一種改進(jìn)的永磁同步電機(jī)飽和數(shù)學(xué)模型

楊太鵬，宋 劍，曹博書

（1.中國民航大學(xué)飛行技術(shù)學(xué)院，天津 300300；2.中國南方航空股份有限公司機(jī)務(wù)工程部，廣州 510470）

電機(jī)作為飛機(jī)全電化關(guān)鍵部件之一，是飛機(jī)舵機(jī)系統(tǒng)的核心元件，為飛機(jī)舵機(jī)操縱提供動(dòng)力支持，其安全性直接關(guān)系到舵機(jī)系統(tǒng)的整體工作特性。永磁同步電機(jī)（PMSM,permanent magnet synchronous motor）具有短時(shí)過載能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，因此在飛機(jī)舵機(jī)系統(tǒng)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。大電流重載情況下電機(jī)飽和嚴(yán)重，交直軸之間產(chǎn)生交叉耦合現(xiàn)象[1-2]，使傳統(tǒng)PMSM 數(shù)學(xué)模型不能準(zhǔn)確反映電機(jī)飽和時(shí)的電感特征，因此完善電機(jī)交叉飽和情況下的數(shù)學(xué)模型，可為重載情況下的電機(jī)驅(qū)動(dòng)特性研究提供更加準(zhǔn)確的模型依據(jù)[3-5]。

目前磁飽和模型的研究主要利用凍結(jié)磁導(dǎo)率法[6-7]，凍結(jié)電機(jī)某一運(yùn)行狀態(tài)的鐵心磁導(dǎo)率，分別計(jì)算轉(zhuǎn)子永磁體、交直軸電流單獨(dú)作用時(shí)的磁鏈，由此計(jì)算出對應(yīng)的電感值。

李和明等[8]使用凍結(jié)磁導(dǎo)率法計(jì)算出轉(zhuǎn)子交直軸自感和交叉耦合互感值，電機(jī)的電感參數(shù)由3 張二維電感數(shù)表組成。張宇寧[9]對比研究了不同有限元方法計(jì)算電感的結(jié)果，證明了考慮交叉耦合效應(yīng)可以提升電感值模擬精度，高精度電感同樣需要3 張二維電感數(shù)表。李錦清等[10]為了提升電感計(jì)算精度，將互感分為交軸對直軸互感Ldq和直軸對交軸互感Lqd，共需要4張二維電感數(shù)表。文獻(xiàn)[8-10]增加了仿真分析的查表量，控制器需要頻繁查詢電感來計(jì)算交直軸電壓和電磁轉(zhuǎn)矩，更多的查表量不僅占用了更多的控制器內(nèi)存，而且降低了查表速度，削弱了控制器的響應(yīng)速度。

為降低電感查表量，建立一種基于不對稱交叉飽和電感的改進(jìn)電機(jī)數(shù)學(xué)模型，令dq 軸自感僅與各自電流有關(guān)，dq 軸之間互感不對稱。與文獻(xiàn)[8]的凍結(jié)磁導(dǎo)率法相比，電感參數(shù)由兩張二維表和兩張一維表組成，簡化了電感參數(shù)結(jié)構(gòu)，可減小電感參數(shù)所占用的控制器內(nèi)存空間，加快查表速度并降低查表量。以一臺(tái)內(nèi)埋式永磁同步電機(jī)為例，利用有限元法提取電流與磁鏈的關(guān)系曲線，將提取的參數(shù)曲線導(dǎo)入數(shù)學(xué)模型。通過Matlab 平臺(tái)仿真實(shí)驗(yàn)，證明該數(shù)學(xué)模型能很好地反映電機(jī)在磁飽和條件下，電流與轉(zhuǎn)矩、磁鏈與電動(dòng)勢的關(guān)系曲線，為電機(jī)飽和情況下的控制提供了簡化可靠的數(shù)學(xué)模型依據(jù)。

1 建立PMSM 電機(jī)數(shù)學(xué)模型

常見的PMSM 數(shù)學(xué)模型為dq 軸數(shù)學(xué)模型，如圖1所示，其中d 軸代表永磁體所在直軸，q 軸為超前于d軸90°電角度的交軸。

圖1 永磁同步電機(jī)dq 軸數(shù)學(xué)模型Fig.1 PMSM math model foraxis d&q

1.1 不對稱交叉磁飽和效應(yīng)的電機(jī)數(shù)學(xué)模型

dq 軸磁路部分重合，且飽和情況下鐵心的磁導(dǎo)率受電流影響較大，因此考慮交叉磁飽和的dq 軸磁鏈、電感與電流的關(guān)系為

其中：Ψd為直軸磁鏈；Ψq為交軸磁鏈；Ψf為永磁體磁鏈；Ld（id，iq）、Lq（id，iq）和Ldq（id，iq）分別為d 軸自感、q 軸自感以及dq 軸互感。

傳統(tǒng)的凍結(jié)磁導(dǎo)率法分別給定id和iq，模擬負(fù)載場情況下的磁路磁導(dǎo)率，進(jìn)而計(jì)算交直軸自感和互感，分別得到兩張自感和一張互感二維數(shù)表，由于傳統(tǒng)的交直軸電感參數(shù)均與dq 軸電流相關(guān)，電感參數(shù)查表工作量大，為簡化電感數(shù)表，對電感參數(shù)進(jìn)行如下修正，即

其中：Ld（id，iq=0）為q 軸無電流時(shí)d 軸自感；Lq（iq，id=0）為d 軸無電流時(shí)q 軸自感；Ld（id，iq≠0）和Lq（iq，id≠0）為qd 軸施加電流時(shí)對dq 軸自感的影響，將式（2）代入式（1），簡化為

