三構(gòu)態(tài)驅(qū)動變胞并聯(lián)球鉸設(shè)計與分析

胡旭宇 劉宏昭

(西安理工大學(xué)機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院， 西安 710048)

0 引言

變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)由于具有隨任務(wù)變化而變自由度、變拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的特點(diǎn)和高承載能力、高精度等優(yōu)點(diǎn)，已成為機(jī)構(gòu)學(xué)與機(jī)器人學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一。KONG等[1]通過可鎖運(yùn)動副，提出一種新型三維平移和三維轉(zhuǎn)動2模式變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)。TIAN等[2]通過開啟與鎖死桿件，基于變胞連桿，綜合出一類3R、1T2R、2T1R和3T 4模式變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)。王冰等[3]基于具有解耦特性的變胞球面五桿機(jī)構(gòu)，通過串聯(lián)一個四自由度支鏈綜合出變胞支鏈，應(yīng)用3條相同的變胞混聯(lián)支鏈構(gòu)造了一類變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)。GAN等[4-5]提出了一種變胞虎克鉸Uv，并分析了3-UvCUv變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)的幾何約束。YE等[6-7]基于一種三構(gòu)態(tài)的平面五桿變胞機(jī)構(gòu)，通過構(gòu)建混聯(lián)支鏈，綜合出含約束奇異特性的變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)。ZHANG等[8]基于Bennett閉鏈構(gòu)建混聯(lián)支鏈，提出一種新型變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)。于紅英等[9]通過鎖住不同運(yùn)動副的方式實(shí)現(xiàn)變胞支鏈的構(gòu)態(tài)變換，提出一種基于基本支鏈構(gòu)型的變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計方法，并應(yīng)用所提出的綜合方法，綜合了動平臺為Bricard機(jī)構(gòu)的變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)。劉偉等[10]提出了一類2模式可轉(zhuǎn)換變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)。文獻(xiàn)[11-12]中通過將3個交于一點(diǎn)的轉(zhuǎn)動副替換球鉸，提出了一種關(guān)節(jié)鎖死的變胞球鉸Sv。

綜上可見，學(xué)者們通過研究機(jī)構(gòu)的支鏈奇異特性實(shí)現(xiàn)變胞。一些機(jī)構(gòu)需要在遠(yuǎn)離機(jī)架的關(guān)節(jié)上安裝伺服電動機(jī)或關(guān)節(jié)鎖死裝置，影響機(jī)構(gòu)的動態(tài)性能，并使機(jī)械結(jié)構(gòu)變得復(fù)雜。通過驅(qū)動副的開啟與鎖死可有效避免變胞過程中的約束奇異以及支鏈奇異，而現(xiàn)有文獻(xiàn)中關(guān)于驅(qū)動變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)的研究較少，特別是缺乏關(guān)于系統(tǒng)的包含一維、二維和三維轉(zhuǎn)動的驅(qū)動變胞并聯(lián)球鉸的相關(guān)研究。

本文基于有限旋量法提出一種可以實(shí)現(xiàn)一維轉(zhuǎn)動、二維轉(zhuǎn)動和三維轉(zhuǎn)動的三構(gòu)態(tài)驅(qū)動變胞并聯(lián)球鉸。根據(jù)螺旋理論分析機(jī)構(gòu)各構(gòu)態(tài)的自由度，利用矢量法和幾何約束關(guān)系分析機(jī)構(gòu)全構(gòu)態(tài)運(yùn)動學(xué)。最后基于驅(qū)動變胞并聯(lián)球鉸，提出一種八模式3-SPS/SmPU變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

1 3-RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)型綜合

3R球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)動平臺的有限旋量集合可表示為

{sf,PM}={sf,cΔsf,bΔsf,a}

(1)

其中

式中 {sf,PM}——動平臺的有限旋量[13]集合

{sf,c}——轉(zhuǎn)動副Rc的有限旋量集

θc——轉(zhuǎn)動副Rc從1位置繞其軸線sc轉(zhuǎn)到2位置所轉(zhuǎn)過的角度(圖1)

ro——轉(zhuǎn)動副Rc的矢徑

圖1 剛體有限轉(zhuǎn)動示意圖Fig.1 Sketch of rigid body finite rotation

串聯(lián)支鏈RbRc表示為

(2)

而有限旋量三角積[14-15]表示為

(3)

式中O——零向量

由于動平臺與所綜合的三自由度支鏈自由度相同，因此不需要在描述動平臺的有限旋量因式末端添加線性無關(guān)的轉(zhuǎn)動和移動因子。三自由度支鏈{sf，iL}的標(biāo)準(zhǔn)型為

(4)

