考慮碰撞的冗余串聯(lián)機(jī)器人沖擊運(yùn)動(dòng)分析與優(yōu)化

暢博彥 朱永杰 金國(guó)光 宋艷艷 李曉寧 路春輝

(1.天津工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 天津 300387； 2.天津市現(xiàn)代機(jī)電裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 天津 300387)

0 引言

機(jī)器人在工作過(guò)程中，不可避免地與外界環(huán)境發(fā)生接觸和碰撞[1-2]。碰撞會(huì)使機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和動(dòng)力學(xué)特性發(fā)生變化，影響系統(tǒng)的正常運(yùn)行，嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)瓜到y(tǒng)發(fā)生破壞[3-5]。因此，有必要在碰撞前對(duì)機(jī)器人的沖擊運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析和優(yōu)化，以減小碰撞所產(chǎn)生的不利影響。

機(jī)器人系統(tǒng)碰撞動(dòng)力學(xué)建模是對(duì)其進(jìn)行沖擊運(yùn)動(dòng)分析與優(yōu)化的基礎(chǔ)。RYU等[6]針對(duì)機(jī)械手工作過(guò)程中的碰撞情況，運(yùn)用Lagrange方程建立了機(jī)械手的碰撞動(dòng)力學(xué)模型，并用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該模型的正確性；CHAPNIK等[7]考慮了多種阻尼效應(yīng)，運(yùn)用有限元法對(duì)單臂機(jī)器人碰撞動(dòng)力學(xué)建模進(jìn)行了研究，并模擬了機(jī)械臂在沖擊載荷作用下的運(yùn)動(dòng)；金國(guó)光等[8]針對(duì)機(jī)械臂在運(yùn)行過(guò)程中的接觸碰撞問(wèn)題，基于高斯最小約束原理和系統(tǒng)碰撞前的狀態(tài)參數(shù)，提出了一種確定接觸碰撞后系統(tǒng)狀態(tài)量的分析方法；文獻(xiàn)[9-10]針對(duì)柔性機(jī)器人碰撞時(shí)的動(dòng)力學(xué)建模問(wèn)題，引入沖量勢(shì)，結(jié)合碰撞恢復(fù)系數(shù)方程，得到碰撞結(jié)束瞬時(shí)系統(tǒng)的廣義速度求解方程；劉辛軍等[11-12]對(duì)二自由度平面機(jī)器人進(jìn)行研究，針對(duì)機(jī)器人的綜合性能問(wèn)題，提出了全域性能指標(biāo)和局域性能指標(biāo)的分析方法，以確定機(jī)器人的構(gòu)件長(zhǎng)度與性能指標(biāo)之間的關(guān)系；賈慶軒等[13-14]根據(jù)空間機(jī)械臂在軌對(duì)接或裝配時(shí)多重任務(wù)的要求，通過(guò)分析任務(wù)的特點(diǎn)，提出了多目標(biāo)融合的冗余度空間機(jī)械臂碰前軌跡優(yōu)化方法，并對(duì)機(jī)械臂碰前軌跡進(jìn)行了優(yōu)化；李憲華等[15]使用反變換法求解機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解，通過(guò)給出解的組合原則，得到了該機(jī)械臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的完整解析解，為機(jī)械臂的軌跡規(guī)劃提供了理論依據(jù)；趙占芳等[16]針對(duì)冗余機(jī)器人的避障問(wèn)題，根據(jù)雅可比矩陣的零空間，通過(guò)選取合理的放大系數(shù)，對(duì)串聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)劃；溫貽芳等[17]針對(duì)冗余機(jī)器人末端軌跡優(yōu)化過(guò)程中關(guān)節(jié)空間運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性不足的問(wèn)題，提出一種以適應(yīng)度函數(shù)為基礎(chǔ)的關(guān)節(jié)空間軌跡優(yōu)化算法；王安琪等[18]通過(guò)空間矢量引導(dǎo)、避障路徑的比較，快速找到空間優(yōu)化路徑，實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)軌跡規(guī)劃方法。以上研究工作為冗余機(jī)器人碰撞動(dòng)力學(xué)建模和碰前軌跡優(yōu)化提供了方法。

