基于Markov過程的水下采油樹系統(tǒng)可靠性分析

劉 超，劉 健，朱元坤，李 泉，肖文生,2

(1.中國石油大學(華東) 機電工程學院，山東 東營 266580； 2.海洋物探及勘探設備國家工程實驗室，山東 東營 266580)

引 言

水下采油樹系統(tǒng)是指安裝在海底井口頭上的生產(chǎn)控制裝置，是海洋油氣資源開采的重要設備，其系統(tǒng)配置主要由井口連接器、油管懸掛器、頂部/內(nèi)部堵塞器、樹帽、樹體、閥門以及各類通路等系統(tǒng)部件組成[1-2]。水下采油樹長期在惡劣的海洋環(huán)境下工作，其結(jié)構內(nèi)部承受著油氣沖蝕，結(jié)構外部承受著高壓、低溫以及強腐蝕等復雜環(huán)境的作用，從而對系統(tǒng)工作可靠性要求非常高，而且一旦出現(xiàn)故障，極易造成巨大的經(jīng)濟損失和環(huán)境污染[3-4]?？紤]上述因素的影響，有必要對水下采油樹系統(tǒng)進行可靠性分析。

目前，針對海上系統(tǒng)可靠性評估的方法主要有故障樹/事故樹[5]、可靠性框圖[6]、Petri網(wǎng)[7]、貝葉斯網(wǎng)絡[8]以及馬爾可夫[9]等。林秀娟等人[10]引入灰色系統(tǒng)理論建立了水下采油樹系統(tǒng)的灰色GM(1,1)模型，并進行抗腐蝕可靠性設計，但其分析是針對單個部件的腐蝕可靠性，由于水下采油樹是一個復雜的冗余系統(tǒng)，僅考慮單個部件的影響因素很難給工程實際帶來指導性意義。PG Wanvik[11]、Stendebakken[12]利用可靠性框圖和故障樹，對水下采油樹系統(tǒng)進行了可靠性分析，求解系統(tǒng)可靠度，卻未考慮可修復性對系統(tǒng)可靠性的影響。國內(nèi)外學者在對水下采油樹系統(tǒng)進行可靠性分析時，往往假設系統(tǒng)性能僅為二元狀態(tài)(即正常狀態(tài)和完全失效狀態(tài))[10-12]。然而僅依賴二元狀態(tài)刻畫系統(tǒng)運行性能，遠不能滿足精細化描述需求，且大多數(shù)情況與系統(tǒng)實際運行情況不完全相符，很難給工程實際帶來指導性意義。

針對上述問題，本文提出一種基于Markov過程的水下采油樹系統(tǒng)可靠性評估方法。構造水下采油樹系統(tǒng)的功能結(jié)構框圖，通過引入Markov過程描述系統(tǒng)狀態(tài)來深入研究系統(tǒng)故障機制，建立系統(tǒng)Markov可靠性模型并對其可靠性進行定量計算，從而得到系統(tǒng)的可靠性指標。

1 馬爾科夫(Markov)過程概述

“馬爾科夫過程”是20世紀俄國數(shù)學家馬爾科夫(A.A.Markov)提出的[13-14]，其數(shù)學定義為：設在給定的隨機過程{X(t),t∈T}，對于參數(shù)中任意n個時刻ti，i=1,2，…,n，t1

P{X(tn)

(1)

則稱隨機過程{X(t),t∈T}為馬爾科夫(Markov)過程。

式中，X(tn)表示Markov處于時間tn的狀態(tài)，說明X(t1),X(t2),…,X(tn-1)這n-1個狀態(tài)下的條件概率等于X(tn-1)狀態(tài)下的條件概率。

假設在狀態(tài)空間Ω={0,1,2,…,r}上，對于所有的i,j∈Ω，Markov過程{X(t),t≥0}的固定轉(zhuǎn)換概率為：

Pij(t)=Pr{X(t)=j|X(0)=i}。

(2)

式中:Pij(t)為系統(tǒng)在t時刻離開狀態(tài)i進入狀態(tài)j的概率。

對于狀態(tài)空間為Ω={0,1,2,…,r}的結(jié)構系統(tǒng)，r個狀態(tài)間的概率轉(zhuǎn)換關系可寫為以下矩陣形式

(3)

式(3)為馬爾科夫轉(zhuǎn)移矩陣表達式，又稱轉(zhuǎn)換率矩陣[15]。

由于矩陣P(t)中每個元素都表示事件由狀態(tài)i向狀態(tài)j的轉(zhuǎn)換概率，根據(jù)Markov過程概率轉(zhuǎn)換矩陣的性質(zhì)，則對于所有的i,j∈Ω有：