式中 {sf，iL}——軸線交于o點(diǎn)的3個轉(zhuǎn)動副(Ra、Rb、Rc)的串聯(lián)支鏈集合

由于支鏈標(biāo)準(zhǔn)型中的3個轉(zhuǎn)動副完全相同，故支鏈RaRbRc無需進(jìn)行運(yùn)動副位置互換?？梢酝ㄟ^運(yùn)動副的替換綜合三自由度支鏈標(biāo)準(zhǔn)型對應(yīng)的所有可行衍生支鏈。

根據(jù)旋量三角積的運(yùn)算法則可得

{sf,iL}={sf,iL}S

(5)

(6)

式中 {sf,iL}S——球鉸S的有限旋量集

{sf,iL}U——虎克鉸U的有限旋量集

{sf,iL}R——轉(zhuǎn)動副R的有限旋量集

綜上可得所有可行三自由度支鏈，如表1所示。

表1 三自由度支鏈Tab.1 Three degrees of freedom branches chain

任取表1中3條支鏈，根據(jù)3條支鏈的等效轉(zhuǎn)動副交點(diǎn)共點(diǎn)即可綜合得到3R球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)。如3條RaRbRc支鏈中9個轉(zhuǎn)動副軸線交于一點(diǎn)。如圖2所示，為避免桿件間的碰撞干涉設(shè)計成圓弧形桿，為使計算簡單方便將每條支鏈的轉(zhuǎn)動副軸線初始位置分布為兩兩垂直，且3個驅(qū)動副軸線兩兩垂直。

圖2 3-RRR變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.2 3-RRR metamorphic parallel mechanism

2 變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特性

如圖2所示，3-RRR變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)由定平臺1、動平臺2以及3條相同的支鏈構(gòu)成，每條支鏈由3個轉(zhuǎn)動軸線兩兩垂直的轉(zhuǎn)動副和圓弧形桿構(gòu)成(支鏈1由R1、L12、R2、L23和R3構(gòu)成，支鏈2由R4、L45、R5、L56和R6構(gòu)成，支鏈3由R7、L78、R8、L89和R9構(gòu)成)。3-RRR變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有3種轉(zhuǎn)動構(gòu)態(tài)：只驅(qū)動R1、只驅(qū)動R4或只驅(qū)動R7的3種運(yùn)動模式，定義為構(gòu)態(tài)1；同時驅(qū)動R1和R4、同時驅(qū)動R1和R7或同時驅(qū)動R4和R7的3種運(yùn)動模式，定義為構(gòu)態(tài)2；同時驅(qū)動R1、R4和R7，定義為構(gòu)態(tài)3，包含1種運(yùn)動模式。

3 機(jī)構(gòu)自由度分析

由于3-RRR變胞機(jī)構(gòu)構(gòu)態(tài)1和構(gòu)態(tài)2下的3種運(yùn)動模式情況相似，故每種構(gòu)態(tài)只分析其中一種。

3.1 構(gòu)態(tài)1機(jī)構(gòu)自由度分析

如圖2所示，以動平臺中心為原點(diǎn)，以R1的轉(zhuǎn)動軸線為Y軸，R4的轉(zhuǎn)動軸線為X軸，建立定坐標(biāo)系OXYZ(固接于定平臺)。在構(gòu)態(tài)1下，設(shè)驅(qū)動副R4和R7鎖定，只驅(qū)動R1，變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)等效為2-RR/RRR，計算2-RR/RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)各支鏈在定坐標(biāo)系下的運(yùn)動螺旋

(7)

式中，設(shè)(ai,bi,ci)和(di,ei,fi)(i=1，2，3)分別表示R2、R5、R8和R3、R6、R9的幾何中心Aj(j=2，5，8，3，6，9)在固定坐標(biāo)系的位置。根據(jù)運(yùn)動螺旋與其約束螺旋互易求各支鏈的約束螺旋

(8)

自由度計算公式為[16-17]

(9)

其中

d=6-λv=k-t

式中M——機(jī)構(gòu)自由度d——機(jī)構(gòu)階數(shù)

λ——公共約束數(shù)

n——包括機(jī)架的構(gòu)件數(shù)目

g——運(yùn)動副數(shù)目

fi——第i個運(yùn)動副自由度

v——多環(huán)并聯(lián)機(jī)構(gòu)在去除公共約束的因素后的冗余約束數(shù)目

t——多環(huán)并聯(lián)機(jī)構(gòu)所有支鏈的反螺旋去除公共約束后的反螺旋數(shù)目

k——多環(huán)并聯(lián)機(jī)構(gòu)所有支鏈的反螺旋去除公共約束后的反螺旋系最大無關(guān)組數(shù)

