面向5G 的低復(fù)雜度稀疏信道估計(jì)算法實(shí)現(xiàn)

馬 晨，蘇艷濤

（1.中國聯(lián)通韶關(guān)市分公司，韶關(guān) 512026；2.廣東省電信規(guī)劃設(shè)計(jì)院有限公司，廣州 510630）

1 概述

隨著移動(dòng)通信及終端技術(shù)的發(fā)展，人們對(duì)無線網(wǎng)絡(luò)提出越來越高的要求：更大的數(shù)據(jù)流量、更多的設(shè)備連接、更低的業(yè)務(wù)時(shí)延等，現(xiàn)有的通信技術(shù)無法滿足上述訴求，第五代移動(dòng)通信（5G）技術(shù)應(yīng)運(yùn)而生。5G 采用了大規(guī)模MIMO（Massive MIMO）[1]、稀疏碼分多址（Sparse Code Multiple Access，SCMA）、高階正交幅度調(diào)制（Quadrature amplitude modulation，QAM）等關(guān)鍵技術(shù)來提升通信性能。然而在實(shí)際通信中，信道估計(jì)的地位舉足輕重，只有得到精確的信道狀態(tài)信息（Channel State Information，CSI），才能夠保證可靠的通信體驗(yàn)?？紤]到頻譜效率和計(jì)算復(fù)雜度的影響，5G 移動(dòng)通信系統(tǒng)需要高效且準(zhǔn)確的信道估計(jì)[2]。

無線信道的時(shí)變多徑特性給信號(hào)的傳播帶來了嚴(yán)重的失真，為了“彌補(bǔ)”失真，經(jīng)典的信道估計(jì)方法通過發(fā)射大量導(dǎo)頻獲得CSI，降低了系統(tǒng)的頻譜利用率。實(shí)際上，眾多學(xué)者的研究表明，時(shí)變多徑信道往往呈現(xiàn)出稀疏性[3]。為了利用信道的內(nèi)在稀疏特性，許多研究者研究CS 在稀疏信道估計(jì)中的應(yīng)用。針對(duì)時(shí)變稀疏多徑信道，K.Chelli 提出了一種適用于多徑延遲估計(jì)的度量方法來提高信道估計(jì)的性能[4]；文獻(xiàn)[5]提出一種基于壓縮感知的線性最小均方誤差信道估計(jì)算法，通過最小化均方誤差達(dá)到提高估計(jì)精度的目的；此外，還有很多文獻(xiàn)通過匹配最佳的導(dǎo)頻位置來獲取精確的CSI[6-7]。雖然這些方法獲得了較高的估計(jì)精度，但由于它們的計(jì)算復(fù)雜度較大，因此難以實(shí)際應(yīng)用。如何設(shè)計(jì)一個(gè)估計(jì)精度高且計(jì)算復(fù)雜度低的信道估計(jì)方法，才是5G 無線通信迫切需求的。

截至目前，只有少量的學(xué)者研究低復(fù)雜度稀疏信道估計(jì)。文獻(xiàn)[8]給出了一種低復(fù)雜度信道估計(jì)算法，然而由于算法本身的缺陷，難以實(shí)際應(yīng)用。文獻(xiàn)[9]提出了一種新穎的低復(fù)雜度稀疏信道估計(jì)方法：正交匹配追蹤（Generalized Orthogonal Matching Pursuit，GOMP）算法。它在算法每次迭代過程中選擇多個(gè)原子，從而加快算法的收斂?？紤]GOMP 算法的思想，本文提出一種更加有效的原子選擇方法：利用LS 算法選擇原子，稱為M-GOMP（Modified-Generalized Orthogonal Matching Pursuit，M-GOMP）算法。它以新的角度高效地選取原子，避免了貪婪算法中的反復(fù)循環(huán)迭代，從而進(jìn)一步大大降低算法的計(jì)算復(fù)雜度。