本文根據(jù)機(jī)器人的工作環(huán)境和使用工況的不同，將機(jī)器人的碰撞問(wèn)題劃分為無(wú)約束碰撞和有約束碰撞。無(wú)約束碰撞是指機(jī)器人在其工作空間內(nèi)，不受環(huán)境和自身運(yùn)動(dòng)的約束，在任意位置均有可能觸發(fā)的碰撞。有約束碰撞是指機(jī)器人在其工作空間內(nèi)，受到環(huán)境或自身運(yùn)動(dòng)的約束而按特定條件觸發(fā)的碰撞。針對(duì)兩種碰撞類型，基于碰撞過(guò)程中的沖量原理與碰撞恢復(fù)系數(shù)方程，建立碰撞時(shí)系統(tǒng)所受外部沖量的求解模型。對(duì)于無(wú)約束碰撞，以速度突變量和沖量之間的映射矩陣為基礎(chǔ)，從物理意義出發(fā)，構(gòu)造沖擊運(yùn)動(dòng)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，研究沖擊運(yùn)動(dòng)性能與機(jī)器人機(jī)構(gòu)尺寸之間的關(guān)系，并繪制對(duì)應(yīng)的局域和全域性能圖譜。對(duì)于有約束碰撞，在沖擊動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，以系統(tǒng)所受外部沖量最小為目標(biāo)，分別對(duì)定點(diǎn)碰撞和動(dòng)點(diǎn)碰撞的碰前位姿進(jìn)行優(yōu)化，并進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

1 串聯(lián)機(jī)器人系統(tǒng)外部沖量求解模型

在慣性坐標(biāo)系中，假設(shè)機(jī)器人執(zhí)行末端點(diǎn)坐標(biāo)為Xact，相應(yīng)的環(huán)境接觸點(diǎn)坐標(biāo)為Xenv，機(jī)器人的沖擊運(yùn)動(dòng)如圖1所示。

圖1 機(jī)器人系統(tǒng)接觸碰撞示意圖Fig.1 Diagram of robot system with collision

針對(duì)n自由度串聯(lián)機(jī)器人系統(tǒng)，記系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)為q=(q1,q2,…,qn)T。根據(jù)Lagrange方程，其動(dòng)力學(xué)方程可表示為

(1)

式中q——n×1維廣義坐標(biāo)向量

M——n×n維系統(tǒng)慣性矩陣

τ——n×1維廣義坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的驅(qū)動(dòng)力矩向量

G(q)——n×1維重力對(duì)廣義坐標(biāo)的等效力向量

機(jī)器人機(jī)構(gòu)的末端點(diǎn)在慣性坐標(biāo)系中廣義坐標(biāo)的形式為

Xact=φ1(q)

(2)

在任意工作位置附近，令系統(tǒng)末端產(chǎn)生虛位移δXact，根據(jù)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的位置幾何關(guān)系可知

δXact=Jδq

(3)

(4)

在系統(tǒng)發(fā)生碰撞時(shí)間間隔δt內(nèi)，Xenv可以用廣義坐標(biāo)q表示為

Xenv=φ2(q)

(5)

當(dāng)式(5)關(guān)系成立時(shí)，在接觸點(diǎn)Xact處產(chǎn)生碰撞且外部沖擊力為F，沖擊力矩為τact。根據(jù)虛功原理，系統(tǒng)的主動(dòng)力、主動(dòng)力矩對(duì)作用點(diǎn)的虛位移作功之和為零，即

(6)

將式(3)代入式(6)可得

τact=JTF

(7)

當(dāng)機(jī)器人末端受到外部沖擊作用時(shí)，根據(jù)靜力平衡條件，由式(1)和式(7)可知，機(jī)器人系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

(8)

根據(jù)經(jīng)典碰撞理論，對(duì)系統(tǒng)作如下假設(shè)：碰撞時(shí)間無(wú)限小，碰撞過(guò)程中所有桿的位置和方位不變，碰撞是點(diǎn)接觸，碰撞過(guò)程中桿的形狀和慣量不變[8]。由于碰撞過(guò)程多是彈性碰撞，設(shè)碰撞恢復(fù)系數(shù)為e(0

