非光滑半無限多目標分式規(guī)劃的對偶條件

葉佩晨，李 麗*，姜 囡

(1.延安大學 數(shù)學與計算機科學學院，陜西 延安 716000；2.延長縣鄭莊中心小學，陜西 延長 717100)

F-ρ凸函數(shù)是廣義凸函數(shù)里面一個很重要的函數(shù)，在此類函數(shù)基礎(chǔ)上，許多學者定義了許多廣義F-ρ凸函數(shù)，并用于研究多目標規(guī)劃，多目標分式規(guī)劃等問題[1-6]，獲得了許多重要結(jié)果。半無限多目標規(guī)劃問題是近年優(yōu)化問題里面一個很重要的研究內(nèi)容，很多學者利用不同的凸函數(shù)研究了半無限多目標規(guī)劃問題中的最優(yōu)性條件和對偶條件[7-12]，得到了許多重要結(jié)果。

本文在上述文獻的基礎(chǔ)上，利用非光滑分析，定義了一類廣義(F,α，ρ，d)凸函數(shù)，并用這類函數(shù)研究半無限多目標分式規(guī)劃的對偶問題，得到了幾個逆對偶和嚴格對偶條件。

1 基本定義

稱實值函數(shù)f:Rn→R是局部Lipschitz的[13]，若對任意x∈Rn，存在一個正數(shù)k和x的鄰域N(x)對任意y,z∈N(x)，使得

f(y)-f(z)≤ky-z。

若函數(shù)f為局部Lipschitz的，那么函數(shù)f:X→R在點x處沿方向d的Clarke廣義方向?qū)?shù)和Clarke廣義梯度分別定義為[13]：

?f(x)={ξ∈Rn:f0(x;d)≥ξTd,?d∈Rn}。

在整篇文章中下面的不等式成立，對于任意x,y∈Rn,x≦y?xi≦yi,x≤y?xi≦yi，但x≠y,x

?α1,α2∈Rn；

?α∈R,α≥0，?a∈Rn。

2 對偶性條件

考慮下列多目標半無限分式規(guī)劃問題(FP)：

s.th(x,u)≦0，

x∈X?Rn,u∈Y?Rm。

這里fi:Rn→R,gi:Rn→R(i=1,…,m),h(x):Rn→Rq均為局部Lipschitz的實值函數(shù)，并且假設(shè)

fi(x)≥0,gi(x)>0,i=1,…,m。Y為無限可數(shù)參數(shù)集，J={i|h(x,ui)≤0,ui∈Y?Rm}是可數(shù)指標集，Λ1={vj|vj≥0,j∈J}，以下假定出現(xiàn)的關(guān)于h(x,u)的無限級數(shù)都是絕對收斂的。

(FP)的對偶規(guī)劃定義為：

(FD) maxv=(v1,…,vm)

(1)

fi(y)-vigi(y)≧0，i=1，…,m，

(2)

(3)

(4)

引理1[14]對于任意實數(shù)si和實函數(shù)fi總有

定理1(弱對偶)令：

(1)x,(y,λ,τ,v)分別是(FP)和(FD)的可行解；

ρ1d12(x,y)<0，

即有

(5)

由式(1)及引理[1]可得，

?ξi∈?fi(y),μi∈?gi(y),δj∈?hj(y)，有

由次線性函數(shù)F(x,y,·)的次線性可得

(6)

又τjhj(x)≦,τjhj(y)≧0,j∈1,…,q，故有

即有

(7)

式(5)加式(7)并結(jié)合式(6)可得

這與條件(3)矛盾，故假設(shè)不成立。

定理2 (弱對偶)令：

(1)x,(y,λ,τ,v)分別是(FP)和(FD)的可行解；

證明類似于定理1的證明。

證明類似于文獻[15]中定理2的證明。

定理4 (嚴格對偶)令：

(1)x0,(y,λ,τ,v)分別是(FP)和(FD)的可行解；

則x0=y。

證明假設(shè)x0≠y，我們將推出矛盾。因為x0，(y,λ,τ,v)分別是(FP)和(FD)的可行解，所以

τjhj(x0)≦0≦τjhj(y)，即有

ρ2d22(x0,y)≦0。

(8)

由式(1)及引理1可得，

?ξi∈?fi(y),μi∈?gi(y),δj∈?hj(y)，有

由次線性函數(shù)F(x,y,·)的次線性可得

(9)

由式(8)，(9)和

即有

而這與對偶規(guī)劃定義式(2)矛盾，故x0=y。