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    巧用埃拉托色尼篩選法統(tǒng)計大數(shù)據(jù)區(qū)間內(nèi)素數(shù)算法剖析

    2019-10-08 05:22:00周靜
    世界家苑 2019年9期
    關(guān)鍵詞:素數(shù)統(tǒng)計

    周靜

    摘要:本文從常規(guī)算法出發(fā)找尋并統(tǒng)計素數(shù),探討了常規(guī)算法在大數(shù)據(jù)區(qū)間找尋并統(tǒng)計素數(shù)的低效問題,引出巧妙運用埃拉托色尼篩選法統(tǒng)計大數(shù)據(jù)區(qū)間范圍內(nèi)素數(shù)個數(shù)方法,并詳細剖析該方法算法思路。

    關(guān)鍵詞:素數(shù);埃拉托色尼篩選法;大數(shù)據(jù)區(qū)間;統(tǒng)計

    找尋素數(shù)的題目屢見不鮮,總會出現(xiàn)在一些編程教材中。找尋方法都是沿用對素數(shù)判斷規(guī)則,即逐一判斷找尋范圍內(nèi)的數(shù),在2至其平方根范圍內(nèi)是否存在因子,如果存在就不是素數(shù),如果不存在就是素數(shù)。這種判斷方法是沿用素數(shù)的定義,也讓初學者能輕松理解并掌握控制流程的好方法。但是當區(qū)間范圍過大以及找尋的數(shù)據(jù)本身也足夠大時,統(tǒng)計速度慢的弊端就會顯現(xiàn)出來,完全體現(xiàn)不了現(xiàn)今信息時代所提倡的高效性,怎么來解決對大數(shù)據(jù)區(qū)間素數(shù)統(tǒng)計問題呢?

    1 常規(guī)統(tǒng)計素數(shù)方法的低效問題

    對于素數(shù)統(tǒng)計,總會想到先判斷是不是素數(shù),再執(zhí)行統(tǒng)計。這是思考問題的常規(guī)思路。但是判斷一個數(shù)是不是素數(shù),所采用常規(guī)判斷素數(shù)方法使用“窮舉法”排除非素數(shù),窮舉出從2至其平方根中是否存在因子,只要存在則排除。當需要判斷的數(shù)據(jù)過大,使用 “窮舉法”就會變得很低效。

    窮舉算法低效在于需要判斷的數(shù)據(jù)可能會在十億至四十多億,需要在2至其平方根(即好幾萬)進行逐一的因子判斷,其耗時比預(yù)想要大得多,且是在一個大區(qū)間內(nèi)統(tǒng)計,需要進行素數(shù)判斷的大數(shù)據(jù)數(shù)量眾多,造成了統(tǒng)計耗時的成倍增長,運行低效問題也更突出。怎樣才能高效實現(xiàn)在大數(shù)據(jù)區(qū)間內(nèi)的素數(shù)統(tǒng)計呢?

    2 巧妙統(tǒng)計素數(shù)方法的高效原理

    在編程語言(C++)中,正整數(shù)最大范圍可以達到42億多,如果判斷這個數(shù)據(jù)是否是素數(shù),使用以上常規(guī)判斷不可取的。如果能有一個空間來描述某個范圍內(nèi)哪些是素數(shù),就可以通過檢索這個空間來統(tǒng)計素數(shù)的數(shù)量。

    一個區(qū)間范圍內(nèi)統(tǒng)計素數(shù)只有兩種可能,是或不是,使用C++中的布爾值false和true來表示。定義布爾型數(shù)組:bool prime[60001];用該數(shù)組來描述0-60000范圍內(nèi)哪些是素數(shù),數(shù)組元素的默認值為false,即假設(shè)其都是素數(shù),prime數(shù)組初始化如圖1所示:

    在0-60000數(shù)字中,對于其中的0和1,已知其不是素數(shù),所以為數(shù)組元素prime[0]和prime[1]賦值true,表示其不是素數(shù),如圖2所示。