(δv1-δv2)Tn=-(1+e)(v1-v2)Tn

(9)

式中v1、v2——碰撞瞬時(shí)兩物體在碰撞點(diǎn)的絕對(duì)速度

δv1、δv2——碰撞過(guò)程中的速度增量

根據(jù)上述假設(shè)可知，碰撞后機(jī)器人關(guān)節(jié)的位置保持不變，各關(guān)節(jié)的角速度是有限量。對(duì)式(8)在整個(gè)碰撞過(guò)程δt內(nèi)積分得

(10)

式中t0——碰撞前的瞬時(shí)時(shí)刻

因?yàn)槲灰坪退俣仍谂鲎策^(guò)程中為有限量，當(dāng)δt→0時(shí)，式(10)左端的第2項(xiàng)趨于零，得

(11)

其中

式中p——碰撞沖量

由此可得系統(tǒng)廣義速度增量的表達(dá)式為

(12)

碰撞點(diǎn)處的速度增量為

δv=JM-1JTp

(13)

假設(shè)機(jī)器人系統(tǒng)與外界環(huán)境發(fā)生碰撞，若碰撞時(shí)接觸表面沒(méi)有摩擦，則碰撞沖量的方向總是沿著接觸點(diǎn)法向量n，將式(13)代入式(9)得

(14)

又因?yàn)?/p>

p=pn

(15)

則系統(tǒng)在碰撞點(diǎn)處所受到的沖量為

(16)

2 運(yùn)動(dòng)冗余串聯(lián)機(jī)器人的無(wú)約束碰撞

2.1 沖擊運(yùn)動(dòng)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)

機(jī)器人的沖擊運(yùn)動(dòng)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)不僅與機(jī)器人的位形有關(guān)，而且與機(jī)器人的機(jī)構(gòu)尺寸有關(guān)，機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)的確定是機(jī)器人機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)中的重要課題[19-21]。確定合理的機(jī)構(gòu)參數(shù)是研究冗余串聯(lián)機(jī)器人碰撞問(wèn)題的首要條件，針對(duì)無(wú)約束碰撞時(shí)機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性分析，提出沖擊運(yùn)動(dòng)全域性能指標(biāo)和局域性能指標(biāo)，可為機(jī)器人結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供依據(jù)。機(jī)器人發(fā)生碰撞時(shí)，外部沖量p與系統(tǒng)末端速度增量V之間的映射關(guān)系為

V=Jtp

(17)

其中

V=δvJt=JM-1JT

式中Jt——沖擊運(yùn)動(dòng)映射矩陣，為對(duì)稱陣

由于沖擊力的不確定性，其計(jì)算值與理論值總會(huì)有一定的偏差δp，因此速度增量也會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的偏差δV，即

(V+δV)=Jt(p+δp)

(18)

由式(17)和式(18)可得

δV=Jtδp

(19)

根據(jù)矩陣分析理論，可知

‖V‖=‖Jtp‖≤‖Jt‖‖p‖

(20)

(21)

‖δV‖=‖Jtδp‖≤‖Jt‖‖δp‖

(22)

(23)

式中‖‖表示向量或矩陣的范數(shù)。

由式(20)和式(23)可得

(24)

由式(21)和式(22)可得

(25)

由式(24)和式(25)可得

(26)

(27)

條件數(shù)kt是評(píng)價(jià)沖擊運(yùn)動(dòng)映射矩陣病態(tài)程度的重要指標(biāo)，可用來(lái)衡量沖擊運(yùn)動(dòng)映射矩陣之逆矩陣的精確度，滿足條件

kt≥1

(28)

由于機(jī)器人的沖擊運(yùn)動(dòng)映射矩陣Jt是非常數(shù)矩陣，它與機(jī)器人的位姿、幾何參數(shù)和物理參數(shù)有關(guān)。為了定量評(píng)價(jià)機(jī)器人的沖擊運(yùn)動(dòng)性能，可在整個(gè)工作空間上定義其全域性能指標(biāo)，即

(29)

