基于Matlab的分形理論在醫(yī)學(xué)中的應(yīng)用研究

俞凱君 李春

摘 ?要： 分形幾何已經(jīng)在各種領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，分形分析是一種功能強(qiáng)大但仍未充分利用的數(shù)學(xué)工具。分形理論與醫(yī)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用之間的聯(lián)系是分形維數(shù)（FD）。本文介紹了分形和分形維的概念，基于Matlab以心圖形為例說(shuō)明盒維數(shù)的計(jì)算過(guò)程。在此基礎(chǔ)上，就分形理論在心血管系統(tǒng)、肺部腫瘤、胎兒監(jiān)護(hù)、中醫(yī)等醫(yī)學(xué)領(lǐng)域的近期研究進(jìn)展作一回顧。結(jié)論：分形理論對(duì)于描述生物系統(tǒng)在任何水平的非常復(fù)雜的結(jié)構(gòu)和行為非常有用，它也為非侵入性定量醫(yī)學(xué)診斷提供了一種實(shí)用的工具。

關(guān)鍵詞： 分形理論;醫(yī)學(xué);分形維;研究進(jìn)展

中圖分類(lèi)號(hào)： R-1;TP39 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A ? ?DOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2019.08.027

本文著錄格式：俞凱君，李春. 基于Matlab的分形理論在醫(yī)學(xué)中的應(yīng)用研究[J]. 軟件，2019，40（8）：111116

【Abstract】： Fractal analysis is a powerful but still underutilized mathematical tool that has been widely used in various fields. The link between fractal theory and the practical application of medicine is the fractal dimension （FD）. This paper introduces the concept of fractal and fractal dimension， taking the ECG as an example to illustrate the calculation process of box dimension based on Matlab. In this paper， the recent research progress of fractal theory in the medical fields such as cardiovascular system， lung tumor， fetal monitoring， and traditional Chinese medicine were reviewed. Fractal theory is useful for describing very complex structures and behaviors of biological systems at any level， and it also provides a practical tool for non-invasive quantitative medical diagnosis.

【Key words】： Fractal theory; Medical; Fractal dimension

0 ?引言

上世紀(jì)70年代由Benoit Mandelbrot創(chuàng)立的分形（fractal）理論是當(dāng)今非線性科學(xué)的前沿課題，并被廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的諸多領(lǐng)域。作為“大自然的幾何學(xué)”[1]，分形的特征在于三個(gè)屬性：首先，自相似性，其中任何一小部分對(duì)象都是整體的精確復(fù)制品;其次，縮放分形在多個(gè)尺度上看起來(lái)是相同的（例如，在微觀和宏觀層面），這個(gè)屬性通常被稱為“尺度不變性”;第三，它們具有分?jǐn)?shù)（非整數(shù)）維度。Weibel認(rèn)為分形是生物有機(jī)體的設(shè)計(jì)原則，分形設(shè)計(jì)在結(jié)構(gòu)和功能上都是很有效的，因?yàn)樗枰苌俚哪芰縼?lái)維持自身[2]。因此，在自然界中隨處可見(jiàn)分形結(jié)構(gòu)并不奇怪。天然分形的例子包括云，河網(wǎng)，斷層線，山脈，雪花，水晶，閃電，花椰菜，西蘭花和海浪[3]。分形模式也無(wú)處不在：數(shù)學(xué)[4]，工業(yè)[5]，股票市場(chǎng)[6]，氣候科學(xué)[7]，星系[8]，甚至我們觀看的電影和玩的游戲[9，10]。

人體結(jié)構(gòu)是復(fù)雜的，包括呼吸道和支氣管分枝、部分心臟、腎臟系統(tǒng)、血管樹(shù)、毛細(xì)血管網(wǎng)、DNA、心跳、步態(tài)模式、心肌電傳導(dǎo)網(wǎng)[11]等……這些結(jié)構(gòu)和生理系統(tǒng)具有幾何和功能的復(fù)雜性，具有分形特征。表征這些器官的一個(gè)精確的方法是通過(guò)數(shù)學(xué)建模，然而，只適用于光滑和規(guī)則形狀情況的歐氏幾何學(xué)無(wú)法解決這些問(wèn)題， 因?yàn)樵谄街钡臍W式空間中維數(shù)是自然數(shù)[12]。在分形研究中，分形維數(shù)是定量描述分形的基本參量，它是標(biāo)度變換下的不變量[13]。對(duì)于非線性系統(tǒng)，其分形維數(shù)通常是一個(gè)介于整數(shù)之間的分?jǐn)?shù)或小數(shù)，并且超過(guò)它的拓?fù)渚S數(shù)。正是分形的這種特異性，所以它才在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域中具有巨大的作用[14]。