此外，文獻(xiàn)[6]指出，最小化測量矩陣的相干性可以有效的提高估計(jì)性能，同時(shí)不會(huì)增加信道重建的復(fù)雜度。因此，本文結(jié)合測量矩陣相干性最小化和M-GOMP 算法給出估計(jì)精度高且計(jì)算復(fù)雜度低的信道估計(jì)方法。實(shí)驗(yàn)仿真證明了所提方法在估計(jì)精度和復(fù)雜度方面的有效性。

2 問題陳述

2.1 系統(tǒng)模型

假設(shè)有一個(gè)K稀疏度的無線稀疏信道，發(fā)射端發(fā)射M個(gè)導(dǎo)頻，即X=diag[x（k0），x（k1），!，x（kM-1）]，其中k0，k1，...，kM-1表示導(dǎo)頻所在的位置。經(jīng)過無線信道傳播之后，接收端接收到一個(gè)M×1的信號(hào)向量：y=[y（k0），y（k1），...，y（kM-1）]T，（g）T 表示轉(zhuǎn)置，整個(gè)過程可以用式（1）表示：

式中，N 表示稀疏信道的長度；h 是一個(gè)N×1的K 稀疏度信道向量，即向量h 中僅有K 個(gè)非零值；ω 表示復(fù)高斯白噪聲，大小為M×1；FM×N表示部分傅里葉矩陣，它主要通過選取傅里葉變換矩陣的k0，k1，…，kM-1行元素構(gòu)成，即

式中，A=[a1，a2，…，aN]稱為測量矩陣，大小為M×N，ai是A 的列向量。文獻(xiàn)[10]指出如果A 滿足約束等距原則（Restricted Isometry Property，RIP），就可以從y 中精確地恢復(fù)出原信號(hào)h。我們將RIP 特性寫作引理1。

引理1：對(duì)任意K 稀疏向量h，如果存在一個(gè)常數(shù)δK∈（0，1），使得（4）式成立

則稱A 滿足K 階RIP 特性，其中||g||2表示l2范數(shù)。獲得接收導(dǎo)頻向量y 之后，采用一定的恢復(fù)算法，就可以將信道h 從y中恢復(fù)出來。

2.2 基于正交匹配追蹤的信道重建

正交匹配追蹤（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）是CS重構(gòu)算法中的一個(gè)基本算法，具有估計(jì)精度高，信道重建魯棒性好的優(yōu)點(diǎn)。但由于OMP 算法較高的計(jì)算復(fù)雜度而難以實(shí)際應(yīng)用。OMP 算法的重建信道的過程可以用式（5）表示

式中，rt是第t 次運(yùn)算產(chǎn)生的殘差；是A 的部分矩陣，通過引腳集合Λt選取測量矩陣的列向量構(gòu)成；表示內(nèi)積運(yùn)算。OMP 算法通過不斷地迭代來減小殘差rt，最終得到估計(jì)精度較高的信道h。實(shí)際上，重建信道h 的關(guān)鍵在于尋找K 個(gè)非零值對(duì)應(yīng)的原子，即匹配原子。獲得全部匹配原子后，通過最小二乘法可以準(zhǔn)確的重建信道。低效的原子選擇方法是導(dǎo)致OMP 算法計(jì)算復(fù)雜度高的主要原因，本文建立式（6）解釋說明

式中，C 表示引腳集合，C 中的每個(gè)引腳都有一個(gè)原子與之對(duì)應(yīng)。OMP 算法的核心是尋找K 個(gè)非零值所在的位置，即搜尋引腳，進(jìn)而匹配出對(duì)應(yīng)的原子。OMP 算法在每次迭代過程中需做N 次相關(guān)獲得集合C，然后僅取其中一個(gè)引腳重建信道，這大大降低了算法的運(yùn)行效率。當(dāng)無線信道的稀疏度較大時(shí)，OMP算法重建信道的低效性更加突出。

3 有效的信道估計(jì)

針對(duì)OMP 算法在每次迭代過程中僅匹配一個(gè)原子，重建信道效率低的問題，本文給出一種高效的原子選擇方法并結(jié)合測量矩陣相干性最小化實(shí)現(xiàn)信道的快速精確重建。