式中W——機(jī)器人的可達(dá)工作空間

ηt——機(jī)器人發(fā)生碰撞時(shí)的沖擊運(yùn)動(dòng)全域性能指標(biāo)

由式(28)、(29)可知，全域性能指標(biāo)ηt是一個(gè)大于零且小于或等于1的數(shù)。

全域性能指標(biāo)是指每種具體尺寸機(jī)器人的性能指標(biāo)分布在其整個(gè)工作空間內(nèi)的平均值；與全域性能指標(biāo)相對(duì)應(yīng)，局域性能指標(biāo)是指某一具體尺寸機(jī)器人機(jī)構(gòu)的性能指標(biāo)在其工作空間內(nèi)每個(gè)形位的分布情況[21]。局域性能指標(biāo)用ηJ表示。

(30)

用全域性能指標(biāo)優(yōu)化機(jī)器人機(jī)構(gòu)時(shí)，優(yōu)化結(jié)果為平均值最優(yōu)，不能體現(xiàn)局域性能，還需要考慮性能指標(biāo)值在具體工作空間內(nèi)的分布是否合理。所以，在設(shè)計(jì)機(jī)器人機(jī)構(gòu)時(shí)，需要綜合分析全域性能指標(biāo)和局域性能指標(biāo)。

2.2 優(yōu)化示例

圖2的平面3自由度機(jī)構(gòu)是串聯(lián)機(jī)器人系統(tǒng)中最常見(jiàn)的構(gòu)型，以該機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，根據(jù)上述理論，研究各桿長(zhǎng)度變化對(duì)機(jī)器人沖擊運(yùn)動(dòng)性能指標(biāo)的影響，以確定合理的機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)。

圖2 平面3自由度機(jī)器人Fig.2 Planar 3-DOF robot

當(dāng)桿j(j=1,2,3)的長(zhǎng)度為基準(zhǔn)長(zhǎng)度時(shí)，kij(i=1,2,3;i≠j)表示桿i與桿j長(zhǎng)度的比值，為無(wú)量綱參數(shù)。由式(30)可分別計(jì)算并繪制出機(jī)構(gòu)沖擊運(yùn)動(dòng)全域性能指標(biāo)隨桿長(zhǎng)的變化規(guī)律，如圖3所示。

圖3 機(jī)器人的全域性能圖譜Fig.3 Atlases of global conditioning index for planar 3-DOF robot

當(dāng)選擇桿1長(zhǎng)度為基準(zhǔn)長(zhǎng)度時(shí)，對(duì)應(yīng)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的沖擊運(yùn)動(dòng)全域性能圖譜如圖3a所示，指標(biāo)值在圖譜內(nèi)的分布規(guī)律為：指標(biāo)值與桿3長(zhǎng)度成正比，與桿2長(zhǎng)度成反比；由等高線的分布規(guī)律可以看出，桿2和桿3長(zhǎng)度對(duì)指標(biāo)值的影響程度都很明顯。

當(dāng)選擇桿2長(zhǎng)度為基準(zhǔn)長(zhǎng)度時(shí)，對(duì)應(yīng)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的沖擊運(yùn)動(dòng)全域性能圖譜如圖3b所示，指標(biāo)值在圖譜內(nèi)的分布規(guī)律為：指標(biāo)值與桿1長(zhǎng)度成正比，與桿3長(zhǎng)度成反比；由等高線的分布規(guī)律可以看出，桿1長(zhǎng)度對(duì)指標(biāo)值的影響程度都明顯，當(dāng)k12<1時(shí)，桿3長(zhǎng)度對(duì)指標(biāo)值的影響程度不明顯，當(dāng)k12>1時(shí)，桿3長(zhǎng)度對(duì)指標(biāo)值的影響程度逐漸增大。

當(dāng)選擇桿3長(zhǎng)度為基準(zhǔn)長(zhǎng)度時(shí)，對(duì)應(yīng)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的沖擊運(yùn)動(dòng)全域性能圖譜如圖3c所示，指標(biāo)值在圖譜內(nèi)的分布規(guī)律為：指標(biāo)值與桿1和桿2長(zhǎng)度成反比；由等高線的分布規(guī)律可以看出，桿1長(zhǎng)度對(duì)指標(biāo)值的影響程度明顯，桿2長(zhǎng)度對(duì)指標(biāo)值的影響程度不明顯。

