高中數(shù)學函數(shù)奇偶性的多重分析

董紅

摘 要：函數(shù)是數(shù)學學科中極為重要的內(nèi)容，也是高中數(shù)學考查的重心。高中階段函數(shù)的學習緊密圍繞其單調性、奇偶性和周期性展開。在這些內(nèi)容中，奇偶性是近幾年高考的熱點。從高考試卷分析情況來看，考查點側重對函數(shù)奇偶性的判斷，利用圖象解決問題，利用奇偶性、周期性求函數(shù)值或參數(shù)值等是重點，也是難點。從題型上看，以填空為主，輔以應用類問題。從學生的學習和答題情況來看，很多學生對函數(shù)奇偶性的概念掌握不到位，在解題中容易因概念理解錯誤或理解不到位而影響整個解題過程。因此，本文主要對高中數(shù)學函數(shù)奇偶性多重分析，進而提出以下內(nèi)容，希望能夠為同行業(yè)工作人員提供相應的參考價值。

關鍵詞：高中數(shù)學;函數(shù);奇偶性;多重;分析

一、對函數(shù)奇偶性定義的理解

（一）奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義

一是奇函數(shù)的定義：對于函數(shù)f（x）定義域中的任意x，都存在f（-x）=-f（x），那么我們稱該函數(shù)為奇函數(shù);二是偶函數(shù)的定義：對于函數(shù)f（x）定義域中的任意x，都存在f（x）=f（-x），那么我們稱該函數(shù)為偶函數(shù);三是不管f（x）是奇函數(shù)或是偶函數(shù)，我們都稱該函數(shù)具有奇偶性.

（二）對函數(shù)奇偶性的理解

一是任意性：具有奇偶性的函數(shù)，其奇偶性是對該函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意值而言的，所以，函數(shù)的奇偶性是該函數(shù)在其整個定義域上的性質，與函數(shù)在其定義域某一區(qū)間上的單調性是存在差別的;二是對稱性：對數(shù)學函數(shù)f（x）來講，如果其為奇函數(shù)，那么其圖像必然關于原點對稱，如果其為偶函數(shù)，那么其圖像則必然關于y軸對稱;同樣，對于函數(shù)f（x）來講，如果f（x）為奇函數(shù)或者偶函數(shù)，則必然存在著f（-x）=-f（x）或者f（x）=f（-x），那么其定義域也必然會關于原點對稱;同時，對于任意函數(shù)f（x），如果其圖像關于原點對稱，那么該函數(shù)為奇函數(shù)，如果其圖像關于y軸對稱，那么該函數(shù)為偶函數(shù)。但是，如果一個函數(shù)的定義域關于原點對稱，那么該函數(shù)卻不一定具有奇偶性;三是同值性：對于奇函數(shù)或偶函數(shù)來講，當其自變量x取相反數(shù)值時，其函數(shù)的絕對值是相等的。

二、關于函數(shù)奇偶性的判斷及其性質的探究

首先，在對函數(shù)的奇偶性進行判斷時，要抓住兩點：一是定義域關于原點對稱，這個是必要條件;二是要看f（x）與f（-x）之間是否存在等量關系，根據(jù)等量關系轉化為f（x）-f（-x）=0或f（x）+f（-x）=0，再對函數(shù)進行判斷。其次，關于函數(shù)奇偶性的性質需要注意以下幾點：

（1）奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調性，則其單調性完全相同;偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調性，則其單調性恰恰相反;

（2）若f（x）為偶函數(shù)，則f（-x）=f（x）=f（|x|）;

（3）若奇函數(shù)f（x）定義域中含有0，則必有f（0）=0，f（0）=0是f（x）為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件;

（4）定義在關于原點對稱區(qū)間上的任意一個函數(shù)，都可以表示成“一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和（或差）”;

（5）復合函數(shù)的奇偶性特點是“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”;

（6）既奇又偶的函數(shù)有無窮多個（如f（x）=0，定義域是關于原點對稱的任意一個數(shù)集）。

三、對高中數(shù)學函數(shù)奇偶性的多重分析

（一）利用奇偶函數(shù)的定義對奇偶函數(shù)的應用進行分析

例1已知函數(shù)f（x）在R上為奇函數(shù)，當x<0時，f（x）=-xlg（2-x），求f（x）在R上的解析式。

利用奇函數(shù)的定義：對于函數(shù)f（x）定義域中的任意X，都存在f（-x）=-f（x），那么我們稱該函數(shù)為奇函數(shù)，

可以得到：f（-x）=-f（x），f（0）=0.

當x>0時，-x<0，所以，f（-x）=xlg（2+x），

所以，-f（x）=xlg（2+x），f（x）=-xlg（2+x）（x>0），

所以，

即f（x）=-xlg（2+|x|）（x∈R）.

（二）利用奇偶函數(shù)圖像的對稱性對奇偶函數(shù)的應用進行分析

如果一個函數(shù)的圖像關于原點成中心對稱，那么這個函數(shù)一定是奇函數(shù)，如果一個函數(shù)的圖像關于y軸成軸對稱，那么這一個函數(shù)必然是偶函數(shù).對奇函數(shù)來講，其圖像關于原點對稱;對偶函數(shù)來講，其圖像關于y軸對稱。同時，不管是對奇函數(shù)還是對偶函數(shù)，其定義域都關于原點對稱。

例2已知函數(shù)y=f（x）在（0，2）上是遞增函數(shù)，函數(shù)y=f（x+2）是偶函數(shù)，比較f（1），f? ，f? 的大小。

解：因為函數(shù)y=f（x+2）是偶函數(shù)，由偶函數(shù)的定義f（x）=f（-x）可以得到：f（x+2）=f（2-x），由偶函數(shù)的圖像對稱性可知，f（x）的圖像關于x=2對稱。

因為f（x）在（0，2）上是單調遞增函數(shù)，所以，f（x）在（2，4）上為單調遞減函數(shù)，f（1）=f（2-1）=f（2+1）=f（3），

所以_______________________。

四、結論

通過上述分析可知，函數(shù)對于數(shù)學的重要性毋庸置疑的，數(shù)學作為一門思維性、邏輯性較強的學科，運用不同的思考方式對同一個問題進行分析理解，可以獲得意想不到的效果。本文以高中數(shù)學函數(shù)的奇偶性為例進行了多方面的分析，并運用實例對其應用加以說明，在一定程度上增強同學們對函數(shù)奇偶性的理解與掌握，進一步促進大家共同進步。

參考文獻：

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