基于MATLAB的非線性電路特性仿真研究

李佳倫

【摘 要】實(shí)際電路都是非線性的。非線性電路具有很多和線性電路完全不同的特性，表現(xiàn)出非線性電路獨(dú)有的一些行為。論文利用MATLAB搭建了不同的非線性電路模型，然后利用數(shù)值仿真，分析了非線性電路穩(wěn)態(tài)不唯一、極限環(huán)、混沌等三個(gè)典型特性，直觀展現(xiàn)了非線性電路中穩(wěn)定與不穩(wěn)定平衡點(diǎn)、極限環(huán)、混沌等不同行為的具體表現(xiàn)，分析了非線性電路軌跡與初始點(diǎn)的相關(guān)性，為了解非線性電路特殊的行為提供參考。

【關(guān)鍵詞】非線性電路;平衡點(diǎn);極限環(huán);混沌

中圖分類號(hào)： TN710 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 2095-2457（2019）24-0047-004

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.24.023

【Abstract】All actual circuits are nonlinear. Nonlinear circuits have many different characteristics from linear circuits， and some special behaviors would appear. The paper uses MATLAB to build different nonlinear circuit models， and then uses numerical simulation to analyze three typical characteristics of nonlinear circuits， i.e. multiple steady states， limit cycle and chaos， and visually shows the stable equilibrium point and unstable equilibrium point， limit cycle， chaos and other characteristics in nonlinear circuits. The paper also analyzes the dependence of trajectories of nonlinear circuits on the initial points. The results provide a reference for understanding the special behaviors of nonlinear circuits.

【Key words】Non-linear circuit; Equilibrium point; Limit cycle; Chaos

0 引言

在線性電路中，線性元件的特點(diǎn)是其參數(shù)不隨電壓或電流而變化。若元件的參數(shù)隨著電壓或電流而變化，則該元件稱為非線性元件，含有非線性元件的電路稱為非線性電路。嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，一切實(shí)際電路都為非線性電路，因?yàn)閷?shí)際元件的參數(shù)總會(huì)隨著電壓或者電流變化而發(fā)生改變。一般情況下，把非線性程度比較微弱的電路元件作為線性元件來(lái)處理，不會(huì)有太大影響，并且還能夠簡(jiǎn)化運(yùn)算。但是，很多非線性元件的非線性特征不容忽略，若將這些元件按照線性元件來(lái)處理，計(jì)算結(jié)果必會(huì)與實(shí)際測(cè)量值相差甚遠(yuǎn)，無(wú)法解釋電路中的某些現(xiàn)象。因此分析研究非線性電路具有重要意義。

和線性電路相比，非線性電路的特性要復(fù)雜得多，會(huì)出現(xiàn)大量獨(dú)特的現(xiàn)象，如穩(wěn)態(tài)不唯一、極限環(huán)、混沌等[1-4]。但是，目前對(duì)于一般非線性電路的還缺乏有效的解析分析方法，因此，本文主要采用數(shù)值仿真方法對(duì)非線性電路的特性進(jìn)行研究。

1 穩(wěn)態(tài)不唯一

電路的穩(wěn)態(tài)解可通過(guò)求解表征電路平衡狀態(tài)的一組代數(shù)方程組獲得。對(duì)于線性電路，該代數(shù)方程是線性的，解是唯一的，因此線性電路的穩(wěn)態(tài)唯一。對(duì)于非線性電路，該代數(shù)方程是非線性方程，可能存在多解，導(dǎo)致非線性電路的穩(wěn)態(tài)不唯一。

當(dāng)給非線性電路一個(gè)直流電源激勵(lì)時(shí)，若電流和電壓不再隨時(shí)間變化，則此時(shí)的電路處于平衡狀態(tài)。若這時(shí)給電路一個(gè)微小的擾動(dòng)并消除，使電壓電流略微偏離穩(wěn)態(tài)。如果電壓電流能變回原來(lái)的狀態(tài)，則稱這個(gè)平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，反之，則此平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定。

本文以非線性電阻電路為例來(lái)討論非線性電路平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。電路如圖1所示。其中電阻r1、電感L、電容C是線性的，參數(shù)r1=0.4Ω，L=1H，C=1F，直流電壓源E=4V，非線性電阻的伏安特性用u=f（i）表示，具體為u=0.82×i-0.4×（i-1）2+0.1×（i-3）3+0.4+2.7。

在圖2的3個(gè)平衡點(diǎn)中，有穩(wěn)定的和不穩(wěn)定的。給電路設(shè)定一系列初始值，用MATLAB進(jìn)行仿真，觀察在u-i平面上的軌跡，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后會(huì)收斂到哪個(gè)點(diǎn)。結(jié)果圖如3所示?？梢灾庇^地看見(jiàn)，電路最后到達(dá)的穩(wěn)態(tài)在A、C兩點(diǎn)，而B(niǎo)點(diǎn)為不穩(wěn)定點(diǎn)，一系列初始值都不會(huì)收斂于B點(diǎn)。非線性電路有多個(gè)平衡點(diǎn)，電路收斂于哪個(gè)平衡點(diǎn)由起始條件決定。

2 極限環(huán)

非線性電路中的極限環(huán)對(duì)應(yīng)著電子學(xué)中各種自激振蕩電路。范德坡方程電路是一個(gè)經(jīng)典的非線性電路。與線性電路方程相比，范德坡電路方程的解有新的特點(diǎn)：產(chǎn)生穩(wěn)定的極限環(huán)。