ξ——機(jī)構(gòu)中存在的局部自由度

根據(jù)構(gòu)態(tài)1的約束螺旋式(8)，可得公共約束數(shù)λ=3，則機(jī)構(gòu)階數(shù)d=3，并聯(lián)機(jī)構(gòu)所有支鏈的反螺旋去除公共約束后的反螺旋數(shù)目t=2，并聯(lián)機(jī)構(gòu)所有支鏈的反螺旋去除公共約束后的反螺旋系的最大無關(guān)組k=2，多環(huán)并聯(lián)機(jī)構(gòu)在去除公共約束的因素后的冗余約束的數(shù)目v=0，不是冗余機(jī)構(gòu)。根據(jù)式(9)，2-RR/RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度為

M=3(6-7-1)+7+0-0=1

(10)

由此可知，只驅(qū)動R1時，此變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有1個繞y軸轉(zhuǎn)動的自由度。

3.2 構(gòu)態(tài)2機(jī)構(gòu)自由度分析

此構(gòu)態(tài)下，鎖定1個驅(qū)動，不妨設(shè)R7鎖定，當(dāng)3-RRR變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)只驅(qū)動R1和R4時，其支鏈1和支鏈3的運(yùn)動螺旋及其反螺旋分別為式(7)中第1式、第3式和式(8)的第1式、第3式，計算2-RRR/RR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的支鏈2在定坐標(biāo)系下的運(yùn)動螺旋

(11)

根據(jù)運(yùn)動螺旋與其約束螺旋互易求支鏈2的約束螺旋

(12)

根據(jù)式(8)的第1式、第3式、式(12)和自由度計算式(9)，可得此構(gòu)態(tài)下的自由度為

M=3(7-8-1)+8+0-0=2

(13)

由此可知，當(dāng)驅(qū)動R1和R4時，此變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有繞x軸和y軸轉(zhuǎn)動的自由度。

3.3 構(gòu)態(tài)3機(jī)構(gòu)自由度分析

同時驅(qū)動R1、R4和R7，其支鏈1的運(yùn)動螺旋及其反螺旋分別為式(7)中第1式和式(8)的第1式，支鏈2的運(yùn)動螺旋及其反螺旋分別為式(11)和式(12)。計算3-RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)支鏈3在定坐標(biāo)系下的運(yùn)動螺旋

(14)

根據(jù)各運(yùn)動螺旋與其約束螺旋互易求得支鏈3的約束螺旋

(15)

根據(jù)式(8)的第1式、式(12)、式(15)和自由度計算式(9)，可得此構(gòu)態(tài)下的自由度為

M=3(8-9-1)+9+0-0=3

(16)

由此可知，此構(gòu)態(tài)下3-RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有繞x、y和z軸轉(zhuǎn)動的自由度。

同樣可以得到，構(gòu)態(tài)1中只驅(qū)動R4(或R7)運(yùn)動模式下的自由度和構(gòu)態(tài)2中同時驅(qū)動R4和R7(或R1和R7)時的自由度。通過對3種構(gòu)態(tài)下自由度的計算可知，3-RRR變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有3種轉(zhuǎn)動構(gòu)態(tài)，各構(gòu)態(tài)下的自由度如表2所示。

表2 驅(qū)動變胞并聯(lián)球鉸的運(yùn)動模式Tab.2 Motion mode of actuated metamorphic parallel spherical joint

由于3-RRR機(jī)構(gòu)具有一維、二維和三維3種轉(zhuǎn)動構(gòu)態(tài)，其三維轉(zhuǎn)動構(gòu)態(tài)與球鉸等效，且通過驅(qū)動的鎖死與開啟實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)的變胞，故可稱作三構(gòu)態(tài)驅(qū)動變胞球鉸。

4 運(yùn)動學(xué)分析

如圖2所示，以動平臺中心為原點(diǎn)，以R1的轉(zhuǎn)動軸線為y軸，R4的轉(zhuǎn)動軸線為x軸，在動平臺上建立動坐標(biāo)系oxyz(初始狀態(tài)時，動坐標(biāo)系與定坐標(biāo)系重合)。

4.1 變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)分析

已知動平臺的姿態(tài)角(設(shè)動平臺繞動坐標(biāo)系x、y和z軸轉(zhuǎn)動角分別為α、β和γ)和3-RRR變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)的各桿件長度，求驅(qū)動副R1、R4和R7轉(zhuǎn)動角(分別設(shè)為θ1、θ2和θ3)。機(jī)構(gòu)動平臺坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)矩陣R采用Y-X-Z型歐拉角，可得

R(βY,αX,γZ)=[RYβ][RXα][RZγ]

(17)

與動平臺相連的轉(zhuǎn)動副R3、R6和R9的各中心點(diǎn)在動坐標(biāo)系的坐標(biāo)矢量Aj為

(18)

