基于無偏估計的裝甲裝備器材需求灰色預測

劉素兵, 曹大志, 趙志輝

(1.火箭軍工程大學 基礎部，陜西 西安 710025；2.火箭軍工程大學 導彈工程學院，陜西 西安 710025)

基于最新數(shù)據(jù)的裝甲裝備器材需求預測模型，其預測結(jié)果更具有說服力[1-3]，但純粹采用最新數(shù)據(jù)時，面臨著數(shù)據(jù)少和預測模型精度低的問題，灰色預測模型能有效的解決這2個問題[4-8]，因此建立基于灰色預測模型的裝備器材需求預測非常必要.

為提升灰色預測模型的預測精度，學者分別從初值優(yōu)化、背景值優(yōu)化等方面做了大量的工作[9-14]，但是唯獨缺乏對灰色預測模型的參數(shù)識別的無偏估計上進行研究和分析.

在建立裝備器材需求灰色預測模型過程中，要獲得高精度的灰色預測模型，其實最主要的是挖掘出裝備器材需求時間序列的變化規(guī)律，得到灰色預測模型中待估計參數(shù)的無偏估計.現(xiàn)有灰色預測模型中只考慮采集數(shù)據(jù)，忽略了采集數(shù)據(jù)與真實數(shù)據(jù)之間存在一定偏差的實際問題.偏差序列的期望是否為0，關(guān)系到所使用的最小二乘估計值是否為無偏估計，自然影響著裝備器材需求灰色預測模型的預測精度.本文將主要從裝備器材需求灰色預測模型的參數(shù)無偏估計入手，給出一種獲得灰色預測模型各參數(shù)無偏估計的方法.

1 灰色預測模型

定義1[15]設裝備器材需求歷史時間序列為X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)},對其進行一階累加生成，得到：

則稱序列X(1)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)}為裝備器材需求歷史序列X(0)的一階累加生成序列(1-AGO).

裝備器材需求GM(1,1)預測模型的灰色微分方程為

x(0)(k)=-az(1)(k)+b，

(1)

其中參數(shù)a為發(fā)展系數(shù)，參數(shù)b為灰作用量；參數(shù)a,b為待識別參數(shù).z(1)(k)為灰色微分方程的背景值，一般取

z(1)(k)=0.5(x(1)(k)+x(1)(k-1)).

(2)

寫成矩陣形式為：

Y=Bθ,

(3)

其中,

(4)

在初值條件x(1)(k)|k=1=x(1)(1)=x(0)(1)下的時間響應函數(shù)為：

(5)

對式(5)累減，則可得到裝備器材需求歷史時間序列X(0)的模擬預測函數(shù)為

(6)

2 無偏最小二乘估計的條件

在對裝備器材需求歷史時間序列建立GM(1,1)預測模型時，考慮到裝備器材需求在采集過程中會存在數(shù)據(jù)舍入誤差，或人為數(shù)據(jù)統(tǒng)計誤差，因此，實際用于建立裝備器材需求預測模型的歷史數(shù)據(jù)與真實的裝備器材需求數(shù)據(jù)之間是存在一定的誤差的，即下式成立：

(7)

(8)

(9)

(10)

將(10)其代入(9)，聯(lián)合得到

(11)

將(10)、(11)其代入(8)，得到：

x(0)(k)=-az(1)(k)+b+ε(k),

(12)

(12)的矩陣形式為：

Y=Bθ+ε,

(13)

(14)

(15)

對比可得到，要保證裝備器材需求GM(1,1)預測模型的最小二乘估計是無偏的，要求

E[(BΤB)-1BΤε]=0.

(16)

E[(BΤB)-1BΤε]=0.

根據(jù)矩陣B為常值矩陣，如果有

E(ε)=0,

(17)

3 基于輔助變量的無偏最小二乘估計

下面針對E(ε)≠0時，給出一種獲取裝備器材需求GM(1,1)預測模型中參數(shù)的最小二乘無偏估計方法.

等式成立是獲得無偏估計的關(guān)鍵，根據(jù)BΤB的可逆性可知，要使成立，最好是使E[BΤε]=0.考慮到矩陣B的元素為所采集的數(shù)據(jù)構(gòu)成是確定的，不能改變，滿足不了E[BΤε]≡0的條件.但通過對最小二乘法的分析可以看出，可通過引入一個與矩陣B同維數(shù)的矩陣Z，使如下式子成立：

E[ZΤε]=0，E(ZΤB)=Q，

其中，矩陣Q可逆.

對式兩邊同乘以ZΤ，則有ZΤY=ZΤBθ+ZΤε，則得到θ的一個估計為

顯然有

當矩陣Z滿足式、時，顯然有：

顯然，無論E(ε)是否為0，利用式計算得到的估計值恒為無偏估計.