1 ?分形與分形維

一般把在形態(tài)（結(jié)構(gòu)）、功能和信息等方面具有自相似的研究對(duì)象統(tǒng)稱為“廣義分形”，把研究分形性質(zhì)及其應(yīng)用的科學(xué)統(tǒng)稱為“分形理論”[15]。

關(guān)于分形的準(zhǔn)確定義，至今仍沒(méi)有得到統(tǒng)一。Mandelbrot在1986年提出了一個(gè)比較實(shí)用的定義[16]，即：組成部分以某種方式與整體相似的形，稱為分形。目前使用較多的是K. Falconner對(duì)分形的描述[17]（Kenneth Falconer，）：

（1）分形具有精細(xì)的結(jié)構(gòu)和細(xì)節(jié);

（2）分形極不規(guī)則，無(wú)法用歐式幾何理論進(jìn)行描述;

（3）分形具有統(tǒng)計(jì)意義上的自相似性，局部與整體之間呈現(xiàn)出高度的一致性;

（4）以特定的方式定義的分形，通常其分形維數(shù)大于其拓?fù)渚S;

（5）在許多情況下，分形可以通過(guò)迭代、遞歸等方式生成。

分形理論與實(shí)際醫(yī)學(xué)應(yīng)用之間的聯(lián)系是分形維數(shù)（FD）。維數(shù)是幾何對(duì)象的一個(gè)重要特征量，直觀地說(shuō)，維數(shù)是為了確定幾何對(duì)象中一個(gè)點(diǎn)的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目，也即獨(dú)立方向的數(shù)目。在分形研究中，分形維數(shù)通常是一個(gè)介于整數(shù)之間的分?jǐn)?shù)或小數(shù)。曲線的拓?fù)渚S為1，而隨著復(fù)雜程度增加，不同類(lèi)型曲線的分形維的大小也不同，如下圖1。

分形維數(shù)以數(shù)值形式描述復(fù)雜事物的分形特征，既可以通過(guò)數(shù)值對(duì)事物的分形特征做定量判斷和區(qū)分，也可以通過(guò)具體數(shù)值對(duì)不同的事物進(jìn)行分形特征分析[18]，因此其特點(diǎn)是方便、簡(jiǎn)潔且直觀。這為分形的應(yīng)用提供了十分有效的途徑及非常廣闊的空間。

分形維數(shù)的定義有很多種：盒維數(shù)、關(guān)聯(lián)維數(shù)、自相似維數(shù)、豪斯道夫（Hausdoeff）維數(shù)、信息維數(shù)及李雅普諾夫（Lyapunov）維數(shù)等[19]。在醫(yī)學(xué)應(yīng)用方面，以盒維數(shù)的應(yīng)用最為普遍。

1994年，基于Mandelbort的分形幾何理論，Sarkar與Chaudhuri提出了盒維數(shù)定義及算法這為包括醫(yī)學(xué)研究在內(nèi)的非線性科學(xué)提供了新的思路，盒維數(shù)的基本定義是[20]：假設(shè)P是二維平面內(nèi)任意一個(gè)非空有界子集，對(duì)于任意一個(gè) ， 表示用來(lái)覆蓋P所需邊長(zhǎng)為 的盒子數(shù)。若存在一個(gè)參數(shù) ，使得當(dāng) 時(shí)：

盒維數(shù)的出現(xiàn)，使得醫(yī)學(xué)研究中的非線性復(fù)雜問(wèn)題的定量研究成為可能。經(jīng)過(guò)短短幾十年的發(fā)展，分形在心臟病學(xué)、肺部腫瘤醫(yī)學(xué)、中醫(yī)學(xué)及胎兒臍血流多普勒信號(hào)等復(fù)雜的非線性醫(yī)學(xué)領(lǐng)域得到了很好的應(yīng)用。