與動平臺相連的轉(zhuǎn)動副R3、R6和R9的各中心點(diǎn)在定坐標(biāo)系的坐標(biāo)為

(19)

根據(jù)定長桿L23、L56和L89為轉(zhuǎn)動副R3、R6和R9中心坐標(biāo)與中間轉(zhuǎn)動副R2、R5和R8中心坐標(biāo)之差，可得

(20)

根據(jù)式(20)，可得3-RRR變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)逆解

(21)

對式(21)兩邊求導(dǎo)，可得構(gòu)態(tài)3機(jī)構(gòu)雅可比矩陣為

(22)

式中J——機(jī)構(gòu)雅可比矩陣

同理可求得驅(qū)動變胞并聯(lián)球鉸構(gòu)態(tài)1和構(gòu)態(tài)2下機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)逆解。

4.2 變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動仿真

圖3 3-RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動曲線Fig.3 Motion curves of 3-RRR parallel mechanism

從圖3可以看出，運(yùn)動學(xué)模型的計算結(jié)果與ADAMS仿真結(jié)果一致，驗證了所建運(yùn)動學(xué)模型的正確性[18-20]。同樣的方法可驗證構(gòu)態(tài)1和構(gòu)態(tài)2下機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)。對三構(gòu)態(tài)驅(qū)動變胞并聯(lián)球鉸運(yùn)動學(xué)的分析為機(jī)構(gòu)的實(shí)際工業(yè)應(yīng)用奠定了一定的理論基礎(chǔ)。且由于運(yùn)動學(xué)是研究機(jī)構(gòu)的輸與入輸出之間的映射關(guān)系，故同時也驗證了驅(qū)動變胞并聯(lián)球鉸運(yùn)動的可行性。

5 應(yīng)用

基于3-RRR驅(qū)動變胞并聯(lián)球鉸，通過在動平臺上串聯(lián)P副和U副，構(gòu)成SmPU驅(qū)動變胞支鏈。由于驅(qū)動Sm后驅(qū)動變胞支鏈的自由度為3，結(jié)合驅(qū)動選取原則，通過與3條包含3個驅(qū)動副的六自由度支鏈組合，提出了一種多模式3-SPS/SmPU驅(qū)動變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)。初始狀態(tài)下，3-SPS/SmPU變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)中U副轉(zhuǎn)動軸線分別平行于定坐標(biāo)系的y軸和x軸。

圖4 3-SPS/SmPU變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.4 3-SPS/SmPU metamorphic parallel mechanism

如圖4所示，圖中帶箭頭的運(yùn)動副表示驅(qū)動副。當(dāng)變胞球鉸無驅(qū)動，3-SPS/SmPU變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有繞y軸和x軸轉(zhuǎn)動和沿z軸移動的3個自由度；當(dāng)變胞球鉸處于構(gòu)態(tài)1：只具有繞y(或x)軸轉(zhuǎn)動時，3-SPS/SmPU變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有繞y軸和x軸轉(zhuǎn)動和沿z軸和x(或y)軸移動的4個自由度；變胞球鉸只具有繞z軸轉(zhuǎn)動時，3-SPS/SmPU變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有繞y軸、x軸和z軸轉(zhuǎn)動和沿z軸移動的4個自由度；當(dāng)變胞球鉸處于構(gòu)態(tài)2：具有繞y軸和x軸轉(zhuǎn)動時，3-SPS/SmPU變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有繞y軸和x軸轉(zhuǎn)動和沿z、x、y軸移動的5個自由度；變胞球鉸具有繞z軸和x(或y)軸轉(zhuǎn)動時，3-SPS/SmPU變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有繞x、y、z軸轉(zhuǎn)動和沿z軸和y(或x)軸移動的5個自由度；當(dāng)變胞球鉸處于構(gòu)態(tài)3(即具有三維轉(zhuǎn)動自由度)時，3-SPS/SmPU變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有6個自由度。即3-SPS/SmPU變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有8種運(yùn)動模式。

6 結(jié)論

(1)提出了一種驅(qū)動位于定平臺的3-RRR驅(qū)動變胞并聯(lián)球鉸，通過便捷的開啟與鎖死驅(qū)動即可實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)的變胞。

(2)建立了3-RRR驅(qū)動變胞并聯(lián)球鉸的運(yùn)動學(xué)模型，其與ADAMS仿真結(jié)果一致，驗證了所建運(yùn)動學(xué)模型的正確性。

(3)基于3-RRR變胞并聯(lián)球鉸，通過串聯(lián)P副和U副，構(gòu)成SmPU變胞支鏈。并將變胞支鏈SmPU應(yīng)用于八模式3-SPS/SmPU變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)。