時變波動率下ARIMA族觸發(fā)式理財產品定價

邱明雪,孫玉東

(1.貴州民族大學 數(shù)據(jù)科學與信息工程學院,貴州 貴陽 550025;2.貴州民族大學 商學院,貴州 貴陽 550025)

金融理財產品是商業(yè)銀行在對潛在目標客戶群分析研究的基礎上,針對特定目標客戶群開發(fā)設計并銷售的資金投資和管理計劃,是期權的延伸,其定價也是金融數(shù)學的重要研究內容.

目前已有許多關于金融理財產品定價研究的文獻.文獻[1]以區(qū)間型股票掛鉤類結構性產品為研究對象,結合股票波動率和多資產相關性的動態(tài)特征,運用蒙特卡羅模擬方法,提出區(qū)間型金融理財產品的定價方法,同時進行了偏差性檢驗.楊招軍等[2]考慮到市場非完備和投資者風險厭惡的實際情形,基于效用無差別定價原理,利用隨機控制方法得到金融理財產品價格的偏微分方程,并用有限差分法進行數(shù)值分析.陳金龍等[3]應用Cholesky分解方法,解決了資產間的相關性問題,然后針對多資產保本型股票掛鉤結構性產品收益函數(shù)特點,利用蒙特卡羅方法對金融理財產品進行相應的定價.文獻[4]研究了金融理財產品定價的效率問題,使用數(shù)據(jù)包絡分析方法(DEA)對我國商業(yè)銀行理財市場的定價效率進行了實證分析.

近年來,隨著我國金融市場的發(fā)展,各商業(yè)銀行涌現(xiàn)出了一些新的理財產品,觸發(fā)式理財產品就是其中的一種,其基本內容可概括為表1.觸發(fā)式理財產品的收益可以分為三部分內容.

1)在存續(xù)期[0,T]內,若理財產品掛鉤的風險資產觸及過行權價格P1和P2,則理財產品的收益率為r1,此時單位本金的收益為1+r1T;

2)在存續(xù)期[0,T]內,若理財產品掛鉤的風險資產觸及過行權價格P1但未觸及過行權價格P2,則理財產品的收益率為r2,此時單位本金的收益為1+r2T;

3)在存續(xù)期[0,T]內,若理財產品掛鉤的風險資產未觸及過行權價格P1和P2,則理財產品的收益率為r3,此時單位本金的收益為1+r3T.

表1 掛鉤于歐元兌美元匯率的觸發(fā)式理財產品(起購金額:50 000元)

經歸納總結,其到期日的收益可以歸結為如下公式:

(1)

其中隨機過程{S(t),t≥0}表示歐元兌美元的匯率,其隨機結構稍后給出.

令人遺憾的是,有關觸發(fā)式理財產品定價的文章還不多見,主要是因為觸發(fā)式理財產品收益結構復雜,難以定價.文獻[5-6]假定波動率和期望收益率為常數(shù),研究了此類理財產品的定價問題.

當波動率和期望收益率不為常數(shù)時,觸發(fā)式理財產品的解析定價是困難的,從而這里研究了觸發(fā)式理財產品定價的Monte-Carlo方法.以歐元兌美元的匯率數(shù)據(jù)為基礎進行統(tǒng)計分析,以便確定理財產品掛鉤的風險資產價格模型,進而采用鞅方法和Monte-Carlo技術,確定觸發(fā)式理財產品在到期日的收益.

1 歐元兌美元匯率數(shù)學模型

本節(jié)在時間區(qū)間2017年11月30日至2018年01月20日上收集了12組歐元兌美元匯率數(shù)據(jù).每組匯率數(shù)據(jù)內部均采用6 h為時間間隔,受開盤制度的影響(周末不開盤),每周按照時間順序連續(xù)采集20個數(shù)據(jù).

匯率數(shù)據(jù)用于分析和推斷觸發(fā)式理財產品掛鉤的隨機模型,并依據(jù)此模型研究觸發(fā)式理財產品定價問題.對每組數(shù)據(jù)取對數(shù)并差分,將處理之后的數(shù)據(jù)逐次串接,這里稱之為混合數(shù)據(jù).本文將借助這些混合數(shù)據(jù)判斷歐元兌美元匯率遵循的隨機模型.

先對混合數(shù)據(jù)進行單位根檢驗,檢驗結果見表2,其中ADF檢驗和PP檢驗的P值小于0.05,KPSS檢驗的P值大于0.05,說明混合數(shù)據(jù)組成的序列是平穩(wěn)的.

表2 混合數(shù)據(jù)的單位根檢驗

表3為Box白噪聲檢驗結果,可以看出各組數(shù)據(jù)的P值均大于0.05,意味著這16階混合數(shù)據(jù)不存在相關性.進一步做自相關系數(shù)圖確認結果(見圖1),可以看出100階以內的自相關系數(shù)均在虛線以內,這說明混合數(shù)據(jù)不存在任何階數(shù)的相關性.

