果實振動響應時的空中運動數(shù)學模型

許林云，劉冠華，宣 言，周 杰

果實振動響應時的空中運動數(shù)學模型

許林云，劉冠華，宣 言，周 杰

（南京林業(yè)大學機械電子工程學院，南京 210037）

現(xiàn)有的高速攝影技術主要用于研究果實運動時以果實表面某一特征點作為果實質心的運動狀態(tài)，該方法實際上只能反映出果實表面特征點的運動軌跡及瞬時位移、速度及加速度，并不能反映果實質心在空間瞬時的平移、擺動及旋轉姿態(tài)。該文提出了一種將果實空間運動分解為對應果實空間運動瞬時姿態(tài)的平移、擺動及旋轉的計算方法。通過制作實體單位連體基坐標系并確定其初始靜態(tài)位置，建立果實在絕對坐標系中的表面特征點坐標與連體基坐標系的轉換關系，確定在運動過程中果實上連體基坐標的動態(tài)絕對坐標，基于相鄰兩時刻點連體基坐標中的位置變化關系計算果實瞬時動態(tài)位移、速度及加速度，以及果實擺動與旋轉的瞬時角度、角速度及角加速度運動參數(shù)。應用ADAMS計算軟件，通過設定特定的平移、擺動及旋轉的復合運動關系進行運動仿真，應用該文構建的計算公式進行計算，將計算結果與理論仿真值進行對比，確定計算公式的計算精度。位移最大單向平均絕對誤差只有5.9′10-8mm，且位移、速度及加速度的絕對誤差存在103數(shù)量級的逐步放大，位移與速度的相對誤差完全一致，加速度相對誤差則大于位移與速度，最大加速度平均絕對誤差與平均相對誤差分別為6.5′10-2mm/s2及4.13′10-2%，擺動與旋轉的最大平均絕對誤差分別為5.43′10-2與9.51′10-2°/s2。結果表明，該文構建的計算方法應用于求解果實的瞬時運動姿態(tài)是可行的。

振動；采收；運動學；果實運動；坐標轉換；運動參數(shù)；運動姿態(tài)；計算精度

0 引 言

中國是重要的林果生產(chǎn)國之一，2017年林果產(chǎn)量高達3萬多t[1]?；谡駝硬墒占夹g的林果機械采收是最高效的采收方法。國內(nèi)外針對果樹振動采收機理進行了大量的相關研究，主要集中在振動參數(shù)對振動過程及落果率的影響[2-4]、果樹樹體各部位的振動響應[5-7]等方面。Lang等[8-10]建立了多種土壤-樹根系統(tǒng)的果樹模型，通過實測獲得果樹模型中各彈簧剛度與阻尼系數(shù)，對樹木模型進行振動響應計算并與實際試驗結果對比驗證了其模型的準確性。林歡等[11-12]對銀杏樹頻譜特性與振動響應關系進行了深入的研究分析,在使用單偏心塊激振電機對樹體進行激振試驗時，樹體在激振頻率低于10 Hz時響應不大，當激振頻率處在20～25 Hz之間時，容易引起樹體整體強烈的響應。在振動果實運動研究方面，Crooke等[13-14]對林果振動與響應系統(tǒng)建立“果實-果柄”三自由度模型，構建系統(tǒng)的運動微分方程，其將果實在進行小振幅振動時簡化為一種線性系統(tǒng)，但在大振幅振動時是一種非線性的振動。杜小強等[15-16]采用一種扁球形的電子果實代替真實果實研究果實的振動響應，通過果實內(nèi)的三向加速度傳感器獲得果實的振動響應參數(shù)，分析了不同振動階段果實所受的沖擊加速度變化。由于果實質量小，接觸式傳感器會對果實產(chǎn)生附加質量，嚴重影響果實的真實振動響應；模擬式果實不適合小果實，且很難模擬果實的真實果柄，所以通過常規(guī)試驗方法研究果實振動響應過程較為困難。

