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    四元數(shù)除環(huán)的一種矩陣形式

    2019-10-15 06:55:44黃毅王堅(jiān)龍巖學(xué)院
    數(shù)碼世界 2019年10期
    關(guān)鍵詞:分配律初學(xué)者復(fù)數(shù)

    黃毅 王堅(jiān) 龍巖學(xué)院

    1 引言及預(yù)備知識(shí)

    1843 年,哈密頓發(fā)現(xiàn)了四元數(shù)除環(huán),它是歷史上第一次構(gòu)造的不滿足乘法交換律的數(shù)系,是復(fù)數(shù)的推廣。本文將四元數(shù)具體化,將四元數(shù)除環(huán)看成二階矩陣環(huán)的子環(huán),方便初學(xué)者理解四元數(shù)除環(huán)。

    定義1.1 一個(gè)環(huán)R 叫做除環(huán),假如,

    (1)R 至少包含一個(gè)不等于零的元;

    (2)R 有一個(gè)單位元;

    (3)R 至少的每個(gè)不等于零的元都有一個(gè)逆元.

    利用分配律擴(kuò)張到整個(gè)H上,則稱H上是Hamilton 四元數(shù)環(huán).若是H 的一個(gè)非零元,則它的逆元為,其中.

    文獻(xiàn)[3]的四元數(shù)除環(huán)的定義與上述定義類似,文獻(xiàn)[4]的四元數(shù)除環(huán)以復(fù)數(shù)對(duì)的形式給出。下面來(lái)看本文的主要結(jié)果。

    2 主要結(jié)果

    證明 易知E,A,B,C,關(guān)于數(shù)與矩陣相乘以及矩陣加法是實(shí)數(shù)域

    上的四個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量,通過(guò)簡(jiǎn)單的矩陣乘法可得

    由于Η 的基底關(guān)于矩陣乘法在Η 中封閉,易得Η 中的任意兩個(gè)元素關(guān)于矩陣乘法在Η 中也封閉,由子環(huán)的判別條件可知Η 是的子環(huán)。接下來(lái)證明Η 中的非零元都存在逆。

    屬于Η.因此Η 是一個(gè)除環(huán)。

    可以建立自然的一一映射得出Η與Hamilton 四元數(shù)除環(huán)同構(gòu)。

    注記 由上述定理的證明可以看出,四元數(shù)用矩陣來(lái)替換,四元數(shù)的加法、乘法運(yùn)算就是通常的矩陣加法、乘法運(yùn)算,而矩陣環(huán)關(guān)于乘法運(yùn)算、加法運(yùn)算滿足結(jié)合律及分配律;并且在驗(yàn)證除環(huán)定義的第三條時(shí),非零元可逆剛好轉(zhuǎn)化為驗(yàn)證二階矩陣可逆,從而只需判斷矩陣行列式不為零即可;此外求二階矩陣的逆矩陣也是高等代數(shù)的常規(guī)方法。綜上,此種方法構(gòu)造出的四元數(shù)除環(huán)更利于初學(xué)者對(duì)它的理解。

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