如圖2，以心圖形為例說(shuō)明計(jì)算實(shí)現(xiàn)分形維數(shù)計(jì)算過(guò)程：用尺度 的逐漸縮小的正方形網(wǎng)格覆蓋心電圖。具體算法為：先選擇一系列邊長(zhǎng)大小為 盒子對(duì)圖形進(jìn)行覆蓋，計(jì)算出覆蓋住分形體的盒子數(shù)目 ，不斷縮小尺度 ，得出一系列不同尺度 對(duì)應(yīng)的 和 ，如表1所示。

然后，根據(jù)數(shù)據(jù)組（ ， ），采用最小二乘法線性擬合并在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)中畫(huà)出直線，其斜率即為分形維數(shù) ，如圖3所示。

根據(jù)盒子計(jì)數(shù)算法，基于matlab軟件編寫(xiě)程序計(jì)算程序，其算法邏輯的N-S結(jié)構(gòu)流程如圖4。

2 ?分形與心臟病學(xué)

用于研究心臟生理信號(hào)的主分形方法（兩種單分形和一種多重分形）主要有以下三種，分別是：（1）使用傅里葉方法的冪律分析，該分析方法可以評(píng)估心跳間隔以產(chǎn)生功率譜密度（PSD）提取心律中的頻率諧波;（2）去趨勢(shì)波動(dòng)分析（DFA），它測(cè)量嵌入在心跳間隔內(nèi)的時(shí)間尺度之間的相關(guān)程度，即：它表征時(shí)域中的冪律縮放;（3）多重分形分析，其假設(shè)異質(zhì)心率信號(hào)的不同子部分由局部特征表征，每個(gè)子部分具有不同的分形維FD（它還表征時(shí)域中的冪律縮放）。雖然這些方法的操作域（頻率與時(shí)間）不同，但它們的分形測(cè)量確實(shí)相互關(guān)聯(lián)，并且以簡(jiǎn)單的方式與總體FD相關(guān)[21]。

在心臟電生理學(xué)中，需要將體內(nèi)成像技術(shù)與計(jì)算機(jī)建模相結(jié)合以精確地重建復(fù)雜人體Purkinje網(wǎng)絡(luò)的3D幾何結(jié)構(gòu)，這些技術(shù)可以支持單心室或雙心室起搏，射頻消融和心臟除顫的個(gè)性化策略的設(shè)計(jì)。Purkinje網(wǎng)絡(luò)的手動(dòng)生成相當(dāng)復(fù)雜，并且十分耗時(shí)，因此電生理學(xué)家和生物工程師已經(jīng)合作開(kāi)發(fā)分形樹(shù)算法，以更真實(shí)地模擬人類(lèi)心臟博動(dòng)序列[22]。

最新研究表明分形維（FD）可能在臨床超聲心動(dòng)圖中發(fā)揮作用，分形分析已經(jīng)應(yīng)用于經(jīng)胸超聲心動(dòng)圖圖像。例如，一項(xiàng)研究使用基于紋理特征提取來(lái)自動(dòng)檢測(cè)心肌梗死區(qū)域[23]，“Texton”指的是自然圖像中的基本微觀結(jié)構(gòu)或與人類(lèi)視覺(jué)感知相關(guān)的圖像紋理的微妙結(jié)構(gòu)[24]。該研究使用的算法檢查了心臟的單個(gè)超聲心動(dòng)圖視圖中的微小像素變化，它總共使用了八個(gè)特征，其中一個(gè)特征基于分形分析，將表面粗糙度測(cè)量為分形維（FD）[25]。160名患者（50%患有梗死）的結(jié)果特別有希望，因?yàn)樵摲椒ㄊ亲詣?dòng)化的，需要操作員手動(dòng)定義要評(píng)估的圖像部分。

心臟生理學(xué)分析方面，嵌入健康人體心率和血壓功率譜的信號(hào)是隨著時(shí)間的推移具有三個(gè)功率分量的特征頻率狀態(tài)：反映呼吸波動(dòng)的高頻分量，低頻分量和非常低頻分量。這些復(fù)雜信號(hào)中的不規(guī)則性可以用分形測(cè)量定量描述，它們?cè)诙鄠€(gè)水平上可以自主調(diào)制[26]。通常，心率變異性的喪失預(yù)示著更高的死亡率[27]，結(jié)果有助于心臟病的診斷、表征和分類(lèi)，了解患者的不良事件風(fēng)險(xiǎn)（惡性和非惡性心律失常，心源性猝死）。

