別讓“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”只成為一個概念

陳紅娟

在五年級的一次測驗中，一道依據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)解方程的試題難住了90%以上的學(xué)生。題目明確要求“應(yīng)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)求未知數(shù)x”，這分明是六年級的解比例知識，卻前置到五年級，似乎有點超前?？杉?xì)細(xì)思量，如果將未知數(shù)x替換成具備相同提問功能的括號，讓學(xué)生再依據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)填數(shù)，相信絕大部分學(xué)生都會做對。那為什么把括號換成x后，許多學(xué)生就無所適從了呢？究其原因是學(xué)生只知道運(yùn)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)進(jìn)行通分，將兩個分?jǐn)?shù)的分子或者分母化為相同數(shù)，通過對照，算出括號里空缺的數(shù)，而不知道用未知數(shù)將空缺的分子或者分母表達(dá)出來，然后根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)求解x的值。這說明學(xué)生在應(yīng)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)時，存在對分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)認(rèn)識不清、應(yīng)用死板及受解簡易方程的負(fù)遷移影響的問題。

一、對分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的認(rèn)識不清

對于分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，教材通過按照不同標(biāo)準(zhǔn)來劃分紙片的方法來表示等值的分?jǐn)?shù)，借此揭示分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。而學(xué)生對分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)常認(rèn)識不清。

【例1】有三張大小相等的方形卡紙，均按照不同方式平分并涂色，請用分?jǐn)?shù)表示涂色部分所占比例。

當(dāng)學(xué)生填上數(shù)字后，多數(shù)教師都會設(shè)法勾起學(xué)生的好奇心和探究欲，問學(xué)生有什么意外發(fā)現(xiàn)，然后引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出“[12=24=48]”，最后師生共同研究這幾個分?jǐn)?shù)的分子和分母的變化規(guī)律。

通過觀察分析，師生共同總結(jié)概括出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)，分?jǐn)?shù)值不變。從中不難發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)主要側(cè)重于分子和分母發(fā)生特定變化后，分?jǐn)?shù)值不變的規(guī)律，而學(xué)生在操作探究時，忽略了“涂色部分大小雖然可以用不同分?jǐn)?shù)表示，但實際大小并未改變”的講解，沒有關(guān)注分?jǐn)?shù)變化前后的變與不變。學(xué)生只知道，分子和分母同步擴(kuò)大或縮小相同倍數(shù)，分?jǐn)?shù)值就不變，或者說兩個分?jǐn)?shù)的分子與分母存在這種同步變化的對應(yīng)關(guān)系，那么它們之間就可以畫等號。而老師也沒有引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)推導(dǎo)：當(dāng)兩個分?jǐn)?shù)的值相等時，如果分子和分母其中有一個相等，那么另一個必相等。

二、對分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用死板

為什么學(xué)生運(yùn)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)能輕松解答出填空題，而換成其他題型后卻失效呢？應(yīng)該說，這是受課本例2的負(fù)遷移影響（例2展示了分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用方法）。在學(xué)生學(xué)習(xí)例2之前，教師一般會提問：“你能把一個分?jǐn)?shù)的分母變動一下，但使分?jǐn)?shù)值不變嗎？”

【例2】把[23]和[1024]兩個分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為分母都是12的分?jǐn)?shù)，要求分?jǐn)?shù)值不變。

[23=2×（? ? ）3×4=（? ? ）12]? ?[1024=10÷（? ? ）24÷2=（? ? ）12]