隨著高速攝影技術的發(fā)展，近年來將該技術逐步應用于研究果實的振動與響應，用雙目或多目高速攝像機拍攝果實的動態(tài)運動過程，可得到果實表面特征點的空間運動軌跡的三維坐標，獲得果實表面特征點的運動參數(shù)、受力大小及受力方向等特征參數(shù)，這已成為果實振動采收理論的主要研究方式[17-21]。Zhou等[22-24]采用高速攝影技術對車厘子的振動采收進行了研究，發(fā)現(xiàn)傾斜運動和柱形竄動占據(jù)了果實運動形態(tài)的70%左右，最不容易損傷果實的運動可能為柱形竄動，在18 Hz時的平均碰撞次數(shù)要小于10與14 Hz的平均碰撞次數(shù)，但18 Hz時的果實損傷率要高，若要減少果實損傷率需減少高頻振動的持續(xù)時間。Castillo-Ruiz等[25]對橄欖果在振動采收時的運動進行了研究，發(fā)現(xiàn)橄欖果的扭轉運動角度一般小于90°，但由扭轉運動產(chǎn)生的彎曲和慣性力是橄欖果脫落的主要影響因素。蔡菲等[26]通過高速攝影方式對新疆的小白杏振動過程進行了研究，通過追蹤果實上的特征點計算果實的運動位移、速度及加速度，最終獲得果實的脫落加速度。彭俊等[27-28]對冬棗在不同頻率下的響應進行了研究，通過i-speed軟件對冬棗的振動進行運動求解，并對冬棗的運動軌跡進行了追蹤，發(fā)現(xiàn)冬棗振動脫落所需的慣性力要小于靜態(tài)下測得的結合力，果實脫落以旋傾型方式為主。散鋆龍等[29-30]從杏果的成熟程度、激振方式和杏果振動動態(tài)響應等方面對杏果的振動采收進行了深入的研究，建立了杏果的受迫振動響應模型，并采用高速攝影系統(tǒng)對杏果的振動響應進行了試驗研究，驗證了其理論模型的準確性。

綜上所述，現(xiàn)有的研究主要集中在通過追蹤果實表面的單一特征點，獲取果實的運動參數(shù)及運動軌跡，但果實表面單一特征點不能反應果實整體的運動狀態(tài)。本文提出了一種在果實與果柄結合點處建立連體基坐標系，構建果實運動姿態(tài)參數(shù)的計算轉換數(shù)學關系，通過追蹤果實表面特征點的已知信息，即可獲得果實在絕對空間的各運動姿態(tài)參數(shù)的計算方法。

1 理論模型建立

1.1 果實運動假設及運動分解

果枝上的果實，由果柄連接果實與果枝，如圖1所示。假設果實為剛體，在任何運動狀態(tài)下均不發(fā)生形變；假設果實為標準回轉體，其質心處于果實縱向軸線12上。

圖1 果實的運動分解

1.2 坐標系建立

目前研究果實在果樹上的空間運動狀態(tài)，通常應用雙目攝像技術，即采用兩臺成一定角度的高速攝影儀同步拍攝運動的果實，在極短時間內(nèi)獲取大量連續(xù)的果實運動過程照片。通過計算相同時刻下兩張照片中果實表面特征點的空間絕對坐標，獲得各特征點在空間的過程曲線即運動軌跡和位移、速度及加速度等運動參數(shù)，此方法的缺陷在于無法了解果實在空間運動過程中如何發(fā)生平移、擺動及旋轉等運動姿態(tài)的變化關系。為通過表面特征點求解上一節(jié)對果實進行的運動分解平移、擺動及旋轉運動參數(shù)，需經(jīng)過一系列的坐標變化，構建各坐標系的坐標轉換關系。

圖2 各坐標系的建立

1.3 坐標系轉換關系構建

實際上，通過圖像采集系統(tǒng)所獲取的為任一時刻果實表面特征點的絕對坐標值，要確定果實在空間運動過程中對應的平移、擺動及轉動運動姿態(tài)參數(shù)值，需建立果實表面特征點坐標系222與連體基坐標系111的關系。具體轉化過程如下：

1）確定初始靜態(tài)坐標位置

制作實體單位連體基坐標系111，坐標系原點粘貼在果實1處，且使軸1與果實縱軸12重合。在果實表面標記3個特征點1、2、3，將2臺高速攝像儀對3個特征點1、2、3、連體基坐標系的原點1及坐標軸端點1、1、1進行靜態(tài)拍攝，獲取各點初始靜態(tài)絕對坐標值。

2）構建向量在特征點坐標系與絕對坐標系的轉換矩陣

在構建向量在2個空間坐標系之間的轉換矩陣時，需先確定2個空間坐標系各坐標軸相互之間的夾角。圖3只標出特征點坐標系中2軸與絕對坐標系各軸的夾角(α，β，γ)，同樣可定義2軸和2軸與絕對坐標系各軸的夾角分別為(α，β，γ)與(α，β，γ)。