在圖3a中選取兩組不同的桿長(zhǎng)參數(shù)進(jìn)行機(jī)構(gòu)沖擊運(yùn)動(dòng)局域性能分析，得到圖譜如圖4所示。其中，曲面A表示3個(gè)桿的長(zhǎng)度l1=l2=l3=0.2 m時(shí)，機(jī)構(gòu)的局域性能指標(biāo)分布，曲面B表示3個(gè)桿的長(zhǎng)度l1=l2=0.2 m、l3=0.05 m時(shí)，機(jī)構(gòu)的局域性能指標(biāo)分布。

圖4 機(jī)器人的局域性能圖譜Fig.4 Atlases of local conditioning index for planar 3-DOF robot

根據(jù)局域性能圖譜可以看出，機(jī)器人的沖擊運(yùn)動(dòng)性能與其位姿有直接關(guān)系，當(dāng)機(jī)器人接近奇異位置時(shí)，其沖擊運(yùn)動(dòng)局域性能指標(biāo)顯著降低，當(dāng)機(jī)器人處于奇異位置時(shí)，ηJ=0，此時(shí)外部沖量的微小變化都會(huì)使得系統(tǒng)產(chǎn)生較大的速度波動(dòng)。另外，由圖4可以看出，曲面A所對(duì)應(yīng)的機(jī)器人機(jī)構(gòu)在外部沖擊作用下保持運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的能力明顯高于曲面B所對(duì)應(yīng)的機(jī)器人機(jī)構(gòu)。

3 運(yùn)動(dòng)冗余串聯(lián)機(jī)器人的約束碰撞

令串聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的任務(wù)自由度為N1，機(jī)構(gòu)自由度為N2，驅(qū)動(dòng)構(gòu)件數(shù)目為N3，當(dāng)N1

根據(jù)碰撞時(shí)約束條件的不同，可對(duì)約束碰撞進(jìn)行分類。當(dāng)機(jī)器人末端與已知目標(biāo)物在其可達(dá)工作空間內(nèi)的某一定點(diǎn)以確定的運(yùn)動(dòng)速度發(fā)生碰撞時(shí)，稱為定點(diǎn)碰撞，即定點(diǎn)碰撞的約束條件為機(jī)器人末端的位置約束；當(dāng)機(jī)器人末端在其可達(dá)工作空間內(nèi)沿任務(wù)軌跡運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，在某一瞬時(shí)與未知目標(biāo)物發(fā)生碰撞，稱為動(dòng)點(diǎn)碰撞，即動(dòng)點(diǎn)碰撞的約束條件為機(jī)器人末端的軌跡約束。

3.1 定點(diǎn)碰撞問(wèn)題的優(yōu)化

以碰撞時(shí)產(chǎn)生的外部沖量最小為優(yōu)化目標(biāo)，根據(jù)定點(diǎn)碰撞的定義，運(yùn)動(dòng)冗余串聯(lián)機(jī)器人定點(diǎn)碰撞優(yōu)化的實(shí)質(zhì)是對(duì)碰撞時(shí)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的位姿和碰撞方向進(jìn)行優(yōu)化，根據(jù)式(2)、(5)、(16)可得其數(shù)學(xué)模型為

minp(q,θ)=

(31)

(32)

以平面3自由度串聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)(圖2)為研究對(duì)象，研究機(jī)構(gòu)末端與固定目標(biāo)物以不同的位姿和碰撞方向發(fā)生定點(diǎn)碰撞時(shí)所產(chǎn)生的外部沖量。在沖擊運(yùn)動(dòng)全域性能指標(biāo)分析的基礎(chǔ)上，選取3個(gè)桿件的長(zhǎng)度均為0.2 m。假設(shè)機(jī)器人機(jī)構(gòu)末端沿X軸負(fù)方向以v1=1 m/s的速度在M點(diǎn)處與固定目標(biāo)物發(fā)生定點(diǎn)碰撞，設(shè)定恢復(fù)系數(shù)e=0.8，θ為執(zhí)行末端碰撞時(shí)的速度方向與接觸點(diǎn)法線方向的夾角，q1、q2、q3為機(jī)器人機(jī)構(gòu)的廣義坐標(biāo)，設(shè)置定點(diǎn)碰撞的約束條件為：Xact=Xenv=(0,0.2 m)，-π/2<θ<π/2，如圖5所示。