    從數(shù)字2開始判斷其是素數(shù),但后面所有是2倍數(shù)的數(shù)就都不是素數(shù),為其賦值true,這就是埃拉托色尼篩選法的中心思想,算法實現(xiàn):

    for(long i=2;i<=60000;i++)

    if(!prime[i]) {

    for(long j=i+i;j<=60000;j=j+i)

    prime[j]=true;

    }

    通過以上代碼的執(zhí)行,在prime數(shù)組中就記錄0至60000哪些是素數(shù)(值為false就是素數(shù))的信息。prime數(shù)組的表示如圖3所示:

    這種方法可以將60000內(nèi)所有非素數(shù)置true,是因為只要不是素數(shù)就會存在因子,其因子如果也不是素數(shù),可以繼續(xù)分解,總之一個非素數(shù)都可以表達成比它小的素數(shù)乘積,即是素數(shù)倍數(shù),既然是素數(shù)倍數(shù),根據(jù)前面的說法,就應(yīng)該為其賦值為true,標識出其不是素數(shù)了。

    其高效體現(xiàn)在代碼中進入內(nèi)循環(huán)存在條件,且內(nèi)循環(huán)次數(shù)隨i值的遞增,將成i倍遞減,與逐一判斷是否存在因子的素數(shù)判斷作為內(nèi)循環(huán)的效率是不可相提并論的。

    對大數(shù)據(jù)區(qū)間素數(shù)統(tǒng)計該怎么實現(xiàn)呢?在實現(xiàn)代碼中使用了prime數(shù)組存儲布爾值來描述0-60000中哪些是素數(shù)。定義數(shù)組大小為60000的原因是因為描述素數(shù)范圍最大數(shù)是42億多,取其平方根是60000多,當?shù)玫?0000以內(nèi)的所有素數(shù),再以這些素數(shù)為基礎(chǔ),將需要描述的大數(shù)據(jù)范圍內(nèi)素數(shù)倍數(shù)都賦值為true,素數(shù)統(tǒng)計工作就只需要單層循環(huán)檢索即可實現(xiàn)。

    注意需要了解找尋的大數(shù)據(jù)范圍數(shù)量,才能設(shè)計一個空間來描述這些數(shù)中哪些是素數(shù)??梢灶A(yù)想一下需要判斷的區(qū)間范圍,假如是1,000,000,那么需要設(shè)計1,000,000的空間來描述該范圍內(nèi)數(shù)據(jù)是否是素數(shù)。即:bool primeMax[1000001];該數(shù)組就用來描述這個大數(shù)據(jù)范圍內(nèi)的數(shù)哪些是素數(shù)。

    描述的數(shù)據(jù)范圍有3種情況:

    第一種是當描述數(shù)據(jù)都在60000以內(nèi);

    第二種需要描述的數(shù)據(jù)一部分在60000以內(nèi),一部分在60000以外;

    第三種是需要描述的數(shù)據(jù)都在60000以外;

    這里用整型變量left表示范圍左邊界值,用整型變量right表示右邊界值,用整型變量count且初始化值為0來累加統(tǒng)計素數(shù)量。

    (1)第一種情況的統(tǒng)計處理

    if(right<=60000){

    for(long i=left;i<=right;i++)

    if(!prime[i])count++;

    cout<

    }

    直接利用prime數(shù)組統(tǒng)計完需要描述的區(qū)間范圍內(nèi)的素數(shù)個數(shù)并輸出;

    (2)第二種情況的統(tǒng)計處理

    需要分段處理,首先處理在60000以內(nèi)的數(shù)據(jù),這些數(shù)據(jù)按第一種情況處理;其次處理不在60000以內(nèi)的數(shù)據(jù),這些數(shù)據(jù)可以按第三種情況處理。

    ① 第一段數(shù)據(jù)(在60000以內(nèi)的數(shù)據(jù))統(tǒng)計處理。

    if(left<=60000){

    for(long i=left;i<=60000;i++)

    if(!prime[i])count++;

    left=60001;

