考慮交易費(fèi)用的具有不確定收益的投資組合模型*

宋慧慧，龍憲軍，何 光

(1.重慶工商大學(xué) 國家智能制造服務(wù)國際科技合作基地,重慶 400067；2.重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 400067；3.重慶工商大學(xué) 經(jīng)濟(jì)社會應(yīng)用統(tǒng)計重慶市重點(diǎn)實驗室，重慶 400067)

0 引 言

對傳統(tǒng)的投資組合理論的研究是基于充分的歷史數(shù)據(jù)，用一些預(yù)測的方法準(zhǔn)確預(yù)測未來收益，預(yù)測的收益為隨機(jī)變量。1952年，哈里·馬科維茨[1]首先提出了均值-方差模型來研究投資組合，為國內(nèi)外學(xué)者對投資組合的深入研究奠定了基礎(chǔ)。以往的投資分析模型，主要以概率論的方法來處理投資中的不確定性，但金融市場有許多不確定性，例如受國家政策、突發(fā)事件、國際因素的影響使已有的證券或股票的歷史數(shù)據(jù)失去了原有的參考價值。特別是對一些新興股票來說，壓根就沒有或者有很少的數(shù)據(jù)可供參考,因此原有的方法處理這類問題就非常的困難。2007年，劉寶碇[2]提出的不確定理論是處理這類問題強(qiáng)有力的工具。

劉建軍[3]研究了具有不確定收益的新的投資組合優(yōu)化模型，并設(shè)計出新的混合智能算法來解決這一新的優(yōu)化問題。但是在計算收益時，并沒有把投資需要的額外費(fèi)用，如專家咨詢費(fèi)和股票交易費(fèi)考慮在內(nèi)，可能對結(jié)果有一定的影響。張曉斌和韓穎[4]研究了不確定風(fēng)險環(huán)境下的投資組合決策模型，模型考慮了專家咨詢費(fèi)用以及交易費(fèi)用，但在具體處理時將其假設(shè)為一個常數(shù)，而在實際股票的交易過程中，交易費(fèi)用往往不是一個常數(shù)。因此，分別將線性交易費(fèi)用和非線性交易費(fèi)用引入到模型中，分析它對投資模型的影響。通過數(shù)值驗證了新模型的可行性。

1 不確定理論的相關(guān)定理

首先回顧一些基礎(chǔ)知識：

定理1 若ε為一線性不確定變量，且服從線性不確定分布L(a,b)，其中a，b都為實數(shù)，且a

φ-1(α)=(1-α)a+αb

定理2 若ε為一之字形不確定變量，且服從之字形不確定分布(Zigzag分布)，標(biāo)記為Z(a,b,c)，其中a,b,c均為實數(shù)，且滿足a

定理3若ε為一不確定變量，且服從正態(tài)不確定分布N(e,σ)，其中e和σ是實數(shù)且σ>0，則N(e,σ)的逆分布為

定理4[5]假設(shè)一個系統(tǒng)包含不確定變量ε1,ε2,…,εn，并且系統(tǒng)中有一個損失函數(shù)L，使得某些特定損失發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)L(ε1,ε2,…,εn)≤0，那么風(fēng)險指標(biāo)為

Risk=M{L(ε1,ε2,…,εn)≤0}

定理5[6]假設(shè)ε1,ε2,…,εn是n個獨(dú)立的不確定變量，且有正則的不確定分布，分別是φ1,φ2,…,φn，如果函數(shù)f(x1,x2,…,xn)相對于x1,x2,…,xm嚴(yán)格遞增，相對于xm+1,xm+2,…,xn嚴(yán)格遞減，那么不確定變量ε=f(ε1,ε2,…,εn)的期望為

定理6[6]假設(shè)ε1,ε2,…,εn是n個獨(dú)立的不確定變量，且有正則的不確定分布，分別是φ1,φ2,…,φn，如果函數(shù)f(x1,x2,…,xn)相對于x1,x2,…,xm嚴(yán)格遞增，相對于xm+1,xm+2,…,xn嚴(yán)格遞減，若某種特定的損失發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)L(x1,x2,…,xn)≤0，那么風(fēng)險指標(biāo)為Risk=α，其中α是方程(1)的根

(1)

定理7[5]假設(shè)ε1,ε2,…,εn是n個獨(dú)立的不確定變量，且有正則的不確定分布，分別是φ1,φ2,…,φn，如果函數(shù)f(x1,x2,…,xn)相對于x1,x2,…,xn嚴(yán)格遞增，那么不確定變量ε=f(ε1,ε2,…,εn)有逆分布，且逆分布為

2 具有線性交易費(fèi)用的不確定收益的投資組合模型的建立

在投資組合的研究中，為了簡化模型便于求解，大部分往往會忽略股票或證券中的交易費(fèi)用。而在實際的金融市場中，投資交易需要手續(xù)費(fèi)、印花稅等一些額外的交易費(fèi)用，若忽略了交易費(fèi)用的投資組合往往會對實際收益影響很大，可能會使投資失效。隨著投資組合不斷地發(fā)展，專家學(xué)者也越來越重視交易費(fèi)用對模型的影響，并逐漸把交易費(fèi)用規(guī)范為交易費(fèi)用函數(shù)。交易費(fèi)用函數(shù)有兩種形式，線性交易函數(shù)和非線性交易函數(shù)。1996年，Yoshimoto[7]研究了帶有V型交易費(fèi)用函數(shù)形式的投資組合模型，V型交易費(fèi)用函數(shù)為