顯然，Z為Y=Bθ+ε中，當ε=0時的B矩陣，滿足E[ZΤε]=0和E(ZΤB)=Q的條件.

4 算例仿真分析

為驗證裝備器材需求GM(1,1)預測模型中參數(shù)無偏估計的重要性，下面基于某部隊裝甲裝備器材需求歷史數(shù)據(jù)建立GM(1,1)預測模型.

某裝甲部隊近6年的裝甲裝備器材需求真實數(shù)據(jù)為(單位：千萬)

考慮到裝備器材需求數(shù)據(jù)在采集過程中可能會存在數(shù)據(jù)采集誤差，因此，設數(shù)據(jù)采集誤差e滿足均值為0，方差為0.02的高斯正態(tài)分布N(0,0.02).實際采集數(shù)據(jù)

采用實際采集數(shù)據(jù)x(0)(k)建立裝備器材需求的GM(1,1)預測模型，分別采用最小二乘法和本文所給出的輔助變量法對裝備器材需求的GM(1,1)預測模型的參數(shù)進行估計，得到

可見，采用最小二乘法和采用輔助變量法，這兩種方法得到的裝備器材需求GM(1,1)預測模型中的待估計參數(shù)的估計值是相同的，出現(xiàn)這種情況，主要原因是在數(shù)據(jù)采集過程中，數(shù)據(jù)采集誤差e滿足高斯正態(tài)分布N(0,0.02)，該采集誤差的期望為0，則導致最終的復合采集誤差ε的期望為0，即滿足條件E(ε)=0.這也說明，當數(shù)據(jù)采集誤差的期望為0時，采用最小二乘法估計裝備器材需求GM(1,1)預測模型中的參數(shù)，和采用本文所給的輔助變量法得到的GM(1,1)預測模型估計參數(shù)的數(shù)值沒有區(qū)別.

若數(shù)據(jù)采集誤差e滿足均值為1，方差為0.02的高斯正態(tài)分布N(1,0.02)，同樣采用最小二乘法和采用本文所給的輔助變量法分別對裝備器材需求灰色預測模型中的參數(shù)進行估計，得到估計值分別為：

為驗證輔助變量法在預測精度上的優(yōu)勢，分別采用最小二乘法和采用輔助變量法得到的參數(shù)對該裝甲部隊近6年的裝備器材需求數(shù)據(jù)進行模擬.該部隊近5年的裝備器材需求實際數(shù)據(jù)、最小二乘估計下的模擬數(shù)值和輔助變量估計下的模擬數(shù)值分別如下： 選擇如下的相對平均指標作為模型擬合精度的量化標準：

δ越小，說明裝備器材需求的預測精度越高.

表1 裝備器材需求真實值與模擬值

通過表1可以看出，當裝備器材需求數(shù)據(jù)采集存在偏差，且偏差的期望不為0時，會導致復合偏差的期望E(ε)≠0，此時，仍然采用最小二乘法來對裝備器材需求的GM(1,1)預測模型進行參數(shù)估計，導致最終的裝備器材需求模擬值與實際裝備器材需求值的相對平均誤差為11.04%.當采用本文所給的輔助變量法來估計灰色預測模型的待識別參數(shù)時，裝備器材需求的模擬值與真實值之間的相對平均誤差下降為0.70%，有效提升了裝備器材需求灰色預測模型的精度.

5 結(jié)語

裝備器材需求預測關(guān)系到部隊裝備器材資源的最優(yōu)配置和運營成本，因此，建立一個精確的裝備器材需求預測模型至關(guān)重要.裝備器材需求數(shù)據(jù)的采集會因為各種實際原因，導致采集到的數(shù)據(jù)與真實裝備器材需求之間存在一定的數(shù)據(jù)采集偏差，從而影響著裝備器材需求灰色預測模型的預測精度.

本文針對裝備器材需求GM(1,1)預測模型，提出了一種改進灰色預測模型參數(shù)估計的方法，以提升裝備器材需求灰色預測模型的預測精度.本文首先分析了裝備器材需求灰色預測模型中傳統(tǒng)最小二乘估計成立的條件是數(shù)據(jù)采集誤差的期望為0.當裝備器材需求的數(shù)據(jù)采集誤差期望不為0時，為獲得灰色預測模型中各參數(shù)的無偏估計，給出一種基于輔助變量法的參數(shù)估計方法，該方法無論裝備器材需求數(shù)據(jù)采集偏差的期望是否為0，均能得到參數(shù)的無偏估計，有效提升了裝備器材需求預測模型的精度.