(4)

對于很多工程實際問題，往往關心的是穩(wěn)態(tài)解，即當t→時Pj的值[16]。若Markov過程收斂于穩(wěn)態(tài)概率值，系統(tǒng)任何一個狀態(tài)不能進行自身狀態(tài)轉(zhuǎn)換，即：

(5)

2 水下采油樹系統(tǒng)介紹

水下采油樹作為海洋油氣開采的主要生產(chǎn)設備，是指安裝于海底井口頭上的由閥門、本體、管路、井口連接器及其相關配套設備構成的采油系統(tǒng)[2]，其功能主要是控制和調(diào)節(jié)油氣生產(chǎn)，實現(xiàn)各種井下作業(yè)，如測試、化學試劑注入以及井下維修等，根據(jù)水下采油樹系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構之間的相互關系，構造系統(tǒng)功能結(jié)構框圖如圖1所示。

圖1 水下采油樹結(jié)構示意圖Fig.1 Schematic diagram for structure of subsea tree

水下采油樹因長期置于海底井口頭上，對其工作可靠性要求非常高，而且一旦發(fā)生事故，將會造成巨大的經(jīng)濟損失和環(huán)境污染。水下采油樹系統(tǒng)的主要失效形式[17]：解鎖/鎖緊失效、打開/關閉失效、內(nèi)部/外部泄漏、無法解脫、阻塞失效、誤動作及結(jié)構失效等。

為確保水下采油樹能夠長期、穩(wěn)定、安全工作，采油樹從出廠、運輸、安裝到運行以及故障維修之后所有過程都要進行測試。此外，在水下采油樹正常運行時，也須進行定期測試，以確保采油樹的安全性和可靠性。

3 水下采油樹系統(tǒng)的Markov過程應用

3.1 建立水下采油樹系統(tǒng)的Markov可靠性模型

考慮到水下采油樹故障問題多發(fā)生在生產(chǎn)運行階段，此時采油樹一旦發(fā)生故障，就只能停機維修，從而影響油氣生產(chǎn)。基于此，本文主要針對水下采油樹處于正常工作階段的故障描述，通過深入分析水下采油樹系統(tǒng)的故障機制和工作特點，建立如圖2所示的Markov模型。

圖2 水下采油樹系統(tǒng)工作狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖Fig.2 Working state transition diagram of subsea tree system

結(jié)合圖2及系統(tǒng)的故障機制，給出6種工作狀態(tài)描述，見表1。

表1 各工作狀態(tài)描述Tab.1 Description of working states

λ1～λ9表示事件由前一時刻狀態(tài)i向后一時刻狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移率，各狀態(tài)間轉(zhuǎn)移率的含義見表2。已知系統(tǒng)各部件單元失效率和維修率均服從指數(shù)分布，即在t時刻系統(tǒng)進入狀態(tài)j的概率為1-e-λt。

系統(tǒng)的狀態(tài)空間可用E={0，1，2，3，4，5，6}來表示，由圖2可知，系統(tǒng)正常運行的狀態(tài)為W={0，1，3，4，6}，系統(tǒng)發(fā)生故障的狀態(tài)為F={2，5}。

3.2 明確系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

根據(jù)多狀態(tài)系統(tǒng)建模解算前提假設，不同組成單元的狀態(tài)躍遷過程相互獨立，由建立的Markov模型轉(zhuǎn)移圖得到系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：

(6)

3.3 構建系統(tǒng)瞬態(tài)的可用度微分方程組

令Pi(t)=P{X(T)=i}(i∈E)為時刻t對應狀態(tài)E(i)發(fā)生的概率，且滿足：

(7)

根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖得

[P0(t)P1(t)P2(t)P3(t)P4(t)P5(t)P6(t)]A。

(8)

結(jié)合式(6)，可得到系統(tǒng)的微分方程：

(9)

對式(9)進行拉氏變換，并帶入初始條件式(7)，得：

(10)

因此，在已知系統(tǒng)起始狀態(tài)的情況下，即可得到系統(tǒng)正常運行的瞬態(tài)可用度為：

A(t)=P0(t)+P1(t)+P3(t)+P4(t)+P6(t)。

(11)

3.4 構建系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)的可用度微分方程組

(12)

則有：

(13)

則系統(tǒng)正常運行的穩(wěn)態(tài)可用度為：

A=P0+P1+P3+P4+P6。

(14)