3.1 M-GOMP 算法

文獻(xiàn)[9]給出的GOMP 算法提供了一種快速的原子選擇方法：在每次迭代過程中選擇n（n ≥1）個(gè)原子，從而快速地重建信道?？紤]GOMP 算法的信道重建方法，本文提出更加有效的引腳選取方法，即M-GOMP 算法。其具體實(shí)現(xiàn)如下：

輸入：接收導(dǎo)頻y，測量矩陣A，稀疏度K初始化：索引集Λ=

其中，（g）H表示共軛轉(zhuǎn)置，表示信道向量h 的估計(jì)。在上述算法中，LS 被用來搜尋原子。由于LS 具有簡單易實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，因此本文給出的M-GOMP 算法可以實(shí)現(xiàn)快速的信道重建。為了方便理解，我們給出M-GOMP 算法的執(zhí)行示意圖，如圖1所示。

圖1 M-GOMP算法示意圖

從圖1可知，與OMP 算法或者GOMP 算法的多次循環(huán)不同，整個(gè)M-GOMP 算法從左到右只執(zhí)行一次就可以實(shí)現(xiàn)信道的重建，大大提升了算法的運(yùn)行效率。在估計(jì)精度方面，由于我們可以從

部分場景可能需要較高的估計(jì)精度，因此對(duì)高精度估計(jì)問題的研究仍具有意義。但是一般情況下，較高的估計(jì)精度意味著較大的計(jì)算復(fù)雜度，如何設(shè)計(jì)出一個(gè)估計(jì)精度高且計(jì)算復(fù)雜度低的信道估計(jì)方法仍是一個(gè)亟需解決的問題。

3.2 相干性最小化提升估計(jì)性能

文獻(xiàn)[6]指出，最小化測量矩陣的相干性可以有效的提高信道估計(jì)性能，同時(shí)不會(huì)給接收端的信道重構(gòu)帶來額外的附加時(shí)間消耗，并給出了估計(jì)精度與相干性的關(guān)系：

引理2：對(duì)于一個(gè)字典矩陣Ψ 和一個(gè)觀測矩陣Φ，假設(shè)ΦΨ 滿足RIP 原則，如果y=ΦΨa=Pa 滿足不等式

那么采用貪婪算法重建的

式中，ε 是一個(gè)大于零的常量；μ（P）表示矩陣P 的相干性

式中，Pi表示矩陣P 的列向量。

從引理2的（8）式可以看出，μ（P）越小，重建α 的誤差就越小，因此我們可以通過減小矩陣P 的相干性來達(dá)到提升估計(jì)性能的目的。實(shí)際中一般采用平均相干性，令則P 的平均相干性可以表示為

在本文中，我們通過最小化測量矩陣A 的相干性來提高信道估計(jì)的精度。文獻(xiàn)[6]指出，影響μ 大小的因素有兩個(gè)：導(dǎo)頻的位置及其大小。同時(shí)考慮這兩個(gè)因素將會(huì)是一個(gè)復(fù)雜的聯(lián)合最佳化問題，因此我們假設(shè)所有的導(dǎo)頻采用等間隔設(shè)置，通過設(shè)計(jì)導(dǎo)頻的大小達(dá)到最小化μ 的目的。其實(shí)現(xiàn)步驟如下：

輸入：傅里葉變換矩陣F，閾值δ，衰落因子λ，最大迭代次數(shù)I。

初始化：令導(dǎo)頻矩陣X 的元素為0均值，方差1/M 的復(fù)高斯隨機(jī)變量。

⑥判斷：如果t＞I，則停止迭代，輸出結(jié)果。否則，令t=t+1，返回步驟①。

圖2 高精度低復(fù)雜度的信道估計(jì)示意圖

為了方便對(duì)比，本文同時(shí)采用LS 算法和最小均方誤差（Minimum Mean-squared Error，MMSE）算法重建信道，它們分別可以用式（12）和式（13）表示

式中，H 是信道h 的傅里葉變換；RHH為H 的自相關(guān)矩陣；σ 表示噪聲的標(biāo)準(zhǔn)偏差。

4 仿真分析

本文分別給出均方誤差（Mean Square Error，MSE）仿真和運(yùn)行時(shí)間仿真，從估計(jì)精度和計(jì)算復(fù)雜度兩個(gè)方面驗(yàn)證所提算法的有效性。