3 ?分形在肺部腫瘤的應(yīng)用

腫瘤是以細(xì)胞異常增殖為特點(diǎn)的一大類(lèi)疾病，常在機(jī)體局部形成腫塊。腫瘤生長(zhǎng)的隨機(jī)性使其呈現(xiàn)出不規(guī)則的形狀[28]，用分形理論對(duì)腫瘤進(jìn)行描述，成為醫(yī)生判斷腫瘤惡變程度的一個(gè)有效指標(biāo)[29]。更為重要的是，使用分形分析能夠在整體腫瘤大小或體積發(fā)生任何可檢測(cè)的變化之前檢測(cè)分形維（FD）的變化，對(duì)腫瘤內(nèi)部微血管和外部輪廓分形維（FD）值的測(cè)定可作為腫瘤發(fā)生發(fā)展的臨床指標(biāo)之一，對(duì)腫瘤的預(yù)測(cè)和治療評(píng)價(jià)有重要的意義[30-32]。

Al-Kadi[33]提出了一種計(jì)算機(jī)輔助決策支持系統(tǒng)，用于分析腦腫瘤的組織病理學(xué)圖像。該分析方法首先將圖像分解成小波包，每個(gè)小包表示不同的長(zhǎng)度尺度。小波分解是一種類(lèi)似于更常見(jiàn)的傅里葉變換的數(shù)學(xué)表示：在后者中，“信號(hào)”根據(jù)不同空間頻率（長(zhǎng)度尺度）的正弦和余弦進(jìn)行分解;在前者中，使用小波代替，小波是更廣義的振蕩函數(shù)，可以形成完整的正交集（包），并可用于表示數(shù)據(jù)。然后可以使用分形分析來(lái)選擇表示最佳圖像的區(qū)別特征的一組分組。圖像的傅立葉變換的結(jié)果本身是圖像，但是在傅立葉空間中，也稱為k空間。以類(lèi)似的方式，圖像的小波分解產(chǎn)生進(jìn)一步的圖像，每個(gè)小波包產(chǎn)生不同的圖像，然后使用分形幾何來(lái)分析這些第二代圖像，以確定哪個(gè)包更完整和準(zhǔn)確地描述原始醫(yī)學(xué)圖像。這種方法強(qiáng)調(diào)分形分析不僅可以應(yīng)用于原始圖像或最小處理圖像，而且可以應(yīng)用于從它們派生的高階數(shù)據(jù)集。此外，該方法消除了對(duì)二值圖像的需要并保留了關(guān)于組織紋理的更多信息。上述方法可以很容易地應(yīng)用于未來(lái)肺腫瘤組織病理學(xué)樣本的研究。實(shí)際上，基于與多種癌癥類(lèi)型相關(guān)的這些報(bào)告，分形分析在肺癌組織病理學(xué)中的應(yīng)用有可能提供關(guān)于癌癥的多個(gè)方面的臨床相關(guān)信息，包括血管形成，惡性腫瘤，甚至患者預(yù)后。

4 ?分形在中醫(yī)的應(yīng)用

人們所看到的系統(tǒng)尤其是生命系統(tǒng)的復(fù)雜性可想而知，現(xiàn)代醫(yī)學(xué)中簡(jiǎn)單的線性思維并不能解讀這一問(wèn)題，而中醫(yī)卻具有分線性思維的分形特點(diǎn)[34]。