假定投資者的初始投資為0，考慮到中國的金融市場不允許賣空，則投資比例xi不能為負(fù)，則此時V型交易費(fèi)用函數(shù)就可以變?yōu)閱挝痪€性函數(shù)，則線性交易費(fèi)用函數(shù)為:c(xi)=kxi，i=1,2,…,n。假設(shè)投資者用c萬元進(jìn)行投資，通過咨詢股票專家后，將購買股票A1,A2,…,An，其中專家咨詢費(fèi)為m萬元，第i種股票的投資額為xi，εi表示第i種股票的收益率，且εi是獨(dú)立的不確定變量，且有正則的不確定分布Φi，β表示所能承受的最大風(fēng)險指數(shù)，則損失函數(shù)表示為

則具有線性交易費(fèi)用函數(shù)的投資組合模型為

(2)

則由定理5和定理6將模型式(2)轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題為

3 具有非線性交易費(fèi)用的不確定收益的投資組合模型的建立

(3)

同理，由定理5和定理6可以將模型(2)轉(zhuǎn)化為如下模型：

4 數(shù)值實例分析

假設(shè)某投資人選擇4支新股票進(jìn)行投資，xi(i=1,2,3,4)表示對第i支股票的投資金額，投資前投資者向3位股票專家咨詢并提出4支股票的收益率(權(quán)重相同)如表1。

表1 專家給出的股票收益率的分布

則第i支股票的收益率為

由定理1,2,3及定理7可求出收益率的逆分布，分別為

可以計算出目標(biāo)函數(shù)中的收益系數(shù)為0.340,0.300,0.265,0.365，我國股票交易市場的交易費(fèi)用主要是傭金(不超過3‰)和印花稅(一般為1‰)[9]，所以設(shè)定線性交易費(fèi)用中的系數(shù)k=0.002 5，專家咨詢費(fèi)m=2萬元。而對于非線性交易費(fèi)用，系數(shù)a,b會隨著交易時期不同而變化，所以借鑒鄭希陽[10]確定系數(shù)的方法-通過二次擬合和遺傳算法隨機(jī)尋優(yōu)，設(shè)定a=-0.000 1,b=0.005，假設(shè)投資者將用100萬進(jìn)行投資，即c=100，且對每支股票的投資額不低于10萬元且不高于50萬元，當(dāng)β=0.32時，利用MATLABR2016a分別計算出具有線性交易費(fèi)用的模型的最優(yōu)解為(30.32,10,49.68,10)，目標(biāo)函數(shù)值為27.87；具有非線性交易費(fèi)用的模型的最優(yōu)解為(31.85,10,48.15,10)，目標(biāo)函數(shù)值為28.09；而不具有交易費(fèi)用的模型的最優(yōu)解為(30.21,10,49.78,10)，目標(biāo)函數(shù)值為28.11。由此可見，股票的交易費(fèi)用對投資組合模型有一定的影響。

假設(shè)投資者嚴(yán)格控制投資風(fēng)險β在0.32～0.34之間，下面利用MatlabR2016a，當(dāng)β在0.32～0.34之間變化時，計算出2種具有交易費(fèi)用模型以及無交易費(fèi)用的模型對應(yīng)的最大收益期望和4種股票的投資金額，如表2,表3,表4所示。并比較分析3種模型的收益風(fēng)險關(guān)系圖，如圖1。由表2,表3,表4可以看出，隨著風(fēng)險的增加，收益也逐漸增加，符合“高風(fēng)險，高收益”的一般規(guī)律，從圖1也可以看出，3種投資組合模型風(fēng)險和收益呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系，且具有線性交易費(fèi)用和具有非線性交易費(fèi)用的模型的圖像比無交易費(fèi)用的模型更加平緩，所以具有交易費(fèi)用的投資組合模型具有更好的穩(wěn)定性，值得更加深入的研究。

表2 具有線性交易費(fèi)用模型的最大風(fēng)險指數(shù)與最大收益期望關(guān)系

表3 具有非線性交易費(fèi)用模型的最大風(fēng)險指數(shù)與最大收益期望關(guān)系

表4 不具有交易費(fèi)用模型的最大風(fēng)險指數(shù)與最大收益期望關(guān)系

圖1 收益風(fēng)險相關(guān)關(guān)系圖

5 總 結(jié)

研究了具有不確定收益的投資組合模型，并將線性交易費(fèi)用函數(shù)和非線性交易費(fèi)用函數(shù)考慮在模型中，用不確定的相關(guān)理論及軟件MatlabR2016a求解各個模型的最優(yōu)解和目標(biāo)函數(shù)值，并將模型進(jìn)行了靈敏度分析，表明模型符合隨著風(fēng)險的增加，收益也逐漸增加的一般規(guī)律，同時表明具有線性交易費(fèi)用和非線性交易費(fèi)用的兩種投資組合模型比無交易費(fèi)用的投資組合模型有更好的穩(wěn)定性。下一步將繼續(xù)探究當(dāng)交易費(fèi)用函數(shù)中的參數(shù)發(fā)生改變對模型的影響以及線性交易費(fèi)用和非線性交易費(fèi)用的區(qū)別和聯(lián)系。