深度濡染游戲精神智性探究數(shù)學(xué)本真
——以“2、5、3 的倍數(shù)的特征”教學(xué)為例

◇劉愛東

“2、5、3 的倍數(shù)的特征”這部分內(nèi)容，人教版和蘇教版教材都安排在五年級下冊進行教學(xué)，而且不約而同地都選擇借助百數(shù)表， 引導(dǎo)學(xué)生在表中依次圈出相應(yīng)數(shù)的倍數(shù)， 在直觀操作和觀察中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納特征，進而得出判斷2、5、3 的倍數(shù)的特征的方法。然而，通過課后調(diào)查，我們發(fā)現(xiàn)，這種通過不完全歸納得出的結(jié)論，對學(xué)生而言，解決了“是什么”的問題，而涉及數(shù)學(xué)本質(zhì)的、更深層次的“為什么”，還是無從談起。我們借助人教版教材“你知道嗎”（判斷 2、5、3 倍數(shù)特征的道理）進行了拓展教學(xué)，努力讓學(xué)生達成“愉悅性地體悟、理解性地學(xué)習(xí)、深層次地提升”，有效激發(fā)探究樂趣，感悟?qū)W習(xí)魅力。

一、游戲?qū)耄谂f知生發(fā)新問題

師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了2、5、3 的倍數(shù)的特征，在研究新問題之前，我們先一起玩一個游戲，比一比，看誰反應(yīng)快。

依次出示：

下面哪些數(shù)是5 的倍數(shù)？5 的倍數(shù)的特征是怎樣的？ 825 258 1258 12580

下面哪些數(shù)是3 的倍數(shù)？3 的倍數(shù)的特征是怎樣的？ 825 258 1258 12580

學(xué)生爭搶著回答，隨著學(xué)生的回答，出示：判斷一個數(shù)是不是5 的倍數(shù)：只看個位， 個位上是5 或0 的數(shù)，一定是5 的倍數(shù)。

判斷一個數(shù)是不是3 的倍數(shù)：各位上數(shù)的和是3 的倍數(shù)的數(shù)，一定是3 的倍數(shù)。

師：是不是5 的倍數(shù)只要看個位，是不是3的倍數(shù)要看各位上數(shù)的和， 這個我們已經(jīng)很熟悉了，但如果再深入地追問一下，為什么判斷是不是5 的倍數(shù)，只要看個位就行了，而3 的倍數(shù)卻要看全部的數(shù)位呢？今天，我們就一起來研究這個問題。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生在喜聞樂見的游戲活動中，潤物無聲地喚醒“2、5、3 的倍數(shù)的特征”這一已有經(jīng)驗， 并在對這一特征追問的過程中產(chǎn)生新的、直指數(shù)學(xué)本質(zhì)的問題，推進思維向更深處漫溯。

二、活動導(dǎo)學(xué)，深究表象背后的本質(zhì)

（一）探究思考，明晰5和2的倍數(shù)特征的本質(zhì)。

1.思考交流，初探本質(zhì)。

師：請同學(xué)們拿出活動單，先獨立完成活動一，再在小組內(nèi)交流。

?

學(xué)生一邊完成活動一邊思考，再組內(nèi)交流。全班交流第1 題。對于（3），一個學(xué)生這樣回答。

生：第一種方法，是把各個數(shù)位上的數(shù)字分開來乘（位值），第二種方法只是把個位上的數(shù)和不是個位上的數(shù)分開來乘。不管是乘10，還是乘100，只要不是個位上的數(shù)都是5 的倍數(shù)，所以只要分成個位上的數(shù)和不是個位上的數(shù)，判斷時只要看個位上的數(shù)就可以了。

2.借物析理，直觀理解。

師：說得太精彩了！但從同學(xué)們的目光中看得出，一些同學(xué)還有疑問。我們順著她的思路，一起來捋一捋。

師：這里的 1 是 5 的倍數(shù)嗎？（生：是）這倒奇怪了，1 怎么可能是5 的倍數(shù)呢？

生：因為 1 在十位上，表示 1 個 10，而 10 是5 的倍數(shù)。

課件演示：10 個珠子，5 個一份 5 個一份，正好分完。

師：（在計數(shù)器的十位上撥2 個珠子）現(xiàn)在是不是5 的倍數(shù)？為什么？

生：是 5 的倍數(shù)，因為 1 個 10 是 5 的倍數(shù)，2個10 也是5 的倍數(shù)。

師：我不讓你們看到怎么撥，只告訴你們我在計數(shù)器的十位上又撥了1 個數(shù)，現(xiàn)在還是不是5 的倍數(shù)？能說說道理嗎？

生：還是5 的倍數(shù)，因為每個10 都是5 的倍數(shù)，所以不管十位上撥幾，都是5 的倍數(shù)。

師：我在百位上任意撥幾個呢？為什么？

生：還是5 的倍數(shù)，因為100 是5 的倍數(shù)，所以不管有幾個百，都是5 的倍數(shù)。

生：以此類推，千位、萬位不管是幾，也都是5 的倍數(shù)。

師：說得真好！所以，我們在判斷時，只要看哪一位就可以了？（生：個位）現(xiàn)在再看215，誰來說說，它能不能被5 整除，只要看它的個位，其他數(shù)位不用看的道理？

