基于配對(duì)t 檢驗(yàn)計(jì)算分差
——Ranney 學(xué)校的平均SAT 與官方給出的有無偏差?

高翊瑋 新澤西州廷頓瀑布蘭尼學(xué)校

一、前言

在申請(qǐng)大學(xué)時(shí)，SAT 是每個(gè)北美高中留學(xué)生都會(huì)遇到的不可避免的挑戰(zhàn)。每年，大學(xué)都會(huì)提供所有錄取申請(qǐng)人的平均SAT 分?jǐn)?shù)，我們想知道這些數(shù)據(jù)是否符合Ranney 學(xué)校的情況以及美國(guó)的大學(xué)是否會(huì)對(duì)Ranney 這所優(yōu)秀的學(xué)校降低其SAT 分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)。

SAT是由美國(guó)大學(xué)理事會(huì)(College Board)開發(fā)的標(biāo)準(zhǔn)化測(cè)試，并預(yù)測(cè)學(xué)生在大學(xué)的學(xué)業(yè)成功。SAT 的分?jǐn)?shù)范圍是400 到1600，根據(jù)Fred Zhang 博士的說法，SAT 分?jǐn)?shù)遵循正態(tài)分布，全國(guó)平均SAT 綜合分?jǐn)?shù)為1068。

Ranney 學(xué)校是新澤西州的一所獨(dú)立日制學(xué)校，全美私立高中排名前300 名。在Niche 報(bào)告的平均SAT 分?jǐn)?shù)是1290，比全國(guó)平均值高222 分。我們決定比較和對(duì)比Ranney 學(xué)生關(guān)于SAT 分?jǐn)?shù)的30 個(gè)隨機(jī)學(xué)院選擇，并比較CollegeBoard 報(bào)告的平均SAT 分?jǐn)?shù)與Ranney 申請(qǐng)者的平均SAT 分?jǐn)?shù)有無差異。

二、數(shù)據(jù)收集和方法

1.通過R 語言將Ranney 學(xué)生畢業(yè)去向最多的50 所大學(xué)以數(shù)字代替并用rnorm 公式隨機(jī)出30 個(gè)。在Ranney 簡(jiǎn)介2018 年的50個(gè)錄取大學(xué)中，將其編號(hào)01到50，使用rnorm 隨機(jī)選擇其中30 個(gè)(表1）。

2.收集College Board 發(fā)表的30 所大學(xué)的平均SAT 分?jǐn)?shù)以及對(duì)應(yīng)在Naviance 網(wǎng)站上收集Ranney 學(xué)生的平均SAT，其中列出了Ranney 申請(qǐng)人關(guān)于大學(xué)的所有SAT 分?jǐn)?shù)。

3.計(jì)算差異以及使用配對(duì)t 檢驗(yàn)比對(duì)alpha 值（列出所有平均SAT 分?jǐn)?shù)后，計(jì)算30 所大學(xué)的兩個(gè)分?jǐn)?shù)之間的差異）

此處我們提出假設(shè)：

H0：μdiff= 0

H1：μdiff ≠0（雙尾測(cè)試）

對(duì)于假設(shè)中的定義為：

零假設(shè)：CollegeBoard 報(bào)告的平均SAT 分?jǐn)?shù)與Ranney 申請(qǐng)者的平均SAT 分?jǐn)?shù)之間的真實(shí)平均差異為零，這意味著平均分?jǐn)?shù)之間沒有差異。

另類假設(shè)：CollegeBoard 報(bào)告的平均SAT 分?jǐn)?shù)與Ranney 申請(qǐng)人的平均SAT 分之間的真實(shí)平均差異不為零，這意味著平均分?jǐn)?shù)之間存在差異。

三、數(shù)據(jù)分析

使用配對(duì)t 檢驗(yàn)的條件：

1.配對(duì)數(shù)據(jù)條件：每個(gè)大學(xué)的平均SAT 分?jǐn)?shù)和Ranney 申請(qǐng)生的SAT 分?jǐn)?shù)相配對(duì)，因?yàn)槊總€(gè)值是CollegeBoard 網(wǎng)站和Naviance網(wǎng)站上同一所大學(xué)的平均SAT 分?jǐn)?shù)。

2.獨(dú)立性假設(shè)：任何大學(xué)的平均SAT 分?jǐn)?shù)獨(dú)立于其他大學(xué)，因此差異是相互獨(dú)立的。

3.隨機(jī)化條件：從50 所大學(xué)中隨機(jī)選擇30 所。

4.接近正常條件：SAT 平均得分差異的直方圖是單峰的并且大致對(duì)稱（如圖1）。

圖1 平均分差的直方圖

由于所有條件都已滿足，因此可以進(jìn)行匹配t 檢驗(yàn)。

以下為基于以上數(shù)據(jù)的計(jì)算過程：

四、結(jié)論

由于p 值=0.3774 大于α= 0.05 的顯著性水平，所以不能拒絕零假設(shè)。這里沒有足夠的證據(jù)證明CollegeBoard 報(bào)告的30 個(gè)大學(xué)的平均SAT 分?jǐn)?shù)與本科申請(qǐng)的Ranney 申請(qǐng)者的平均SAT 分?jǐn)?shù)之間存在顯著差異。 CollegeBoard 報(bào)告的平均SAT 分?jǐn)?shù)與公認(rèn)的Ranney 申請(qǐng)者的平均SAT 分?jǐn)?shù)之間的真正平均差異為零。在實(shí)際意義中，這意味著針對(duì)Ranney 學(xué)校這所有著良好聲譽(yù)的私立高中，大學(xué)并沒有因此而降低其SAT 分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)。

注：這份研究中，計(jì)算過程中的潛在問題是每個(gè)樣本中包含的數(shù)據(jù)相對(duì)較低。例如，申請(qǐng)賓夕法尼亞大學(xué)的申請(qǐng)人只有13 人，這可能會(huì)因人口相對(duì)較少而導(dǎo)致結(jié)果偏差。此外，數(shù)據(jù)源是準(zhǔn)確的，因?yàn)樗鼇碜訰anney School Naviance 官網(wǎng)和CollegeBoard。結(jié)果是合乎邏輯的并且是并被精確計(jì)算并驗(yàn)證的。