運(yùn)用二次函數(shù)解析式求三角函數(shù)最值問題探析

薛建華

摘 要：三角函數(shù)二次函數(shù)知識(shí)結(jié)合的題目在高考中比重增加，對(duì)學(xué)生知識(shí)間整合的綜合能力的要求有很大的提升。在實(shí)際教學(xué)中還存在許多問題，深層次教學(xué)內(nèi)容之間的整合應(yīng)用缺乏研究，課堂上的整合模式和整合果不太理想。本文從知識(shí)整合層面，上升到高中學(xué)生能力的綜合培養(yǎng)。改變以往的單一知識(shí)傳播的教學(xué)模式，緊跟課改要求，讓課堂不但是知識(shí)傳播的地方，更是能力提開的殿堂。

關(guān)鍵詞：二次畫數(shù);三角函數(shù);能力提升;實(shí)例展示

三角函數(shù)的值域（最值）問題是一個(gè)比較復(fù)雜的問題，求法多種多樣，又有很強(qiáng)的技巧性，它往在與二次函數(shù)解析式、函數(shù)圖象、二次函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（定義域）等知識(shí)聯(lián)系在一起。那么如何通過對(duì)二次函數(shù)在三角函數(shù)中的應(yīng)用進(jìn)而提升學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合和揉合能力成為我們追求的目標(biāo)。

三角函數(shù)的值域、最值問題是常見考點(diǎn)之一，我們最常用的方法是借助三角函數(shù)的公式進(jìn)行變換或代數(shù)換元，然后轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次函數(shù)求值域或最值。下面從幾種常見的利用二次函數(shù)求三角函數(shù)值域的幾種題型出發(fā)，來分析探討這類題目的簡(jiǎn)便解法。

這類問題的基本特征是表達(dá)式里含有不同名的三角形式，但又無法運(yùn)用三角恒等變換將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的一般形式，這時(shí)候需要二次函數(shù)作為連接的橋梁，可以通過換元的方式將原函數(shù)看成一個(gè)二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，以三角函數(shù)作為內(nèi)函數(shù)，再以多項(xiàng)式函數(shù)或其他基本初等函數(shù)作為外函數(shù)的形式。這里最常見的就是以三角函數(shù)作為內(nèi)函數(shù)，以二次函數(shù)作為一個(gè)外函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的模型。

一、二次函數(shù)解析式換元在三角函數(shù)中應(yīng)用的實(shí)例展示

三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為“二次函數(shù)”此類型分為兩種：下面用兩個(gè)例子來展示。

這種三角函數(shù)與二次函數(shù)結(jié)合的復(fù)合函數(shù)的基本特征是解析式化為同角式三角函數(shù)，就比較容易識(shí)別、一般的解題步驟可總結(jié)如下：

（1）將原來的三角函數(shù)解析式化為一個(gè)二次函數(shù)的形式，統(tǒng)一化為相同角的同一三角函數(shù)名的形式;

（2）就是換元，外函數(shù)表示為二次函數(shù)或其他簡(jiǎn)單的初等函數(shù)，而內(nèi)函數(shù)就是一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的三角函數(shù);

（3）最后利用二次函數(shù)的最值問題及sinx，及cosx的取值范圍進(jìn)行解題。

但解析此類題目時(shí)應(yīng)特別注意的是對(duì)“內(nèi)函數(shù)”范圍的限制非常關(guān)鍵，常見的像-1≤sinx≤1，-1≤cosx≤l，如果忽視這個(gè)問題就得到錯(cuò)誤的答案。

將不同名的三角函數(shù)名化為用同一個(gè)常數(shù)來進(jìn)行替代后，我們發(fā)現(xiàn)本題就化為是閉區(qū)間上的二次函數(shù)求最值的問題，將繁瑣的三角函數(shù)類的題目轉(zhuǎn)化為一個(gè)我們比較熟悉的二次函數(shù)類的題目、符合化繁為簡(jiǎn)的規(guī)律。

二、二次函數(shù)在三角函數(shù)中應(yīng)用的注意點(diǎn)和學(xué)生產(chǎn)生的問題

通過三角函數(shù)的教學(xué)實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的處理般都是單方面的，應(yīng)注重提高學(xué)生的三角函數(shù)換元方面的能力，一定要注意的是的范圍，這也是學(xué)生很容易忽略的問題，通過教學(xué)實(shí)際，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在“基礎(chǔ)性轉(zhuǎn)化”即只有一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的轉(zhuǎn)化同題上有著比較高的能力、面知識(shí)點(diǎn)之間的轉(zhuǎn)化卻有一定的困難。

上例就是利用在閉區(qū)間上求二次函數(shù)最值的方法，就可以求含三角式的二次函數(shù)的最值。但是在運(yùn)用這個(gè)方法前，首先要將引用三角比之間的轉(zhuǎn)換使式子中只含有同名的三角比，再把此三角比視為二次函數(shù)的自變量。

三、二次函數(shù)解析式換元在三角函數(shù)中應(yīng)用的解決辦法及能力提升

要從知識(shí)整體性的高度上提升學(xué)生，認(rèn)識(shí)三角函數(shù)背后所闡述的數(shù)學(xué)本質(zhì)問題，從而加強(qiáng)學(xué)生猜想轉(zhuǎn)換的綜合能力。三角函數(shù)的最值問題不僅與三角自身的所有基礎(chǔ)知識(shí)密切相關(guān)，而且與代數(shù)中的二次函數(shù)、一元二次議程、不等式及某些幾何知識(shí)的聯(lián)系也很密切。因此，三角函數(shù)的最值問題的求解，往往要綜合應(yīng)用多方面的知識(shí)。

三角函數(shù)式的最值問題是函數(shù)最值的重要組成部分，也是歷屆高考的熱點(diǎn)之一。對(duì)上面問題的研究，最重要的是培養(yǎng)學(xué)生從知識(shí)融合的高度開始，最基本的教學(xué)在于概念教學(xué)和基本知識(shí)、基本能力的教學(xué)，在此基礎(chǔ)上的問題正是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)間合并的思考。通過這方面題目的訓(xùn)練，對(duì)高中起步階段的學(xué)生進(jìn)行思維的推動(dòng)和興趣的提高。