黃雁南[34]探討了分形幾何學(xué)、分形生理學(xué)和人體穴位分布的分形結(jié)構(gòu)。汪慧敏[36]對(duì)人體穴位皮膚電的分維研究。

徐天成等[37-38]使用分形理論實(shí)現(xiàn)經(jīng)絡(luò)數(shù)字化方法對(duì)經(jīng)絡(luò)內(nèi)涵的另一種方法，其做法是：基于傳統(tǒng)經(jīng)絡(luò)腧穴學(xué)，引入混沌理論，應(yīng)用分形幾何學(xué)，提出數(shù)字經(jīng)絡(luò)的概念;以臨床常用的心經(jīng)、脾經(jīng)等經(jīng)絡(luò)穴位為基本單元，遵循自相似法則構(gòu)建數(shù)學(xué)公式，以C++語(yǔ)言編寫(xiě)程序，繪制6條經(jīng)絡(luò)主干的分形化經(jīng)絡(luò)循行線，創(chuàng)建數(shù)字經(jīng)絡(luò);并提出檢驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)方法，實(shí)驗(yàn)得到部分傳統(tǒng)經(jīng)絡(luò)的體表循行路徑可用數(shù)學(xué)方法表達(dá)，基于這種表達(dá)的計(jì)算機(jī)程序?qū)崿F(xiàn)了 6條經(jīng)絡(luò)的數(shù)字化，數(shù)字化的經(jīng)絡(luò)呈現(xiàn)出傳統(tǒng)經(jīng)絡(luò)未表達(dá)的細(xì)節(jié)?？梢?jiàn)：混沌及相關(guān)理論技術(shù)是構(gòu)建數(shù)字經(jīng)絡(luò)的重要途徑之一，傳統(tǒng)經(jīng)絡(luò)理論可實(shí)現(xiàn)數(shù)字化。

周德生等[39]利用分形理論將腦藏象理論分為腦髓腦室-腦臟腑系統(tǒng)、腦脈腦絡(luò)-腦經(jīng)脈系統(tǒng)、官竅神竅-腦竅系統(tǒng)、泥丸九宮-腦神機(jī)系統(tǒng)、腦氣腦血腦脊液-腦精氣系統(tǒng)等5個(gè)方面。這種區(qū)別于功能神經(jīng)學(xué)及神經(jīng)生理學(xué)的腦藏象理論，從整體觀和分形觀角度闡釋腦功能的復(fù)雜性和實(shí)用性，形成一個(gè)中醫(yī)藥一體化語(yǔ)言系統(tǒng)平臺(tái)，能夠?yàn)橹嗅t(yī)腦科臨床應(yīng)用提供中醫(yī)特有的思維策略，開(kāi)拓新的治療思路。

張季等[40]以分形理論為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)計(jì)算數(shù)字化舌圖分形維數(shù)的算法，并運(yùn)用這一算法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)環(huán)境下采集的431例數(shù)字化舌圖樣本數(shù)據(jù)分形維數(shù)。研究得出驗(yàn)證結(jié)論：分形維數(shù)可作為數(shù)字化舌象紋理分析的有效參考參數(shù)，因其對(duì)舌苔的厚薄、腐膩等數(shù)字化舌圖圖像特征敏感，在增加樣本量的基礎(chǔ)上有望實(shí)現(xiàn)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)的制定。

5 ?分形在胎兒監(jiān)護(hù)的應(yīng)用

采用分形理論對(duì)胎兒心率和臍動(dòng)脈血流多普勒信號(hào)進(jìn)行分析，對(duì)于實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)孕婦及胎兒健康狀態(tài)具有十分重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值[41-43]。

通過(guò)胎兒監(jiān)測(cè)獲得的心率模式的解釋依賴于基線的定義，該基線被認(rèn)為是胎兒休息期間缺乏外部刺激時(shí)的連續(xù)平均心率。J.C. Echeverriaa[44]提出了基線波動(dòng)的妊娠研究，涉及分形和非線性特性，以根據(jù)成熟的監(jiān)護(hù)機(jī)制引入的時(shí)變基線水平來(lái)評(píng)估這些波動(dòng)。晚上長(zhǎng)時(shí)間記錄（>6 h）時(shí)，每周從17至38周檢查一次低危妊娠。胎兒平均心率樣本和相應(yīng)的基線系列從原始腹部ECG非臥床數(shù)據(jù)獲得。應(yīng)用去趨勢(shì)波動(dòng)分析對(duì)這些系列數(shù)據(jù)進(jìn)行分形特征評(píng)價(jià)。還可通過(guò)應(yīng)用縮放量和符號(hào)分析來(lái)探索基線系列以評(píng)估非線性特征和時(shí)間序列。研究的主要發(fā)現(xiàn)是：基線顯示分形特征甚至非線性反相關(guān)波動(dòng)特性，妊娠中期出現(xiàn)這種情況（甚至更早期這種情況尤其如此）。妊娠30周后變得明顯更復(fù)雜，結(jié)構(gòu)化（即非隨機(jī)）波動(dòng)和特定的非線性變化表明，基線提供了有關(guān)心臟調(diào)節(jié)機(jī)制功能整合的信息。

