)這樣分開畫兩幅圖，也可以合起來只畫一幅圖，都能很好地幫助我們分析問題。

師：觀察圖形，你發(fā)現(xiàn)解答這個問題的關(guān)鍵是什么？如何列式？

生：關(guān)鍵就是要求出每排的人數(shù)和排數(shù)，即求出長方形的長和寬。算式是：60÷3=20（人）——每排人數(shù);75÷5=15（排）——排數(shù);20×15=300（人）——總?cè)藬?shù)。

（設(shè)計意圖：例1是一個量變化，畫長方形圖分析;而例2是在例1的基礎(chǔ)上，另一個量也發(fā)生變化，畫長方形圖分析。當兩個量都變化時，可以只畫一幅圖，比較簡潔;也可以畫兩幅圖，分析起來比較清楚。但不論如何，關(guān)鍵就是要明確長表示什么，寬表示什么，面積表示什么。）

四、課堂小結(jié)，明確關(guān)鍵

師：通過這節(jié)課的學(xué)習，你有什么新的收獲？

（根據(jù)學(xué)生概括適時生成板書）

師：你認為畫長方形解決問題的關(guān)鍵是什么？

生：明確長、寬所代表的量。

（設(shè)計意圖：通過對例1和例2的回顧梳理，進一步明確畫長方形解決問題的關(guān)鍵。）

五、圖形變式，綜合運用

師：接下來藝術(shù)節(jié)要進行的是合唱比賽，老師們計劃給合唱團的孩子們購買一批上衣。集團校長去詢問情況，兩位老師是這樣說的：

我去詢問情況，兩位老師又是這樣說的：

你們能幫我和校長解答這兩個問題嗎？

反饋交流重點關(guān)注：

第1題強調(diào)長表示什么、寬表示什么，“降價”怎么畫？

第2題強調(diào)對比分析：將畫成“一增一減”與“兩增”的圖形進行對比分析，為什么圖形不同，但得數(shù)相同？

（設(shè)計意圖：試一試1和試一試2的情境與例1和例2的情境不同，研究的是單價、數(shù)量與總價的數(shù)量關(guān)系;另外，畫圖方法也不相同，試一試1是“一減”的情況，試一試2是“一增一減”的情況。通過變換情境及改變畫圖方式，進一步培養(yǎng)學(xué)生據(jù)題畫圖并借圖析題的意識與能力。）

六、溝通模型，積累經(jīng)驗

師：（同屏呈現(xiàn)）我們今天研究了一增、兩增、一減、一增一減四種情況，但不論是哪種情況我們都需弄清楚長表示什么，寬表示什么，面積表示什么。

（設(shè)計意圖：通過同屏對比，對今天所研究的四種模型進行整體感知，同時尋求共性，即畫長方形解決問題的關(guān)鍵就是要明確長表示什么，寬表示什么，面積表示什么。同時使學(xué)生進一步感知對于研究兩積關(guān)系的題目，用畫長方形的方式解決問題更直觀、形象，便于分析解決。）

【教學(xué)反思】

一、找準學(xué)習起點，引發(fā)有效學(xué)習

在“畫長方形解決問題（一）”中，因為有“長方形元素”，所以學(xué)生自然能想到畫長方形圖進行分析。而“畫長方形解決問題（二）”將不具有“長方形元素”的實際問題中的數(shù)量關(guān)系與長方形面積建立關(guān)聯(lián)，進而通過畫長方形，借數(shù)形結(jié)合助推對意義的理解，有效分析、解決問題。這對學(xué)生來說是具有挑戰(zhàn)性的。學(xué)生最初畫的線段圖、圓圈圖、簡化圓圈圖等都是對于解答隊列問題積累的原有學(xué)習經(jīng)驗的有效提取，通過對不同圖形的對比分析，不斷明晰畫長方形解決問題的優(yōu)越性，對畫長方形解決兩量之積數(shù)量關(guān)系的問題也達成了共識。

二、創(chuàng)設(shè)優(yōu)質(zhì)情境，保持探究興趣

學(xué)生是否能夠進行自主學(xué)習以及自主學(xué)習投入程度如何，主要取決于教師創(chuàng)設(shè)的問題情境的優(yōu)質(zhì)與否。本課中圍繞藝術(shù)節(jié)參加隊列表演的人數(shù)、合唱隊購買服裝等實際問題展開探究，從例1變式到例2，從畫一邊、兩邊增加的長方形圖到畫一邊減少，一邊增加、一邊減少的長方形圖，學(xué)生始終保持較高的探究熱情。情境看似不變，卻又著實發(fā)生變化;圖形看似相同，但的確又不相同，不相同之中又有相同之處。學(xué)生探究其中，其樂無窮。

三、 加強對比關(guān)聯(lián)， 感悟畫圖關(guān)鍵

“畫長方形解決問題（二）”從“一增”“兩增”到“一減”“一增一減”，圖式在不斷發(fā)生變化。在解決這些問題時，學(xué)生不但要掌握長方形圖的畫法，更應(yīng)明確畫長方形解決問題的關(guān)鍵就是要確定長表示什么，寬表示什么，面積表示什么。因此筆者創(chuàng)設(shè)多次對比關(guān)聯(lián)的學(xué)習活動，增強學(xué)生對這一關(guān)鍵問題的感悟，不斷積累學(xué)習活動經(jīng)驗。

四、數(shù)形有效結(jié)合，積累活動經(jīng)驗

其實，畫長方形圖是解決問題的一種有效策略，在解決平均數(shù)問題、分數(shù)乘法問題以及一些稍復(fù)雜的兩量之積數(shù)量關(guān)系的問題時，畫長方形圖往往會使問題變得簡單易懂。

數(shù)學(xué)家華羅庚說：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛?！睂τ诮鉀Q兩積數(shù)量關(guān)系的問題畫長方形圖更加直觀、形象，有助于分析數(shù)量關(guān)系，促進學(xué)生對題意的有效理解，這彰顯了數(shù)形結(jié)合的魅力。形使數(shù)更直觀，解題更加有效，課堂更加精彩，在不斷畫圖分析的過程中，經(jīng)驗積累更加到位。

（浙江省杭州市申花小學(xué)? ?310000）