MATLAB仿真出的波形與極限環(huán)結(jié)果如圖5和圖6所示。uc-iL圖中可看出有單一的閉合曲線存在。這種單一的或孤立的閉合曲線稱為極限環(huán)，并且初始點(diǎn)不論在極限環(huán)內(nèi)還是在極限環(huán)外，最終都將收斂到極限環(huán)并沿極限環(huán)運(yùn)動(dòng)。這表明所研究電路最終會(huì)建立起周期性振蕩，且與初始條件無(wú)關(guān)，即存在一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)。范德坡電路中產(chǎn)生的持續(xù)振蕩就是一種自激振蕩，與線性電路中的振蕩有明顯區(qū)別，線性電路中的振蕩振幅是與初始條件有關(guān)的，而范德坡電路中持續(xù)振蕩的振幅由極限環(huán)決定，與初始條件無(wú)關(guān)。

3 混沌

混沌現(xiàn)象普遍存在于宇宙間各式各樣的宏觀與微觀系統(tǒng)中。粗略地說(shuō)，混沌是發(fā)生在確定性系統(tǒng)中的不確定行為，或類似隨機(jī)的行為。在非線性電路中，混沌現(xiàn)象廣泛存在，蔡氏電路是當(dāng)前眾多混沌電路中最具代表性的一種，其典型的電路結(jié)構(gòu)已成為理論和實(shí)驗(yàn)研究混沌的一個(gè)范例。

蔡氏電路[5]是蔡少棠教授首次發(fā)表出的，它是能產(chǎn)生混沌行為最簡(jiǎn)單的自治電路，僅包含三個(gè)儲(chǔ)能元件，以及一個(gè)特性相對(duì)簡(jiǎn)單的非線性電阻。蔡氏混沌系統(tǒng)是由線性電阻、電感、電容和一個(gè)非線性，電阻原件組成，它滿足混沌電路產(chǎn)生的條件為：

（1）一個(gè)或者多個(gè)的非線性元件。

（2）一個(gè)或者多個(gè)的本地有源電阻。

（3）三個(gè)或者更多個(gè)能量存儲(chǔ)元件。

本文采用經(jīng)典蔡氏電路模型，如圖7（a）所示，一個(gè)線性電阻（R），一個(gè)必不可少的非線性元件，即一個(gè)非線性電阻（Rn），三個(gè)儲(chǔ)能元件，分別為兩個(gè)電容（C1，C2）、一個(gè)電感（L），其中的電容與電感都是線性元件。構(gòu)成一個(gè)三階自治動(dòng)態(tài)電路。非線性電阻為蔡氏二極管，其伏安特性曲線是一個(gè)多段線性函數(shù)，如圖7（b）。電路中電容C1與有源非線性電阻Rn組成一個(gè)RC濾波電路;電感L和電容C2構(gòu)成一個(gè)LC振蕩電路。濾波電路與振蕩電路通過(guò)一個(gè)線性電阻R進(jìn)行耦合，即能產(chǎn)生復(fù)雜的混沌現(xiàn)象的非線性電路。

對(duì)該電路進(jìn)行數(shù)值仿真，電壓電流時(shí)域波形和相平面上的軌跡分別如圖8和圖9所示。從圖8可以看到，電壓電流波形呈現(xiàn)復(fù)雜的、無(wú)休止的無(wú)周期運(yùn)動(dòng)形態(tài)。V1與Il的在兩個(gè)正負(fù)值之間跳躍，波形相同而極性相反。V2在零上下無(wú)規(guī)律變化。說(shuō)明了混沌振蕩的非周期性。由圖9的相圖可見(jiàn)，V1-V2-Il在三維空間的軌跡繞兩個(gè)點(diǎn)旋繞，做不閉合的無(wú)周期運(yùn)動(dòng)。在相平面上它的相軌道始終不會(huì)重復(fù)，但是有界的，即在一定的有界范圍有遍歷性，且對(duì)初始條件極為敏感。這些都是混沌運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)。

4 總結(jié)

非線性電路具有很多不同于線性電路的特殊性質(zhì)。本文利用MATLAB，搭建了不同的非線性電路模型，然后通過(guò)數(shù)值仿真分析了非線性電路的三個(gè)突出特性，即穩(wěn)態(tài)不唯一、極限環(huán)和混沌，更好的理解非線性電路中各種非線性現(xiàn)象。隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，電子技術(shù)得到迅猛發(fā)展，新的電子器件也不斷出現(xiàn)。高度非線性電子器件的廣泛應(yīng)用，使得研究非線性電路十分必要。

【參考文獻(xiàn)】

[1]徐清華.非線性電路分析[M].高等教育出版社，1992.

[2]劉崇新.非線性電路理論及應(yīng)用[M].西安交通大學(xué)出版社，2007.

[3]張新國(guó)等編著.非線性電路：基礎(chǔ)分析與設(shè)計(jì)[M].高等教育出版社，2011.

[4]邱關(guān)源，羅先覺(jué)主編.電路.第5版[M].北京：高等教育出版社，2006.

[5]趙桂清.蔡氏混沌電路分析研究[J].科技創(chuàng)新與應(yīng)用， 2015（26）.