表3 混合數(shù)據(jù)的Box檢驗

最后對混合數(shù)據(jù)進行KS正態(tài)性檢驗,P值為0.213 9,大于0.05,意味著其遵循正態(tài)分布.再進行t檢驗,P值為0.439 9,說明混合數(shù)據(jù)遵循0均值的正態(tài)分布.

綜上所述,可以認定歐元兌美元的匯率數(shù)據(jù)取對數(shù)并差分之后是獨立同分布的0均值正態(tài)序列,從而歐元兌美元的匯率應當遵循如下隨機模型

dS(t)=σ(t)S(t)dB(t),

(2)

其中σ(t)表示波動率,它是時間的函數(shù),{B(t),t≥0}為標準Brown運動.

2 觸發(fā)式理財產品定價

假定當前時刻是t時刻,理財產品在0時刻購買,T時刻到期.由于歐元兌美元匯率在t時刻和t時刻之前的軌跡是已知的,從而觸發(fā)式理財產品在t時刻的風險中性價格v為

v=exp{-r(T-t)}E[f(T)|Ft].

(3)

Monte-Carlo模擬的基本思想是:在風險中性測度下,先模擬多條歐元兌美元匯率的軌跡,利用每條軌跡模擬觸發(fā)式理財產品在到期日的收益,再用這些收益的均值去替代公式(3)中的數(shù)學期望,進而得到觸發(fā)式理財產品的價值.Monte-Carlo模擬方法的步驟大致分為以下幾個方面.

2.1 日內波動率的預測

歐元兌美元匯率的歷史數(shù)據(jù)是已知的,對不同日期匯率數(shù)據(jù)的對數(shù)差分進行Wilcoxon檢驗,結果見表4,可以發(fā)現(xiàn)有些P值大于0.05,有些P值小于0.05,說明不同日期匯率的對數(shù)差分數(shù)據(jù)之間并不滿足獨立同分布條件,而在上節(jié)已經驗證它們的混合(混合數(shù)據(jù))通過了Box檢驗,說明數(shù)據(jù)之間具備獨立性,利用排除法可以認定不同日期匯率的對數(shù)差分數(shù)據(jù)不滿足同分布條件.

表4 混合數(shù)據(jù)的Box檢驗

同時t檢驗的P值為0.439 9,說明不同日期的對數(shù)差分數(shù)據(jù)的均值和0無顯著差異.而正態(tài)分布完全由均值和方差確定,再利用排除法可以認定不同日期的對數(shù)差分數(shù)據(jù)的方差不盡相同,說明對數(shù)差分數(shù)據(jù)的方差不滿足一致性條件.最后通過Bartlett方差齊性檢驗得到P值為0.002 201,小于0.05,再次確認了不同日期的匯率對數(shù)差分數(shù)據(jù)確實不滿足方差一致性條件.

綜上所述,對匯率的對數(shù)差分數(shù)據(jù)的分析表明不同時期的金融市場具有不同的波動率.因此在進行觸發(fā)式理財產品定價時,應該采用不同波動率的隨機模型來建模.在經過檢驗之后,這里采用ARIMA模型進行建模.

依據(jù)固定時間間隔Δt獲取的歷史數(shù)據(jù),提取日內波動率

σ(t-m),…,σ(t-2),σ(t-1),σ(t0),

其中m為采集數(shù)據(jù)的天數(shù).針對此波動率序列,采用時間序列方法預測未來時刻的日內波動率

σ(t1),σ(t2),σ(t3),….

并假定對未來時刻波動率第j次預測為

σj(t1),σj(t2),σj(t3),….

2.2 歐元兌美元匯率軌跡的模擬

理論上歐元兌美元的匯率是連續(xù)的,但是在實際操作中獲取的數(shù)據(jù)是離散的,獲取數(shù)據(jù)的時間間隔最小也只能做到1 min(每隔1 min采集一個匯率數(shù)據(jù)),而且受計算機編程的限制,所分析的數(shù)據(jù)也必須是離散的.其中歐元兌美元的歷史數(shù)據(jù)是已知的,并且已經檢驗匯率數(shù)據(jù)遵循隨機模型(2),從而設定時間間隔

由公式(2)的Ito公式

(4)

公式(4)等號兩側對時間區(qū)間[ti-1,ti]進行積分,可以得到

(5)

由于B(ti)-B(ti-1)～N(0,Δt),i=0,1,…,n-1,并且當i≠j時,B(ti)-B(ti-1)和B(tj)-B(tj-1)相互獨立,從而可以獨立地生成一系列N(0,Δt)正態(tài)隨機數(shù)ε1,ε2,…,εn,并逐次代入下面的公式

Sj(t0)=Sj(t),

(6)

(7)

(8)

(9)

由此得到歐元兌美元匯率的第j條軌跡,然后再模擬一次隨機數(shù)ε1,ε2,…,εn,得到匯率的第j+1條軌跡,j=1,2,…,N-1.依次類推公式(6)-(9)的模擬過程,獲取歐元兌美元匯率的多條軌跡

Sj(t0),Sj(t1),…,Sj(tn),j=1,2,…,N,

其中j表示對匯率的第j次模擬.