圖5 串聯(lián)機(jī)器人定點(diǎn)碰撞示意圖Fig.5 Diagram of serial robot’s immovable-point impact

將上述已知條件代入式(31)和式(32)可得機(jī)構(gòu)發(fā)生定點(diǎn)碰撞時(shí)，機(jī)構(gòu)位姿和碰撞方向?qū)ν獠繘_量的影響規(guī)律，如圖6所示。

圖6 外部沖量圖譜Fig.6 Index of external impulse

由圖6可以看出，定點(diǎn)碰撞時(shí)產(chǎn)生的外部沖量與機(jī)器人機(jī)構(gòu)的位姿和碰撞方向緊密相關(guān)，在設(shè)計(jì)空間中的區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ，機(jī)器人機(jī)構(gòu)發(fā)生定點(diǎn)碰撞時(shí)所產(chǎn)生的外部沖量較小，在區(qū)域Ⅲ所產(chǎn)生的外部沖量急劇增大，可根據(jù)實(shí)際工況的需求即盡可能避免沖擊或利用沖擊，進(jìn)行相關(guān)參數(shù)的選取。

3.2 動(dòng)點(diǎn)碰撞問(wèn)題的優(yōu)化

當(dāng)機(jī)器人發(fā)生動(dòng)點(diǎn)碰撞時(shí)，由于碰撞點(diǎn)未知，則需對(duì)其運(yùn)動(dòng)過(guò)程中任意時(shí)刻的位姿——?jiǎng)討B(tài)位姿進(jìn)行優(yōu)化，使碰撞發(fā)生時(shí)產(chǎn)生的外部沖量最小。針對(duì)動(dòng)點(diǎn)碰撞問(wèn)題，首先運(yùn)用梯度投影法得到考慮關(guān)節(jié)速度約束的運(yùn)動(dòng)冗余串聯(lián)機(jī)器人的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解析解。

式(2)兩邊關(guān)于時(shí)間t求導(dǎo)得

(33)

(34)

式中J+——雅可比矩陣J的廣義逆

I——單位矩陣

y——優(yōu)化指標(biāo)函數(shù)

式(34)右邊第1項(xiàng)是方程(33)的特解，是機(jī)器人基本運(yùn)動(dòng)要求的最小范數(shù)解；第2項(xiàng)為齊次解，表示機(jī)器人關(guān)節(jié)空間的自運(yùn)動(dòng)。運(yùn)用雅可比矩陣的零空間可以實(shí)現(xiàn)在不改變執(zhí)行末端運(yùn)動(dòng)規(guī)律的情況下，對(duì)其關(guān)節(jié)角速度進(jìn)行優(yōu)化。

由式(16)可知，冗余串聯(lián)機(jī)器人發(fā)生動(dòng)點(diǎn)碰撞時(shí)，碰撞產(chǎn)生的沖量與式中的分母成反比，取沖擊運(yùn)動(dòng)性能指標(biāo)函數(shù)為

(35)

(36)

α——放大系數(shù)

可通過(guò)仿真法予以確定[16]。針對(duì)動(dòng)點(diǎn)碰撞問(wèn)題，通過(guò)優(yōu)化μ值，即在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中使其數(shù)值盡可能大，以達(dá)到減小外部碰撞沖量的目的。

以平面3自由度串聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)(圖2)為研究對(duì)象，對(duì)其進(jìn)行動(dòng)點(diǎn)碰撞問(wèn)題研究。同樣選取3個(gè)桿件的長(zhǎng)度均為0.2 m，質(zhì)量為0.1 kg。機(jī)器人各關(guān)節(jié)的初始狀態(tài)為q1=-2π/3、q2=2π/3、q3=2π/3，如圖7所示。

