拓展隔板法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

毛惠明

[摘 ? ? ? ? ? 要] ?在排列組合中，傳統(tǒng)的隔板法在應(yīng)用中有著諸多限制，應(yīng)用范圍較窄，結(jié)合在教學(xué)中的經(jīng)驗(yàn)對(duì)隔板法進(jìn)行再思考，徹底改變了傳統(tǒng)隔板法的思維模式，并拓展了隔板法的應(yīng)用范圍。

[關(guān) ? ?鍵 ? 詞] ?捆綁法;插空法;隔板法;拓展隔板法

[中圖分類號(hào)] ?G712 ? ? ? ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)志碼] ?A ? ? ? ? ? ?[文章編號(hào)] ?2096-0603（2019）17-0080-02

在組合數(shù)學(xué)中，隔板法（又叫插空法）是排列組合的推廣，主要用于解決不相鄰組合與追加排列的問(wèn)題。在高中數(shù)學(xué)排列組合問(wèn)題中，常見(jiàn)的解題方法有“捆綁法”“插空法”“隔板法”等。筆者經(jīng)過(guò)多年的教學(xué)實(shí)踐，對(duì)眾多方法中的“隔板法”進(jìn)行深入研究，改變了此方法的傳統(tǒng)思考模式，同時(shí)拓展了此方法的應(yīng)用范圍。本文將對(duì)此方法作一個(gè)詳細(xì)介紹。

一、對(duì)“隔板法”的再思考

（一）傳統(tǒng)的隔板法

對(duì)隔板法來(lái)說(shuō)，就是在n個(gè)元素間插入（b-1）個(gè)板，即把n個(gè)元素分成b組的方法。簡(jiǎn)而言之，就是排列組合中的一種解題應(yīng)用模型，是將“實(shí)際分配問(wèn)題”或較復(fù)雜的數(shù)學(xué)“球盒問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為“球板模型”的一種重要方式。其中用球代表相同元素，用板所隔出的幾個(gè)部分代表相應(yīng)的分配集合，也就是“球”。通過(guò)隔板的不同插入方式，得到不同的分配結(jié)果。這里需注意的是，既然是插隔板，那么每個(gè)空只能插一個(gè)，即兩個(gè)隔板間至少一個(gè)元素。（而板的插入方式則可由簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)原理插空法計(jì)算得出）

傳統(tǒng)的隔板法把隔板“當(dāng)成”元素插入元素的空隙間，每一種插法對(duì)應(yīng)一種排列組合的方式，以此得到解題結(jié)果。我們先看一個(gè)簡(jiǎn)單的例子。

例1.將5個(gè)相同的球放入三個(gè)盒子，每個(gè)盒子均不能為空，共有多少種不同的分配方案？

分析：?jiǎn)栴}可看成把5個(gè)球分成三份，且每份非空，我們可以用兩個(gè)隔板達(dá)到這個(gè)目的。先將5個(gè)球并成一排，

○ ?○ ?○ ?○ ?○

因?yàn)槊總€(gè)盒子非空，故將兩個(gè)隔板插入4個(gè)空，每一種插法，對(duì)應(yīng)一種分配方案，故有C24種方案。

評(píng)析：上述解法實(shí)際上是插入法的一種變形應(yīng)用。在應(yīng)用中，此方法僅適用于盒子非空的情形，也就是我們通常所描述的“每個(gè)盒子至少有一個(gè)球”若盒子允許為空，則此法無(wú)效。

（二）隔板法拓展

傳統(tǒng)的隔板法適用于盒子非空的情形，若盒子允許為空，又該如何解題？我們?cè)倏瓷厦娴睦印?/p>

例2.將5個(gè)相同的球放入三個(gè)盒子，共有多少種不同的分配方案？

分析：此例與例1相比，不同的是此題允許盒子為空。

我們可以分兩種情形來(lái)考慮：一種是兩隔板相鄰;另一種是兩隔板不相鄰。

1.隔板相鄰時(shí)，先將5個(gè)球并成一排，

○ ○ ○ ○ ○

可考慮在四個(gè)空位及首尾兩個(gè)位置共六個(gè)位置中選一個(gè)位置放入兩個(gè)相鄰的隔板，如“○ ?○ ?| ?| ?○ ?○ ?○” （其中 “|”表示隔板）表示“第一個(gè)盒子放兩個(gè)球，第二個(gè)盒子放零個(gè)球，第三個(gè)盒子放三個(gè)球”，故隔板相鄰時(shí)共有C16種方法;