生：因為其他數(shù)位上的數(shù)都是5 的倍數(shù)，所以只要看個位。 如果個位上的數(shù)是5 的倍數(shù)，那么這個數(shù)也一定是5 的倍數(shù)；如果個位上的數(shù)不是5 的倍數(shù)，這個數(shù)也一定不是5 的倍數(shù)。

3.類推整理，建構(gòu)模型。

師：你能根據(jù)這個道理，說一說，“4136 是不是5 的倍數(shù)”為什么只要看個位？

根據(jù)學(xué)生回答，板書：

設(shè)計意圖：學(xué)生在教師提供的活動單、屏幕演示分珠子、計數(shù)器不同數(shù)位上撥珠子等學(xué)習(xí)素材的引導(dǎo)下，通過演繹推理，建構(gòu)出按不同數(shù)位分段比較的數(shù)學(xué)模型，深刻闡釋了“判斷5 的倍數(shù)只看個位上的數(shù)”的內(nèi)在道理。

4.類比遷移，聯(lián)通道理。

師：5 的道理明白了，想想看，誰和它的道理是一樣的？為什么？

生：2。因為同樣可以分成個位上的數(shù)和不是個位上的數(shù)，十位上，10 里面有5 個2，百位上，100 里面有 50 個 2，千位上，1000 里面有 500 個2，所以十位、百位、千位都不用看，只要看個位就可以了。

（二）深化模型，探析3的倍數(shù)特征的本質(zhì)。

1.反思總結(jié)，內(nèi)化經(jīng)驗。

師：5 和 2 的道理明白了，但是 3 呢，為什么不能只看個位？

生：因為十位上的數(shù)不一定是3 的倍數(shù)，比如 10 就不是 3 的倍數(shù)，10 個珠子，3 個一份 3 個一份，最后還剩1 個。百位上、千位上的數(shù)也一樣，都不一定是3 的倍數(shù)。

師：這就產(chǎn)生了第二個要研究的問題，判斷一個數(shù)是不是3 的倍數(shù)，為什么不能只看個位上的數(shù)，而是要看各位上的數(shù)的和？你打算怎么研究？

生：像剛才那樣，先舉例子，再分一分，從中尋找規(guī)律。

2.深入探析，還原本質(zhì)。

師：真棒！會用剛才的方法探究了?？椿顒佣泉毩⑺伎?，再小組交流。

?

生：12 中有 1 個十和 2 個 一 ，1 個 十 就是10，把 10 拆分，3 個 3 個地分還剩 1 個，1 和 2 合起來是 3，這個 3 又是 3 的倍數(shù)，所以 12 是 3 的倍數(shù)。

隨學(xué)生回答，屏幕演示：10 個珠子，3 個 3 個地分，分成3 份，最下面剩下1 個。

師：(板書：1+2=3)1 加 2 中的 1 跟 12 中十位上的1 一樣嗎？這個1 是怎么來的？

生：不一樣，十位上的1 表示10，而這個 1是10 除以3 之后得到的余數(shù)，10 個珠子3 個3個地分還剩下1 個。

師：加2 是什么意思？

生：個位上的2 沒有分，所以把十位上分剩下的1 和它合在一起繼續(xù)分。

師：42 會判斷嗎？

生：42 分成 4 個十和 2 個一，也就是 42=4×10+2。每個 10，3 個 3 個地分后都會余下 1，余下的 4 個 1 加上個位上的 2 等于 6，6 是 3 的倍數(shù)，所以42 是3 的倍數(shù)。

師：4 個1 里面不是還可以拿走一個3？為什么沒有拿走，而是直接用4 加呢？

生：如果不拿走，可以把這個4 和十位上的4 對應(yīng)著看，計算起來很簡便。

生：我有補充，可以把 4×10 寫成 4×9+4，4個9 一定是3 的倍數(shù)，余下的4 加上 2 等于 6，6是3 的倍數(shù)，所以42 是3 的倍數(shù)。

師：我們把你的想法整理一下。

師：通過討論，我們有了新認識，那4126 又該怎么辦呢？

……

師：說得真好！你能仿照剛才的板書，把你的想法用式子表示出來嗎？

學(xué)生板書：

（三）抽象提升，形成解決問題的策略。

師：雖然2、5、3 的倍數(shù)的特征看上去不同，但如果仔細觀察它們的推理過程，你能發(fā)現(xiàn)它們的相通之處嗎？

生：它們都是先按數(shù)位一位一位地分拆，再根據(jù)是幾的倍數(shù)，每一位都分別除以幾，最后從余數(shù)中尋找規(guī)律，解決問題。

三、總結(jié)延伸，激發(fā)課后探究源動力

師：總結(jié)得很到位。課后，同學(xué)們可以嘗試運用自己發(fā)現(xiàn)的方法，去找一找4 的倍數(shù)的特征、8的倍數(shù)的特征，等等，你們一定會有更多新的發(fā)現(xiàn)。

小編有話說：本課教學(xué)的前提是“對于幾個數(shù)的和來說，如果其中的每一個數(shù)都是某個數(shù)的倍數(shù)，那么它們的和也一定是這個數(shù)的倍數(shù)”。對此，可以事先設(shè)置準備課或在本課的開頭設(shè)置一個環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生通過舉例（包括正例和反例）、歸納，得出這個結(jié)論。