4.1 均方誤差仿真

假設(shè)收發(fā)信機(jī)之間的無線信道具有如下參數(shù)：N=496，K=12。發(fā)射機(jī)分別發(fā)送高斯隨機(jī)導(dǎo)頻和相干性最佳化的導(dǎo)頻，導(dǎo)頻長度為M=256，同時(shí)引入復(fù)高斯白噪聲。令GOMP 算法的原子選擇步長分別取n=25，9，歸一化的MSE 仿真結(jié)果如下圖所示。

圖3 不同信噪比下的MSE性能比較

圖4 不同稀疏度下的MSE性能比較

圖3 是不同信噪比條件下的MSE 仿真。仿真結(jié)果表明，信道的估計(jì)精度隨著信噪比的增加而提高。與LS 算法對(duì)比，采用匹配追蹤方法選取原子的OMP 算法和GOMP 算法以及改進(jìn)的M-GOMP 算法均具有較高的估計(jì)精度。此外，采用最佳導(dǎo)頻的M-GOMP-op 算法提供了更好的估計(jì)性能。證明所提算法有效的減少了測量矩陣的相干性，提高了系統(tǒng)的估計(jì)精度。

圖4是無線信道在不同稀疏度條件下的MSE 仿真。仿真結(jié)果表明，信道的估計(jì)精度隨著信道稀疏度的增加而降低。這是由于導(dǎo)頻數(shù)量固定，當(dāng)信道越來越不稀疏時(shí)，算法獲取的信道信息越來越少，進(jìn)而導(dǎo)致信道重建精度的下降。雖然各個(gè)算法的估計(jì)精度隨著稀疏度的增加而下降，但是本文給出的M-GOMP 算法和M-GOMP-op 均展現(xiàn)了良好的性能。其中M-GOMP-op 算法在不同的 值條件下均取得了較高的估計(jì)精度，證明了所提算法的穩(wěn)健性。

在上述MSE 仿真中，雖然MMSE 算法的估計(jì)精度最高，但是由于其較高的計(jì)算復(fù)雜度而難以實(shí)際應(yīng)用。仿真中，MMSE 算法可以作為一個(gè)精度上界進(jìn)行參考。

4.2 運(yùn)行時(shí)間仿真

接下來驗(yàn)證算法的運(yùn)行效率，無線信道的相關(guān)參數(shù)設(shè)置如下：SNR=5dB，M=512，K=12。因?yàn)镸MSE 算法的計(jì)算復(fù)雜度較大，本次仿真僅考慮其他幾個(gè)算法，仿真結(jié)果如圖5。

圖5 不同信道長度下的運(yùn)行時(shí)間比較

由于測量矩陣的相干性最小化不占用信道重構(gòu)的時(shí)間，因此仿真圖中用線型“+”表示M-GOMP 和M-GOMP-op 的運(yùn)行時(shí)間。仿真結(jié)果表明各個(gè)算法重建信道的時(shí)間隨著信道長度的增加而增加。由于GOMP 算法在每次迭代中選擇多個(gè)原子，加快了算法的收斂速度，因此GOMP 算法表現(xiàn)出了較好的性能。值得注意的的是M-GOMP 算法和M-GOMP-op 算法具有更優(yōu)越的表現(xiàn)。當(dāng)信道長度較長時(shí)，它們甚至可以節(jié)約超過85%的時(shí)間，這證明了所提算法在計(jì)算復(fù)雜度方面的有效性。

由于算法的計(jì)算復(fù)雜度與迭代次數(shù)密切相關(guān)，因此本文給出各個(gè)算法的平均迭代次數(shù)仿真，仿真結(jié)果如圖6。

圖6 不同稀疏度下的迭代次數(shù)比較

圖6 是各個(gè)算法在不同的稀疏度下的迭代次數(shù)仿真。受益于原子選擇效率的提高，GOMP算法的迭代次數(shù)明顯低于OMP算法。此外，由于本文給出的M-GOMP-op 算法重建信道只需執(zhí)行一次迭代，因此可以大大提高算法的運(yùn)行效率。圖6的仿真結(jié)果再次驗(yàn)證了M-GOMP-op 算法在計(jì)算復(fù)雜度方面的優(yōu)越性和穩(wěn)健性。

