高考數(shù)學(xué)解題“隱性失分”舉隅與教學(xué)對(duì)策

周如俊

摘? ? 要：“隱性失分”是由考生非知識(shí)性因素造成的主要失分類型.針對(duì)“會(huì)而不對(duì)”“對(duì)而失時(shí)”“隱而不發(fā)”“對(duì)而不全”四種“隱性失分”的情況，教師應(yīng)該發(fā)揮“通法”“巧法”各自功能，通過數(shù)形結(jié)合直觀判斷、簡(jiǎn)化運(yùn)算，挖掘隱含條件、尋找解題突破關(guān)鍵，強(qiáng)化分類討論的思想訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和周密性等相應(yīng)教學(xué)對(duì)策.

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學(xué);隱性失分;隱含條件

【教學(xué)對(duì)策】隱含條件的挖掘能有效檢驗(yàn)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，高考試題中隱含條件可能隱藏在幾何圖形中（如試題中的字母、變量或關(guān)系式所隱含的幾何圖形的特征和位置關(guān)系），也可能隱藏在數(shù)學(xué)概念定義中（如試題所涉及的基本概念所屬對(duì)象的性質(zhì)，適合的數(shù)學(xué)模型或公式、定理、法則等），還可能隱藏在已知條件的相互聯(lián)系中（如試題題設(shè)中的字母、變量或關(guān)系式所隱含的制約條件和取值范圍）.因此，在平時(shí)數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生善于從數(shù)學(xué)概念之中，從公式的使用條件中，從變量的取值范圍中，從題目的結(jié)構(gòu)特征中，從題設(shè)條件的相互制約中，從題設(shè)的不變因素中，從式子的特殊結(jié)構(gòu)中，從數(shù)形結(jié)合中挖掘隱含條件[3]，找到解題突破關(guān)鍵，發(fā)現(xiàn)解題契機(jī)，找到解題所缺的元素，從而使問題迎刃而解.

四、“對(duì)而不全”——“漏”解的隱性失分

所謂“對(duì)而不全”，是指考生解答考題時(shí)，面對(duì)有些數(shù)學(xué)試題題設(shè)或結(jié)論多種可能的情形，常因缺乏分類意識(shí)或思維的片面性，沒有充分運(yùn)用“化整為零”“積零為整”的思想與歸類整理的方法，解答時(shí)只解出其中一種情形，而忽視了其他可能的情況，導(dǎo)致“對(duì)而不全”，造成“漏”解的隱性失分后果.

例4? ?（2019年江蘇高考第18題）如圖6，一個(gè)湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）.規(guī)劃在公路l上選兩個(gè)點(diǎn)P，Q，并修建兩段直線型道路PB，QA.規(guī)劃要求：線段PB、QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.已知點(diǎn)A，B到直線l的距離分別為AC和BD（C，D為垂足），測(cè)得AB=10，AC=6，BD=12（單位：百米）.

（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長(zhǎng);

（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處？并說(shuō)明理由;

（3）在規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長(zhǎng)度均為d（單位：百米）.求當(dāng)d最小時(shí)，P，Q兩點(diǎn)間的距離.

【解析】本題主要考查直觀想象和數(shù)學(xué)建模及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力.第（2）（3）題均需要分類討論求解.不少考生缺乏分類意識(shí)，解答時(shí)分類不完全，導(dǎo)致“對(duì)而不全”，造成“漏”解的隱性失分后果.

解題思維簡(jiǎn)析如下（限于篇幅，解題過程略）：

（1）建立如圖7所示空間直角坐標(biāo)系，分別確定點(diǎn)P和點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)之間距離公式可得道路PB的長(zhǎng);PB=15.

（2）分類討論P(yáng)和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處即可.

參考答案：P和Q均不能選在D處.

（3）先討論點(diǎn)P的位置，然后再討論點(diǎn)Q的位置即可確定當(dāng)d最小時(shí)，P，Q兩點(diǎn)間的距離：PQ=17+3[21].

【教學(xué)對(duì)策】分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)邏輯方法，也是高考數(shù)學(xué)的一種解題思想.分類討論是歷年數(shù)學(xué)高考命題的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，而且也是高考的一個(gè)難點(diǎn).平時(shí)教學(xué)要加強(qiáng)分類討論的解題思想訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和周密性，以及認(rèn)識(shí)問題的全面性和深刻性.一是堅(jiān)持分類討論的“三原則”：分類的“全面性”（全域要確定，分類要“既不重復(fù)，也不遺漏”）、分類的“標(biāo)準(zhǔn)性”（在同一次分類中只能按所確定的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行）、分類的“逐級(jí)性”（對(duì)多級(jí)討論，應(yīng)逐級(jí)進(jìn)行，不能越級(jí)）.二是熟習(xí)分類討論的常見情形.由概念引起的分類討論;由運(yùn)算要求引起的分類討論;由性質(zhì)、定理、公式引起的分類討論;由圖形類型、位置引起的分類討論;由參數(shù)變化引起的分類討論[4].三是明確分類討論的步驟.掌握分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行合理分類，做到不重不漏;逐類討論，獲得階段性結(jié)果;歸納總結(jié)，得出結(jié)論.四是分類討論的關(guān)注點(diǎn).直接回避（如運(yùn)用反證法、求補(bǔ)法、消參法等有時(shí)可以避開煩瑣討論）;按主元分類的結(jié)果應(yīng)求并集;按參數(shù)分類的結(jié)果分類討論.[[□][◢]]

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭雅允，劉紅，宋玲花，等.高中生數(shù)學(xué)解題中元認(rèn)知與思維定式的關(guān)系研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2012（3）：26-28，41.

[2]謝全苗.數(shù)學(xué)解題教學(xué)中要辯證地看待“通法”與“巧法”[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2001（6）：33-34.

[3]楊花. 如何挖掘數(shù)學(xué)題中的隱含條件[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2011（10）：49-51.

[4]齊頎.高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的分類討論策略[J].試題與研究，2019（6）：27.

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭雅允，劉紅，宋玲花，等.高中生數(shù)學(xué)解題中元認(rèn)知與思維定式的關(guān)系研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2012（3）：26-28，41.

[2]謝全苗.數(shù)學(xué)解題教學(xué)中要辯證地看待“通法”與“巧法”[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2001（6）：33-34.

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[4]齊頎.高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的分類討論策略[J].試題與研究，2019（6）：27.