摘 要：在如今的教學中，翻轉課堂應用越來越廣泛，對改善課堂教學質量發(fā)揮出了巨大的作用。結合小學英語課堂教學的實際情況，對翻轉課堂在小學英語教學中的應用以及效果進行了介紹，以期為相關人員提供借鑒。

2.3 觸發(fā)式理財產品價格的Monte-Carlo模擬

考察匯率的第j條路徑Sj(t0),Sj(t1),…,Sj(tn),觸發(fā)式理財產品在到期日的收益為

Fpay-off(j)=f(T,Sj(ti),i=1,2,…,n),

(10)

其中j=1,2,…,N,依據(jù)公式(1)

重復公式(10)的產生過程,獲取N個觸發(fā)式理財產品的收益樣本

Fpay-off(1),Fpay-off(2),…,Fpay-off(N).

(11)

由矩估計方法,用樣本Fpay-off的均值代替公式(3)中的數(shù)學期望,于是觸發(fā)式理財產品在t時刻收益的估計為

(12)

2.4 模擬精度和有效模擬次數(shù)

為了簡便起見,令μ和σ2分別表示總體Fpay-off的均值和方差,即

μ=E[Fpay-off],σ2=Var[Fpay-off].

容易知道

(13)

(14)

(15)

(16)

Step 1 選擇合適的精度d作為估計量的標準誤差(例如d=1,d=0.1,d=0.01);

Step 2 再選擇合適的顯著水平α,并產生大于100個匯率軌跡;

3 觸發(fā)式理財產品定價

3.1 日內波動率的提取

采用1節(jié)中歐元兌美元匯率的對數(shù)差分數(shù)據(jù),進行日內波動率的提取.假設第i天的對數(shù)差分數(shù)據(jù)為

xi,1,xi,2,…,xi,n.

根據(jù)公式(5)或者文獻[7],日內波動率的估計為

(17)

3.2 ARIMA模型的選取和定階

對日內波動率序列進行單位根檢驗(見表5),可以看出ADF檢驗的P值小于0.01,PP檢驗的P值小于0.05,KPSS檢驗的P值大于0.1,說明日內波動率序列是平穩(wěn)的,同時這也意味著可以采用ARIMA模型進行未來時刻日內波動率的預測.

表5 單位根檢驗的P值

圖3為日內波動率序列的自相關系數(shù)圖和偏自相關系數(shù)圖,可以看出各階自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)均在虛線以內,這也意味著未來時刻的日內波動率可以采用白噪聲序列來預測.再進行KS正態(tài)性檢驗,可以得到P值為0.357 5,大于0.05,說明日內波動率數(shù)據(jù)可以用正態(tài)分布刻畫.

容易計算日內波動率序列的均值為0.067 025 04,標準差為0.036 726 33,從而未來時刻的日內波動率可以采用下面的公式預測

σ(j)=0.067 025 04+0.036 726 33·ε(j),j=1,2,…,

其中j表示天數(shù),σ(j)為第j天日內波動率的預測結果.

3.3 數(shù)值模擬

本節(jié)仍選取表1羅列的幾款觸發(fā)式理財產品.根據(jù)2018年2月18日的銀行利率信息,選取無風險利率r=0.043 5,同時選取顯著水平α=0.05,模擬精度設置為0.01,3款來自農業(yè)銀行的觸發(fā)式理財產品的模擬價格情況見表6,結果表明如果模擬次數(shù)不少于2 163 677次,則50 000本金的理財產品ADRY170209A,其自身價值為38.392 6,并且該結果以95%的概率精確到小數(shù)點后兩位,其它2款理財產品依次類推.

繼續(xù)分析Monte-Carlo模擬的精度問題,做觸發(fā)式理財產品ADRY170174A價值與路徑條數(shù)N的關系,如圖4所示.可以看出,由Monte-Carlo方法計算出的觸發(fā)式理財產品價格的收斂速度和N關系明顯,并且圖4中所示路徑條數(shù)N最大為4 000條,在接近4 000條時,期權價格仍然在41與43之間震蕩,收斂效果并不明顯.由于收斂速度為O(N-0.5),要想達到一定的模擬精度,則路徑條數(shù)N必須高于4 000萬條,這也與有效模擬次數(shù)對應的結果相符.

表6 3款觸發(fā)式理財產品的Monte-Carlo結果

4 結語

本文主要通過分析歐元兌美元的匯率數(shù)據(jù),推斷出匯率遵循的隨機模型,并經過一系列的檢驗分析得出該模型波動率具有時變特性,由此建立了波動率的預測模型,隨后利用Monte-Carlo方法對觸發(fā)式理財產品的價值進行數(shù)值模擬,結果表明,若想達到一定的模擬精度,有效模擬次數(shù)需盡可能大,而對觸發(fā)式理財產品ADRY170174A則要求其路徑條數(shù)應高于4 000萬條.