4 實例分析

本文以水下采油樹系統(tǒng)為研究對象，數(shù)據(jù)來源主要依據(jù)挪威DNV (Det Norske Veritas)發(fā)布的第6版OREDA(Offshore Reliability Data)可靠性數(shù)據(jù)手冊。該手冊收集了大量水下生產(chǎn)設備的可靠性及維護數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)主要來源于墨西哥灣、北海以及幾內(nèi)亞灣等地區(qū)的不同平臺和各類作業(yè)場所[17]，數(shù)據(jù)具有重要參考價值。OREDA數(shù)據(jù)庫一共收集并記錄了482顆水下采油樹及相關設備的失效數(shù)據(jù)以及進行相關測試所需的統(tǒng)計時間，具體數(shù)據(jù)見表3。

表3 各狀態(tài)轉(zhuǎn)移率取值Tab.3 Value of working state transition rates

4.1 系統(tǒng)瞬態(tài)可用度分析

根據(jù)式(10)、(11)和表3求得系統(tǒng)的瞬態(tài)可用度，在2 000 h內(nèi)系統(tǒng)瞬態(tài)可用度如圖3所示。

圖3 水下采油樹瞬態(tài)可用度隨時間的變化Fig.3 Varying of instantaneous availability of subsea oil production tree with time

從圖3中可看出，水下采油樹系統(tǒng)在初始時刻瞬態(tài)可用度最高，從0時刻開始迅速下降，當系統(tǒng)運行至大約480 h時開始變緩達到穩(wěn)態(tài)值0.999 671。

4.2 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度分析

與系統(tǒng)瞬時可用度相比，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度在工程應用中更受關注，表征了系統(tǒng)長時間處于工作狀態(tài)的性能[18-20]。為此，本文基于滿足工程應用相關需求，主要探討水下采油樹系統(tǒng)各狀態(tài)轉(zhuǎn)移率對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度的影響，根據(jù)式(13)、(14)和表3可得水下采油樹系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度隨各狀態(tài)轉(zhuǎn)移率的變化規(guī)律，如圖4所示。

從圖4(a)可知，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度與系統(tǒng)4種故障率均密切相關。而隨著系統(tǒng)故障率λ1～λ4的逐漸增加，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度整體呈現(xiàn)下降趨勢。其中，λ2對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度影響最大，其次為λ1，λ3，λ4。由此可知，在運行階段系統(tǒng)關鍵部件發(fā)生故障時對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度影響最大，而在定期測試或安裝測試期間關鍵部件發(fā)生故障時對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度影響最小。因此，為提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度應最大可能降低其運行階段發(fā)生故障的可能性，尤其要預防關鍵部件的故障問題。

圖4 轉(zhuǎn)移率與系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度的關系Fig.4 Relationships between working state transition rate and steady-state availability of the system

從圖4(b)可知，水下采油樹系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度隨λ5的增加而逐漸提高；隨著λ6的增加，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度開始迅速下降，但下降到一定數(shù)值后逐漸變緩；而λ7的數(shù)值變化對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度的影響卻較小。因此，為提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度可通過增加定期測試的次數(shù)來降低其發(fā)生故障的可能性，但同時也會增大成本輸出。

而從圖4(c)可以看出，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度與系統(tǒng)修復率λ8和λ9密切相關，水下采油樹系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度隨其修復率增加而提高，但上升到一定數(shù)值后，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度的上升趨于變緩。因此，僅提高部件的修復率對提高整個水下采油樹系統(tǒng)的可用度雖有一定程度的效果，但也是有限度的。

因此，為提高整個水下采油樹系統(tǒng)的可用度，不僅要考慮提高系統(tǒng)維修率，還要采取措施降低部件的故障率。只有兩者綜合考慮，才能最大限度提高系統(tǒng)的可用度和可靠性。

5 結(jié) 論

(1)利用Markov過程建立了水下采油樹系統(tǒng)數(shù)學模型，并推導出系統(tǒng)瞬時和穩(wěn)態(tài)可用度表達式。以最新的國外OREDA(2015)數(shù)據(jù)手冊的統(tǒng)計數(shù)據(jù)為例，計算得到水下采油樹系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度為0.999 671。

(2)通過分析Markov過程各狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度的影響，為進一步預防故障事件的發(fā)生以及提出相應的系統(tǒng)改進措施提供了一定的參考依據(jù)。

總之，通過基于Markov過程的水下采油樹系統(tǒng)可靠性評估分析，能夠進一步準確把握水下采油樹系統(tǒng)的運行性能和可靠性變化規(guī)律，并有效地為水下采油樹國產(chǎn)化設計、生產(chǎn)等工作提供較為準確的可靠性指導。