Spilka，等[45]利用分形理論對(duì)胎兒心率進(jìn)行非線性特征分類(lèi)，將常規(guī)方法和非線性特征方法對(duì)217個(gè)胎兒心率記錄信號(hào)進(jìn)行分析。研究結(jié)果表明：非線性特征的增加提高了分類(lèi)的準(zhǔn)確性。進(jìn)一步評(píng)估了常規(guī)胎心率特征，并將其與非線性特征進(jìn)行了比較，以、以此分析出產(chǎn)時(shí)胎兒心率（FHR）分類(lèi)的重要性。研究證明，增加非線性特征可以提高胎心率分類(lèi)的準(zhǔn)確性。使用常規(guī)和非線性特征的組合來(lái)實(shí)現(xiàn)最佳分類(lèi)結(jié)果，靈敏度為73.4%，特異性為76.3%，F(xiàn)-測(cè)量為71.9%。選擇最佳的非線性特征是：Lempel Ziv復(fù)雜性，樣本熵和通過(guò)Higuchi方法估計(jì)的分形維數(shù)。由于自動(dòng)胎心信號(hào)評(píng)估的結(jié)果比較容易重現(xiàn)，因此胎兒心率（FHR）評(píng)估的過(guò)程可能會(huì)變得更加客觀，并且可能使臨床醫(yī)生能夠?qū)Ｗ⒂谠诜置溥^(guò)程中影響胎兒的其他非心率方面的參數(shù)。

在分形理論對(duì)臍動(dòng)脈血流多普勒信號(hào)分析研究方面，Kara S等[46]對(duì)20名孕期為18到20周的胎兒臍動(dòng)脈多普勒血流信號(hào)記錄，基于豪斯特指數(shù)的正常孕期臍動(dòng)脈多普勒信號(hào)的分形分析。結(jié)果顯示：從分形維曲線上得到的多普勒參數(shù)比從最大速度曲線上獲得的多普勒參數(shù)敏感，因此，分形維技術(shù)可以改善血流速度變化的檢測(cè)。為了證明分?jǐn)?shù)維是一項(xiàng)較好的臍動(dòng)脈血流參數(shù)，吳曉峰等[47]通過(guò)對(duì)100多例胎兒臍血流信號(hào)的分析研究，計(jì)算了心動(dòng)周期內(nèi)超聲多普勒音頻信號(hào)的分維值，并對(duì)超聲多普勒信號(hào)的分維特征進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)果表明：分維值對(duì)某些病癥具有敏感性，甚至優(yōu)于現(xiàn)有的聲譜參數(shù)法。Latifo?lu F等[48]記錄來(lái)自20名妊娠18至20周正常妊娠婦女的臍動(dòng)脈的多普勒信號(hào)，并使用Hurst指數(shù)計(jì)算分形維數(shù)曲線。其中，RI、PI和S / D指數(shù)是根據(jù)多普勒超聲波圖的最大頻率包絡(luò)和分形維數(shù)曲線計(jì)算出來(lái)的，結(jié)果表明：從分形維數(shù)曲線得到的多普勒指數(shù)與從最大速度曲線得到的多普勒指數(shù)一樣敏感。PSD（HURST）指數(shù)比傳統(tǒng)的多普勒指數(shù)更靈敏地檢測(cè)血流變化。

6 ?總結(jié)

分形理論在醫(yī)學(xué)上的應(yīng)用遠(yuǎn)不止以上幾個(gè)方面，如在醫(yī)學(xué)影像多重分形分析圖像分析（包括邊緣檢測(cè)、圖像分形壓縮、圖像分割、圖像識(shí)別、紋理分析）[49]、心律失常和腦電信號(hào)的多重分形去趨勢(shì)波動(dòng)分析、視網(wǎng)膜圖像識(shí)別、糖尿病視網(wǎng)膜病變等更為廣闊的領(lǐng)域均已有很大的研究進(jìn)展。

分形幾何對(duì)于描述生物系統(tǒng)在任何水平的非常復(fù)雜的結(jié)構(gòu)和行為非常有用[50]，分形理論也為非侵入性定量醫(yī)學(xué)診斷提供了一種實(shí)用的工具。

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