4.3 復(fù)雜度分析

本小節(jié)給出算法的計(jì)算復(fù)雜度分析，從理論上驗(yàn)證所提算法的有效性。GOMP 算法的計(jì)算復(fù)雜度可以用下式表示：CGOMP≈2sMN+（2n2+n）s2M，其中s 表示算法的迭代次數(shù)。假設(shè)GOMP 算法在每次迭代中僅匹配一個(gè)原子，即n=1，那么GOMP算法將轉(zhuǎn)化為OMP 算法。因此OMP 算法的計(jì)算復(fù)雜度可以表示為CGOMP≈2KMN+3K2M。文獻(xiàn)將一次乘法和一次加法分別作為一個(gè)基本的運(yùn)算，基于此，我們來分析M-GOMP 算法的計(jì)算復(fù)雜度。

（1）識(shí)別：由于這一步涉及到矩陣求逆，復(fù)雜度較高，因此我們先求出信道的頻域響應(yīng)H，然后利用IFFT 將H 轉(zhuǎn)換到時(shí)域，這樣只需要2M+（2M-1）N 次運(yùn)算。此外，將h0排序并取前K個(gè)最大值，需要（NK-K（K+1）/2次運(yùn)算。

（2）估計(jì)：這一步也涉及到矩陣求逆，因此我們同樣利用QR 分解和改進(jìn)的格蘭-施密特（Modified Gram-Schmidt，MGS）算法求解，這樣總的運(yùn)算次數(shù)為2K2M+5KM+K3+4K2-K。

由于M-GOMP 算法只進(jìn)行一次迭代，因此它的總的復(fù)雜度可以表示為CM-GOMP≈2MN+2K2M。此外，由于測量矩陣的相干性最小化可以在信號(hào)發(fā)送之前完成，不占用接收端的信道重構(gòu)時(shí)間，因此M-GOMP-op 算法的計(jì)算復(fù)雜度可以表示為CM-GOMP-OP≈CM-GOMP≈2MN+2K2M。

現(xiàn)在我們來對(duì)比分析不同算法的計(jì)算復(fù)雜度。考慮到GOMP算法中的兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)s 和n 都比較小，因此其計(jì)算復(fù)雜度可以表示為O（sMN），OMP 算法的計(jì)算復(fù)雜度可以表示為O（KMN）。因?yàn)镚OMP 算法一次迭代匹配多個(gè)原子，迭代次數(shù)s 往往比K 小很多，因此GOMP 算法大幅度降低了算法的計(jì)算復(fù)雜度。此外，由于K=M，M＜N，因此M-GOMP算法和M-GOMP-op 算法的計(jì)算復(fù)雜度可以表示成O（MN）。與OMP 算法和GOMP 算法對(duì)比，本文給出的算法具有更低的計(jì)算復(fù)雜度。

值得注意的是，雖然測量矩陣的相干性最小化不占用接收端的信道重構(gòu)時(shí)間，但由于其通過循環(huán)迭代實(shí)現(xiàn)，需要一定的硬件消耗，因此針對(duì)高精度需求的場景可以采用M-GOMP-op 算法，而在一般的場景中采用M-GOMP 算法即可。

5 結(jié)束語

本文結(jié)合測量矩陣相干性最小化和快速的原子選擇給出一種高精度低復(fù)雜度的信道估計(jì)方法，即M-GOMP-op 算法，它通過相干性最小化實(shí)現(xiàn)高估計(jì)精度，通過LS 算法選擇原子，實(shí)現(xiàn)低計(jì)算復(fù)雜度。理論分析和計(jì)算機(jī)仿真表明，M-GOMP-op 算法在提高信道估計(jì)精度的同時(shí)可以大幅度降低算法的計(jì)算復(fù)雜度。M-GOMP-op 算法的提出為5G 無線通信實(shí)現(xiàn)高效且準(zhǔn)確的信道估計(jì)提供了一個(gè)有效的解決方法。