注：αx為X2軸與X軸的夾角，rad；βx為X2軸與Y軸的夾角，rad；γx為X2軸與Z軸的夾角，rad。

則向量在特征點坐標系與絕對坐標系的轉換矩陣為

3）構建連體基坐標系中各點坐標向特征點坐標系中的轉換關系

設某一點在絕對坐標系和特征點坐標系中的坐標分別表示為(，，)'P和("，"，")'P。

式中分別代表1、1、1、1各點。

2 基于表面特征點的果實空間運動參數(shù)算法

實際上，應用雙目視覺測試裝置拍攝果實空間運動過程時，果實上不能固結實體坐標系作為連體基坐標系，否則會形成負載效應，影響果實的實際運動姿態(tài)。為確定果實在運動過程中對應變化的連體基坐標系，需通過捕捉動態(tài)的果實表面特征點的絕對坐標進行變換計算動態(tài)的連體基坐標系。

2.1 動態(tài)的連體基坐標系建立

通過獲取果實表面特征點1、2、3（圖2）在各幀圖片（對應每一時刻點）上的絕對坐標值，從而反推連體基坐標系1、1、1、1各點的對應變化關系。則1時刻連體基坐標系各點在絕對坐標系中的坐標

式中分別代表1、1、1、1各點。

2.2 果實平移運動參數(shù)計算方法

設相鄰兩幀圖片分別對應果實運動位置處于1與2時刻，以這相鄰2幀圖片中的連體基坐標系的點1的空間運動作為果實的空間平移運動，其在絕對坐標系3個方向上1時刻的瞬時動態(tài)位移分別為

則合位移為

點1在1時刻的瞬時速度為

點1在1時刻的瞬時加速度

合加速度為

2.3 果實擺動運動參數(shù)計算方法

連體基坐標系1軸從1時刻運動到2時刻對應的空間微小擺動角位移，定義為1時刻的瞬時擺動角位移。計算公式為

2.4 果實旋轉運動參數(shù)計算方法

果實從1時刻運動到2時刻，產(chǎn)生的旋轉運動對應的旋轉角度，可將1時刻和2時刻的連體基坐標系的1軸均轉至與絕對坐標系的軸方向一致（圖4a、4b），再通過計算1軸或1軸繞1軸轉動的角度即可得到（圖4c）。將連體基坐標系的1軸轉至與絕對坐標系的軸方向一致的轉換方法，本文采用歐拉角坐標變換的逆變換，即將連體基坐標系通過2次坐標旋轉。具體計算方法如下。

注：Dφ為t1時刻到t2時刻的旋轉角度，rad。

如圖5所示，計算1軸與軸夾角

注：ω為Z1軸與Z軸的夾角，rad；ψ為Z1軸在XY平面的投影與X軸的夾角，rad。

3 仿真與分析

3.1 仿真條件

本文應用ADAMS軟件建立一個仿真球體，在球體表面上設定特征點，并對球體施加一定運動。ADAMS軟件可按照設定的平移、擺動及旋轉組成的復合運動，通過仿真計算獲得各特征點在對應時刻的絕對坐標值。將各時刻特征點的絕對坐標值應用本文所構建的數(shù)學公式進行計算并得到球體平移、擺動及旋轉的各運動參數(shù)，將計算所得值與對應參數(shù)的理論值相比較，可驗算本文構建的這些計算公式的正確性與計算精度。

本文在ADAMS軟件中建立半徑為15 mm的球體（圖6），在球體表面選取3個特征點1、2、3，在絕對坐標系中的坐標分別為(9.19,-9.19,7.50)、(9.19,9.19,7.50)、(12.99,0,-7.50)。建立連體基坐標系111,在絕對坐標系中的坐標分別為：原點1(0,0,0)，各坐標軸的端點1(1,0,0)、1(0,1,0)、1(0,0,1)。通過式（1）與（2）計算得到1、1、1、1在特征點坐標系222中的坐標分別為

對球施加5種單一的空間運動構成球體的復合運動，運行時長為1 s，進行仿真分析。設定各單一運動形式為：3種平移運動：X向為20-20cos(2pt)，mm；Y向為20sin(2pt)，mm；Z向為10t，mm。擺動運動：繞Y1軸以角速度π/12 (rad/s)勻速擺動。旋轉運動：繞Z1軸以角速度4π (rad/s)的勻速旋轉。