    }

    ② 第二段數(shù)據(jù)(在60000以外的數(shù)據(jù))統(tǒng)計處理

    上面第一段數(shù)據(jù)統(tǒng)計處理代碼實現(xiàn)最后一條語句將60001賦值給left,作用是改變左邊界值。這樣使得第二段數(shù)據(jù)可以按下面第三種情況統(tǒng)計處理。

    (3)第三種情況的統(tǒng)計處理

    需要使用上面定義的primeMax數(shù)組來標識60000以外數(shù)據(jù)是否是素數(shù),該數(shù)組如圖4所示:

    與prime數(shù)組類似,先假設(shè)所描述60000以外數(shù)據(jù)它們?nèi)慷际撬財?shù),再通過檢索prime數(shù)組中的素數(shù),標識需要描述的60000以外的區(qū)間內(nèi)哪些是素數(shù),為其賦值為true。

    其代碼實現(xiàn)如下:

    long temp;

    for(long i=2;i<=60000;i++){

    if(!prime[i]){

    for(unsigned long j=left/i;j<=right/i;j++) {

    temp=j*i-left;

    if(temp>=0)primeMax[temp]=true;

    }

    }

    }

    對于代碼中的left/i和right/i作用是使得內(nèi)循環(huán)次數(shù)成i倍遞減表示方法。因為要為素數(shù)的倍數(shù)置true,表示其不是素數(shù)。

    prime中描述了所有60000以內(nèi)的素數(shù),將在給出的大數(shù)據(jù)范圍內(nèi)標識出是prime數(shù)組中素數(shù)倍數(shù)的數(shù),將這個表示存儲在primeMax數(shù)組中。例如,描述60001-70001范圍;當i=2時;primeMax數(shù)組的表示如圖5所示:

    代碼中需要置true的primeMax數(shù)組元素下標temp=j*i-left;該表達式j(luò)*i代表需要描述的大數(shù)據(jù),該數(shù)據(jù)是i的倍數(shù)。減去left將該數(shù)對應(yīng)到primeMax數(shù)組中相應(yīng)的元素上;

    在為primeMax數(shù)組元素賦值true時,有一個if條件語句,需要判斷temp是否大于等于0,該判斷的作用是看描述的大數(shù)據(jù)j*i,是否在需要描述數(shù)據(jù)區(qū)間范圍內(nèi);如果temp小于零,代表j*i小于left左邊界,即不用描述該數(shù)據(jù)。當標識完prime數(shù)組中所有素數(shù)在大數(shù)據(jù)區(qū)間內(nèi)的倍數(shù)標識,即為primeMax數(shù)組賦值后,就可以實現(xiàn)區(qū)間類素數(shù)統(tǒng)計了;前面已經(jīng)實現(xiàn)了用檢索prime數(shù)組對60000以內(nèi)素數(shù)統(tǒng)計,現(xiàn)在就對primeMax數(shù)組進行檢索,統(tǒng)計60000以外的素數(shù)量,其實現(xiàn)代碼是:

    for(long i=0;i<=right-left;i++)

    if(!primeMax[i])count++;

    cout<

    前面詳細講解利用埃拉托色尼篩選法巧妙統(tǒng)計大數(shù)據(jù)區(qū)間內(nèi)素數(shù),希望大家能理解和掌握該方法,并能靈活借鑒該方法解決其他類似的問題。

    基金項目:本文系2018-2019年度工業(yè)和信息化職業(yè)教育教學科研課題 “藍橋杯”技能大賽成果資源在高職教育教學中的實踐與應(yīng)用(編號GS-2019-10-02); 重慶電子工程職業(yè)學院卓越技術(shù)技能人才工匠工坊項目“千貝軟件工匠工坊”(編號:0319010225 )的研究成果。

    (作者單位:重慶電子工程職業(yè)學院)

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