2.隔板不相鄰時(shí)，先將5個(gè)球并成一排，

○ ?○ ?○ ?○ ?○

可考慮六個(gè)位置中選兩個(gè)位置放入兩個(gè)隔板，如“| ?○ ?○ ?| ?○ ?○ ?○”表示“第一個(gè)盒子放零個(gè)球，第二個(gè)盒子放兩個(gè)球，第三個(gè)盒子放三個(gè)球”，故隔板不相鄰時(shí)共有C26種方法。

綜合1、2可知總的分配方案有C16+C26=C27=21種。

評(píng)析：此方法可推廣到n個(gè)球的情形，具體結(jié)論如下：

結(jié)論一：n個(gè)相同的球放入三個(gè)盒子（允許盒子為空）的方法有C1n+1+C2n+1=C2n+2種。

（三）隔板法再拓展

結(jié)論一解決了n個(gè)相同的球放入三個(gè)盒子的問(wèn)題，若盒子數(shù)目更多一些又該如何解題呢？我們還是以例子來(lái)說(shuō)明。

例3.將5個(gè)相同的球放入四個(gè)盒子，共有多少種不同的分配方案？

分析：此例與例2相比，不同的是此題多了一個(gè)盒子。

我們先觀察5個(gè)相同的球放進(jìn)四個(gè)盒子的一種分法：

○ ?| ?○ ?○ ?| ?○ ?| ? ○

上述分法表示：第一個(gè)盒子放一個(gè)球，第二個(gè)盒子放兩個(gè)球，第三、第四個(gè)盒子各放一個(gè)球。

類似的，“| ?| ?| ?○ ?○ ?○ ?○ ?○”表示5個(gè)球都放進(jìn)第四個(gè)盒子;“○ ?| ?| ?○ ?○ ?○ ?○ ?|” 表示第一個(gè)盒子放一個(gè)球，第二個(gè)盒子放零個(gè)球，第三個(gè)盒子放四個(gè)球，第四個(gè)盒子放零個(gè)球……

由此，這個(gè)問(wèn)題可化為下列問(wèn)題：“在8個(gè)位置中選取三個(gè)放隔板的方法有多少種？”易知，方法共有C38=56種。即5個(gè)相同的球放入四個(gè)盒子，共有C38=56種不同的分配方案。

評(píng)析：此題的解決過(guò)程，思考方法與結(jié)論有著很大的不同。此法實(shí)際上是：先將3個(gè)隔板看成是球，與原有的5個(gè)球并成一排，再在8個(gè)球中任取三個(gè)變?yōu)楦舭寮纯?，而每一種變法就對(duì)應(yīng)一種分配方案。此方法也可進(jìn)行推廣，具體結(jié)論如下：

結(jié)論二：n個(gè)相同的球放入m個(gè)盒子（允許盒子為空）的方法有Cm-1 ? ? n+m-1種。

易知，結(jié)論一是結(jié)論二的一種特殊情況。

下面兩個(gè)例題分別用傳統(tǒng)隔板法和拓展隔板法，我們來(lái)注意一下解題思路的區(qū)別。

例4.求方程 x+y+z=6的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)。

分析：這是一個(gè)傳統(tǒng)隔板法的問(wèn)題，將6個(gè)“1”排成一排，“1”與“1”之間形成5個(gè)空隙，將兩個(gè)隔板插入這些空隙中（每空至多插一塊隔板），規(guī)定由隔板分成左、中、右三部分的“1”個(gè)數(shù)分別為x、y、z之值。則隔法與解的個(gè)數(shù)之間建立了一一對(duì)立關(guān)系，故解的個(gè)數(shù)為： C25=10（個(gè)）。

例5.求方程 x+y+z=6的自然數(shù)解的個(gè)數(shù)。

分析：這是一個(gè)拓展隔板法的問(wèn)題，此問(wèn)題與例題4的主要區(qū)別在于，這里的x、y、z允許其中一個(gè)為零或兩個(gè)為零。我們將8個(gè)“1”排成一排，將兩個(gè)隔板去替換其中的兩個(gè)“1”，由隔板分成的左、中、右三部分“1”的個(gè)數(shù)分別為x、y、z值。則隔法與解的個(gè)數(shù)之間建立了一一對(duì)立關(guān)系，

下面說(shuō)明一下當(dāng)取值為零的時(shí)候舉兩個(gè)情況，其中 | ?1 1 | ?1 1 1 1，表示x=0，y=2，z=4，

其中 | ?| ?1 1 1 1 1 1，表示x=0，y=0，z=6。

由結(jié)論一，易求得，自然數(shù)解的個(gè)數(shù)為：C28=28（個(gè)）。

二、“隔板法”的應(yīng)用舉例

例6.已知A={1，2，3，4，5}，B={6，7，8}，由集合A到集合B的映射f滿足f（1）≤f（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5）。問(wèn)這樣的映射有幾個(gè)？