對于例2，學(xué)生都能輕松解答。但當(dāng)教師引領(lǐng)學(xué)生解析題目時，他們往往只會生硬地復(fù)述分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，邊回憶性質(zhì)邊推測答案。例如，學(xué)生在解答[1630=16+3230+x]時，多數(shù)會考慮到右邊分?jǐn)?shù)的分子在原來16的基礎(chǔ)上增加了32，所得結(jié)果正好是原分?jǐn)?shù)分子16的3倍，也就是加上32與擴(kuò)大3倍等效，那么應(yīng)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，要使分?jǐn)?shù)值不變，原分母也應(yīng)該擴(kuò)大3倍，變化后的分母應(yīng)該是90，也就是[1630=4890]，而根據(jù)“分?jǐn)?shù)值相等的兩分?jǐn)?shù)，如果分子相等，那么分母一定也相等”這個推論，還原成填空題也就是[4890=4830+（? ? ）]，也就是說兩個分?jǐn)?shù)的分母都應(yīng)是90，然后用90-30就可以算出正確結(jié)果60?？墒嵌鄶?shù)學(xué)生沒有進(jìn)一步想到只要將式子“30+（[? ? ] ） =90”中的括號替換成字母x，就能列方程x+30=90。究其原因，學(xué)生應(yīng)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)時，首先考慮的是分?jǐn)?shù)值不變，而分?jǐn)?shù)值指的是分子和分母的綜合效應(yīng)。在平時訓(xùn)練中，一般是告知一個完整分?jǐn)?shù)作為參考值，只需補(bǔ)充另一個殘缺分?jǐn)?shù)。解答此類習(xí)題時，學(xué)生往往無須列式演算，通過讀題就可以迅速猜想出結(jié)果?？墒?，當(dāng)試題明確提出“應(yīng)用分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)解題”這一要求時，許多學(xué)生卻沒能及時將分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)與求解x聯(lián)系起來，也就是說，“分?jǐn)?shù)值不變”這一性質(zhì)沒有融會貫通到兩個分?jǐn)?shù)的分子和分母分別相等的層面上，即先把等式中兩個分?jǐn)?shù)的分子或分母化為相等，然后將含有未知成分的另一個元素的相等關(guān)系用方程來表示，并求出未知數(shù)x。

例如，求解[x+720=25]時，按題目要求應(yīng)該這么解答：

解：[x+720=25]

[x+720=820]（右邊分?jǐn)?shù)分子和分母同步擴(kuò)大4倍）

[x]+7=8（相等的兩個分?jǐn)?shù)，如果分母相等，那么分子也相等）

[x]+7-7=8-7（應(yīng)用等式基本性質(zhì)）

[x]=1

三、解簡易方程的負(fù)遷移影響

在五年級上冊，學(xué)生學(xué)到了解簡易方程的方法，并且大多學(xué)會了運(yùn)用等式的基本性質(zhì)或數(shù)量關(guān)系來解方程，一看到求x，學(xué)生就條件反射地想到解方程，但考慮到“依據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)求未知數(shù)x的值”這一要求時又開始犯糊涂了。如對于“[1630=16+3230+x]”這道題，多數(shù)學(xué)生憑解方程的直覺認(rèn)知，希望按照一般解簡易方程的常規(guī)方法求出未知數(shù)x，可是在這個等式中，未知數(shù)并不是一個運(yùn)算式中明確的整體，而是一個分?jǐn)?shù)的一部分，需要對等式進(jìn)行等價變換后，才能提取出一個含有x的簡明運(yùn)算式，這才是解決問題的關(guān)鍵。有幾名學(xué)生先應(yīng)用分?jǐn)?shù)與除法的概念關(guān)系，把兩個分?jǐn)?shù)改寫成兩個除式，然后再根據(jù)數(shù)量關(guān)系解出x，即

解：[1630=16+3230+x]? [?]16[÷]30=48[÷]（30+x）[?]30+x=48[÷]（16[÷]30）[?]30+x=48[÷]16[×]30[?]30+x=90 [?]x=90-30[?]x=60

上述做法顯然不是根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)求解x，雖然解答時也存在等式x+ 30=90，但是，此時的等式x+30=90已不再是表示兩個分?jǐn)?shù)的分母，30+x的身份已經(jīng)變?yōu)樗闶?8[÷]（30+x）中的除數(shù)，而90是48[÷]（16[÷]30）的計算結(jié)果，最后根據(jù)數(shù)量關(guān)系，解得x=60。

綜上所述，教師在教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生把握好分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，不要讓“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”只成為一個概念，要讓學(xué)生明白在根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)求解未知數(shù)x時，“分?jǐn)?shù)值保持不變”是確定分子或分母相等的前提，保證等式兩邊兩個分?jǐn)?shù)含未知數(shù)部分相等，是列出簡易方程的重要一步。只有牢牢抓住“分?jǐn)?shù)值相等的兩個分?jǐn)?shù)的分子或分母有一個相等，另一個也相等”這個推論，才能利用分子或分母相等建立含有未知數(shù)的方程，然后解方程。

（責(zé)編 黃春香）