仿真設置為1 000步/s，果實運行1 s后，表面上各點形成的運動軌跡如圖7所示。根據(jù)設定的位移及轉角，由ADAMS軟件仿真球體的運動軌跡，獲得每一步3個特征點的絕對坐標值，應用本文構建的運動參數(shù)計算式（3）～（20）計算仿真球體的平移、擺動及旋轉運動參數(shù)。因每一步所獲得各點的絕對坐標值均是精準值，每一步的誤差絕對不會累積到下一步，即不會形成整個運動軌跡的累積誤差，這與應用雙目攝像系統(tǒng)采集實際果樹上果實在振動過程中所獲取的每一幀圖片上果實表面特征點的空間坐標的精準值（精準度與采集裝置及軟件處理有關）一致，因此所計算的絕對誤差及相對誤差均為1 000步中每相鄰2步（或兩幀）引起的誤差進行整體平均處理的結果。

圖7 果實仿真軌跡圖

3.2 模擬結果與評價分析

應用本文構建的計算公式計算的每一步數(shù)值與每一步理論值進行對比分析，可得平移、擺動及旋轉各參數(shù)的計算絕對誤差與相對誤差，處理結果列于表1與表2中。

表1 平移運動參數(shù)設定值與計算值

從平移、擺動及旋轉3種運動的計算結果來看，應用本文構建的計算方式對應的計算精度均較高。因每一步長移動的位移量非常微小，對應的位移絕對誤差只為10-8mm數(shù)量級，相當微小，即使考慮步長量計算的位移相對誤差也只有10-3mm數(shù)量級,且不會形成累積誤差，因此這樣的計算精度相當高，是可行的。

表2 擺動和旋轉運動參數(shù)設定值與計算值

對應平移時的位移、速度、加速度的絕對誤差逐級相差103數(shù)量級，而相對誤差幾乎一致，雖然具體有效數(shù)值略有差異，這是由每一步平移時各參數(shù)的絕對誤差和相對誤差的計算公式而確定的。以第步及+1步的向平移為例，具體計算公式見表3。

總體來說，通過ADAMS仿真結果計算的平移、擺動、旋轉3種運動參數(shù)的計算精度基本相當，對應各種運動姿態(tài)的同類運動的平均絕對誤差與平均相對誤差在同一數(shù)量級。平移、擺動和旋轉3種運動的位移與速度精度基本一致，加速度計算精度要略低于位移和速度的計算精度。在3種平移運動中，方向的計算精度整體略低于向與向，方向的加速度平均絕對誤差與平均相對誤差分別為6.5×10-2mm/s2和4.13×10-2%，該計算精度能滿足一般果實振動響應的分析要求。旋轉計算精度略低于擺動計算精度，擺動與旋轉運動計算的最大誤差為擺動運動的角加速度平均絕對誤差9.51×10-2°/s2，計算精度同樣滿足要求。總體來說，本文構建的果實空間運動計算方法，在滿足一定精確要求基礎上，可計算確定果實在空間運動時的各瞬時運動姿態(tài)參數(shù)。

表3 X向平移的相對誤差與絕對誤差計算公式

4 結論與討論

1）本文提出了一種果實空間運動計算方法，建立了由果實表面特征點的絕對坐標值，獲取果實在空間運動過程中對應的平移、擺動及旋轉的各運動姿態(tài)參數(shù)瞬時值。

2）構建了絕對坐標系、連體基坐標系及特征點坐標系的單位向量制，以及在不同坐標系中的相互轉換關系。

3）基于ADAMS的計算仿真數(shù)據(jù)，確定了本文構建的計算公式用于計算果實空間運動姿態(tài)參數(shù)的計算精度是滿足一般果實的空間運動姿態(tài)的參數(shù)計算要求。

本文提出的果實計算方法適合于銀杏果、冬棗等相似體型及大型果實，而對于枸杞、藍莓等特別小型的林果，可放大取景窗口應用本文計算方法，也可直接將果實整體作為一個質點，確定果實的瞬時位移、速度、加速度及空間運動軌跡，但無法確定果實在空間的瞬時擺動與旋轉的運動姿態(tài)。

本文提出的果實姿態(tài)參數(shù)計算方法基于表面特征點可見的前提，在實際運用時要提前去除研究對象周圍的遮擋樹葉，以保持特征點持續(xù)可見。對不可避免出現(xiàn)遮擋的情況，可采用曲線擬合的方式對缺失點補償。在果實產(chǎn)生大振幅或大旋轉的運動情況時，只固定3個特征點，很容易出現(xiàn)特征點消失在取景窗口內(nèi)，可在果實整個表面布置不同形狀或顏色的大量特征點，以確保果實處于任何方位均能獲取所需的至少3個特征點。

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[30] 散鋆龍, 楊會民, 王學農(nóng), 等. 振動收獲過程中杏果實脫落的動態(tài)響應[J]. 農(nóng)業(yè)工程學報, 2018, 34(18): 68－75.