分析一：我們先按照一般分類列舉的思路解一下這道題。

當(dāng)f（5）=6時(shí)，只有1種;當(dāng)f（5）=7，f（4）f（3）f（2）f（1）依次可對(duì)應(yīng)為7777、7776、7766、7666、6666這5種;當(dāng)f（5）=8時(shí)，若只有8和7，同上有5種，只有8和6時(shí)，也有5種，但是這種情況重復(fù)了一個(gè)88888，所以有9種;若8，7，6都有時(shí)，f（4）f（3）f（2）f（1）依次可對(duì)應(yīng)為8876、8776、8766、7776、7766、7666這6種。因此符合條件的映射共有1+5+9+6=21（個(gè)）。

分析二：我們?cè)侔凑胀卣垢舭宸ń庖幌麓祟}。

聯(lián)想排列組合知識(shí)，可把集合A中的元素看成5個(gè)相同的球，集合B中的元素看成3個(gè)盒子，則上述問(wèn)題可化為下面的問(wèn)題：“5個(gè)相同的球放進(jìn)3個(gè)盒子有多少種方法？”

由結(jié)論一，易求得，方法有C27=21種。

即滿足條件的映射f有C27=21個(gè)。

注：此題中f（1）≤f（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5），因?yàn)橛行?，所以看?個(gè)球后應(yīng)是相同的，這是一個(gè)辯證的觀點(diǎn)，在解題中應(yīng)充分注意這一點(diǎn)。

例7.若a、b∈N，且a+b≤6，試問(wèn)直角坐標(biāo)系中滿足條件所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（a，b）有多少個(gè)。

分析：因?yàn)閍、b∈N，所以可以把a(bǔ)、b看成若干個(gè)數(shù)字“1”相加后的整體。又由于a+b≤6，故a、b合在一起總共不能超過(guò)6個(gè)“1”。我們先將6個(gè)“1”排成一列

1 ?1 ?1 ?1 ?1 ?1

再仿照結(jié)論二的方法，放入兩塊隔板即可。如“1 ?1 ?1 ?1 ?| ?| ?1 ?1”表示“a=4，b=0”，即對(duì)應(yīng)點(diǎn)（4，0），因?yàn)楹竺鎯蓚€(gè)“1”被丟棄，所以當(dāng)然有a+b=4≤6，類似地“1 ?1 ?| ?1 ?1 ?1 ?| ?1”表示“a=2，b=3”，“| ?1 ?1 ?| ?1 ?1 ?1 ?1”表示“a=0，b=2”…

所以，由結(jié)論二易知滿足條件的點(diǎn)一共有C28=28個(gè)。

注：此題中看似只有a、b兩個(gè)未知數(shù)，但在具體確定它們值的時(shí)候，我們用了兩個(gè)隔板，取前兩個(gè)分別賦予a、b，而第三個(gè)被舍棄，從而保證a+b≤6。這個(gè)思考方法要給予特別注意。

三、“隔板法”的適用范圍

經(jīng)過(guò)前面的介紹，可以看到新的隔板法在兩個(gè)方面拓展了傳統(tǒng)的隔板法應(yīng)用范圍，其一是允許盒子為空，其二是盒子數(shù)目不限。

但在使用拓展隔板法時(shí)，必須注意下面兩個(gè)問(wèn)題：（1）球必須相同，若球不同，則不能采用隔板法;（2）使用隔板法求出的每一種情形并不是等可能性的，所以，在有關(guān)古典概率的問(wèn)題中，不能采用隔板法。

總之，排列組合計(jì)數(shù)問(wèn)題，背景各異，方法靈活，能力要求高，對(duì)相同元素有序分組問(wèn)題， 采用“隔板法”可起到簡(jiǎn)化解題的功效。對(duì)不同元素只涉及名額分配問(wèn)題也可以借助隔板法來(lái)求解。筆者在多年的教學(xué)過(guò)程中總結(jié)了很多經(jīng)驗(yàn)，對(duì)以往常用的隔板法的作出深入研究，旨在對(duì)傳統(tǒng)思考模式進(jìn)行轉(zhuǎn)變，讓隔板法的應(yīng)用范圍，幫助學(xué)生更好地解決排列組合問(wèn)題，達(dá)到提升數(shù)學(xué)成績(jī)的目的。

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編輯 李 靜