當(dāng)串聯(lián)機(jī)器人執(zhí)行末端沿著向量n=(cos(π/4),sin(π/4))T方向，v=0.06 m/s作勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)應(yīng)μ如圖8所示。由圖8可以看出，α取正數(shù)時(shí)，μ隨著α的增大而增大，當(dāng)α>0.05時(shí)，μ值增大不明顯，因此可在0～0.5之間選取合適的α值。此外，優(yōu)化后機(jī)器人機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的μ值明顯大于優(yōu)化前(α=0)，結(jié)合式(16)、(35)可知，優(yōu)化后的串聯(lián)機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的任意時(shí)刻發(fā)生碰撞，所產(chǎn)生的外部沖量都可得到有效降低，優(yōu)化效果明顯，如圖9所示。

圖7 串聯(lián)機(jī)器人動(dòng)點(diǎn)碰撞示意圖Fig.7 Diagram of serial robot’s movable-point impact

圖8 性能指標(biāo)函數(shù)Fig.8 Performance index function

圖9 外部沖量Fig.9 External impulses

基于逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解析解可求得機(jī)器人機(jī)構(gòu)中各構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖10所示。

圖10 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡圖Fig.10 Diagrams of robot’s trajectory

對(duì)應(yīng)α取不同值時(shí)，根據(jù)式(34)可求得各關(guān)節(jié)的初始廣義角速度，如表1所示。

由表1可以看出，關(guān)節(jié)1的初始廣義角速度隨著放大系數(shù)α的增大而成比例增大，且數(shù)值變化較大，該結(jié)論也可從圖10中得到驗(yàn)證，其余兩關(guān)節(jié)的初始廣義角速度不變。可以發(fā)現(xiàn)，如果α取較小值，發(fā)生碰撞時(shí)對(duì)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的外部沖量?jī)?yōu)化效果不明顯，如果α取較大值，機(jī)器人機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)空間自運(yùn)動(dòng)的速度有可能很高并引起關(guān)節(jié)速度越限。因此，需要綜合分析機(jī)器人機(jī)構(gòu)碰撞時(shí)外部沖量、運(yùn)動(dòng)軌跡及各關(guān)節(jié)的初始廣義角速度，在計(jì)算仿真分析的基礎(chǔ)上選取合理的放大系數(shù)。

表1 機(jī)器人關(guān)節(jié)初始廣義角速度Tab.1 Initial generalized angular speed of robot joints rad/s

4 結(jié)論

(1)對(duì)運(yùn)動(dòng)冗余串聯(lián)機(jī)器人的碰撞問(wèn)題進(jìn)行了分類研究，根據(jù)機(jī)器人操作環(huán)境和使用工況的不同，將其碰撞問(wèn)題劃分為無(wú)約束碰撞和有約束碰撞兩大類，約束碰撞中由于約束條件的不同又分為定點(diǎn)碰撞和動(dòng)點(diǎn)碰撞。

(2)將多體系統(tǒng)沖擊動(dòng)力學(xué)方程與碰撞恢復(fù)系數(shù)方程相結(jié)合，推導(dǎo)得機(jī)器人系統(tǒng)發(fā)生碰撞時(shí)的外部沖量求解模型，該模型中碰撞點(diǎn)的速度與碰撞沖量之間解耦，有利于計(jì)算求解。

(3)針對(duì)無(wú)約束碰撞問(wèn)題，提出了沖擊運(yùn)動(dòng)映射矩陣的概念，構(gòu)造了機(jī)器人的沖擊運(yùn)動(dòng)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，該指標(biāo)可用于評(píng)價(jià)系統(tǒng)在受到外部沖擊作用下保持運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的能力。

(4)針對(duì)定點(diǎn)碰撞問(wèn)題，結(jié)合碰撞時(shí)的位置約束條件，建立了系統(tǒng)發(fā)生碰撞時(shí)的優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型。針對(duì)動(dòng)點(diǎn)碰撞問(wèn)題，運(yùn)用梯度投影法建立了考慮關(guān)節(jié)速度約束的串聯(lián)機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解模型，該方法可使得機(jī)器人發(fā)生動(dòng)點(diǎn)碰撞時(shí)產(chǎn)生的外部沖量最小。