San Yunlong, Yang Huimin, Wang Xuenong, et al. Dynamic response analysis of apricot fruit droppingduring vibration harvesting[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2018, 34(18): 68－75. (in Chinese with English abstract)

Mathematical model of fruit’s aerial movement in vibration response

Xu Linyun, Liu Guanhua, Xuan Yan, Zhou Jie

(210037,)

High-speed photography which can take a lot of pictures catching the movement state of the fruit in rapid motionin during a very short time has become the mainstream method to study fruit motion. The mean limitation of the existing researchs is that tracking movement of one feature point on fruit surface can not reflect the exact movement of the fruit,especially swing and rotation. In this paper, We divided the spatial motion of the fruit into the translation, swing and rotation of the instantaneous attitude corresponding fruit spatial motion and proposed a method to calculate 3 kinds of spatial motion of fruit by 3 feature points on fruit surface. First, we constructed a coordinate system called characteristic point coordinates with 2 space vectors from 3 surface feature points. Second, we assumed that the fruit was a rotating body. Then, the coordinate system which we called the conjoined base coordinate system was established with the origin of the joint of the fruit stalk ,in which the-axis coincides with the rotation axis of the fruit. The movement of the fruit was represented by the movement of the conjoined base coordinate origin. The swing of the fruit was represented by the swing of the-axis of the conjoined base coordinate system. The rotation of the fruit was represented by the rotating around-axis of the-axis or-axis in the conjoined base coordinate system. The third, we got the transformation relationship between 2 coordinate systems through the space vector relationship. Final, we used the spatial coordinates of the feature points and coordinate relationship gotten above to calculate the position and attitude of conjoined base coordinate frame by frame. Conjoined base coordinate of 2 adjacent time could calculate the instantaneous dynamic displacement, speed and acceleration of the fruit, as well as the motion parameters such as instantaneous angle, angular speed and angular acceleration for fruit swing and rotation.The ADAMS computing software was used to simulate the motion by setting a specific complex motion relationship of translation, swing and rotation. The calculation formula constructed in this paper was used for calculation and the calculation results were compared with the theoretical simulation values to determine the calculation accuracy of the calculation formula. The maximum one-way average absolute error of displacement was only 5.9×10-8mm, and the absolute errors of displacement, speed and acceleration were enlarged gradually by the order of magnitude of 103. The relative errors of displacement and speed were identical, while the relative error of acceleration was larger than that of displacement and speed. The average absolute error and average relative error of maximum acceleration were 6.5×10-2mm/s2and 4.13×10-2%, respectively. The maximum average absolute errors of swing and rotation were 5.43×10-2and 9.51×10-2°/s2, respectively. The results show that the method constructed in this paper is feasible to solve the instantaneous motion attitude of the fruit.

vibration; harvesting; kinematics; fruit movement; coordinate transformation; motion parameters; motion attitude; calculation accuracy

2019-05-20

2019-07-15

十三五國家重點研發(fā)計劃“農(nóng)特產(chǎn)品收獲技術與裝備研發(fā)”之子課題“農(nóng)特產(chǎn)品智能化收獲機理研究與新結構研發(fā)”（2016YFD0701501）

許林云，博士，教授，博士生導師，主要從事林果收獲機械相關研究。 Email：lyxu@njfu.com.cn

10.11975/j.issn.1002-6819.2019.16.023

S225.93

A

1002-6819(2019)-16-0206-08

許林云，劉冠華，宣 言，周 杰.果實振動響應時的空中運動數(shù)學模型[J]. 農(nóng)業(yè)工程學報，2019，35(16)：206－213. doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2019.16.023 http://www.tcsae.org

Xu Linyun, Liu Guanhua, Xuan Yan, Zhou Jie. Mathematical model of fruit’s aerial movement in vibration response[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2019, 35(16): 206－213. (in Chinese with English abstract) doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2019.16.023 http://www.tcsae.org