令

其中：Ldq1（id，iq）和Lqd1（id，iq）為dq 軸不對稱互感，包含了dq 軸互感和dq 軸電流不為0 時(shí)對qd 軸自感的影響。

將式（4）代入式（3）可得dq 軸磁鏈方程為

由虛位移法中磁鏈和電壓的關(guān)系，將式（5）代入，可得改進(jìn)模型的dq 軸電壓方程為

其中：uq、ud為交直軸電壓；Rs為定子電阻；iq′、id′為交直軸電流隨時(shí)間的導(dǎo)數(shù)；ωe為電角速度。

由電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩與磁鏈的關(guān)系，將式（5）代入，可得改進(jìn)模型的電機(jī)轉(zhuǎn)矩方程為

其中：np為電機(jī)極對數(shù)。式（7）中，第1 項(xiàng)為磁阻轉(zhuǎn)矩，第2 項(xiàng)為永磁體轉(zhuǎn)矩，第3 項(xiàng)為轉(zhuǎn)子dq 軸磁場產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩。

永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型由電氣端和機(jī)型端組成，其中電氣端為磁鏈-電流計(jì)算式（如式（5）所示）以及電壓-電流式（如式（6）所示）。機(jī)型端為電磁轉(zhuǎn)矩計(jì)算式（如式（7）所示）。由此式（5）～式（7）共同構(gòu)成了考慮磁飽和情況的電機(jī)數(shù)學(xué)模型。

1.2 電感參數(shù)的提取方法

提取不同dq 軸電流狀態(tài)的dq 軸磁鏈，根據(jù)式（5）分析dq 軸自感和不對稱交叉耦合效應(yīng)等效電感，計(jì)算如式（4）所述4 種電感參數(shù)的過程如下。

1）空載情況下，分析轉(zhuǎn)子d 軸磁通，得到永磁體產(chǎn)生的磁通Ψf。

令q 軸電流為0，提取不同d 軸電流對應(yīng)的d 軸磁鏈，則d 軸電感為

2）保持d 軸電流為0，提取不同q 軸電流對應(yīng)的q軸磁鏈，則q 軸電感為

令d 軸電流不變，計(jì)算不同q 軸電流時(shí)的dq 軸磁鏈，與對應(yīng)的d 軸電流為0 時(shí)的dq 軸磁鏈比較，則交叉不對稱電感為

3）設(shè)定不同的d 軸電流，計(jì)算不同d 軸電流情況下，q 軸電流變化時(shí)的交叉電感。通過上述式（8）～式（10）可以計(jì)算出式（4）所需的4 種電感參數(shù)，其中交叉電感為二維數(shù)表，交直軸自感為一維數(shù)表。

2 Matlab 仿真平臺(tái)下的磁飽和電機(jī)模型

Matlab/Simulink 仿真平臺(tái)下，PMSM 模型采集電機(jī)三相繞組的端電壓，計(jì)算對應(yīng)的電流值，通過受控電流源輸出電流，運(yùn)用轉(zhuǎn)矩計(jì)算模塊計(jì)算對應(yīng)的電磁轉(zhuǎn)矩，具體計(jì)算流程如圖2 所示。

在圖2 所述流程中，設(shè)置起始dq 軸電流和轉(zhuǎn)子位置θ 及轉(zhuǎn)速ωe初始值id0、iq0、θe0、ωe0根據(jù)有限元分析結(jié)果，將電感與dq 軸電流對應(yīng)關(guān)系導(dǎo)入lookup table查表模塊，以便查找不同dq 軸電流對應(yīng)的交直軸自感Ld（id）、Lq（iq）和不對稱互感Ldq1（id，iq）、Lqd1（id，iq）。采集電機(jī)三相繞組端電壓UABC通過dq 坐標(biāo)變換成轉(zhuǎn)子dq 軸電壓Udq，采集上一采樣周期轉(zhuǎn)子dq 軸電流和對應(yīng)電感，利用式（6）計(jì)算本周期dq 軸電流的微分值，利用采樣步長積分計(jì)算本周期dq 軸電流值，經(jīng)dq坐標(biāo)反變換成電機(jī)三相繞組電流IABC，同時(shí)利用式（7）計(jì)算電機(jī)產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩Te。

圖2 Matlab 仿真平臺(tái)PMSM 電機(jī)模型計(jì)算框圖Fig.2 PMSM calculating block diagram based on Matlab

3 仿真分析

利用有限元軟件ANSYS EM 對一臺(tái)內(nèi)埋式永磁體PMSM 進(jìn)行電磁分析，電機(jī)參數(shù)如表1 所示。

表1 永磁同步電機(jī)樣機(jī)參數(shù)Tab.1 Parameter of a certain PMSM

根據(jù)式（8）～式（10），利用有限元法提取d 軸自感曲線、q 軸自感曲線與交叉電感曲線，如圖3～圖6 所示。

將電感參數(shù)導(dǎo)入lookup table 查表模塊，進(jìn)行如圖2 所示的計(jì)算過程，根據(jù)不同交直軸電流查圖3～圖6所示的電流-電感參數(shù)表，獲得Ld（id）、Lq（iq）、Ldq1（id，iq）、Lqd1（id，iq）參數(shù)，以便進(jìn)行式（6）～式（7）的相關(guān)計(jì)算。為驗(yàn)證改進(jìn)模型的準(zhǔn)確性，采用基于受控電壓源的電流滯環(huán)矢量控制系統(tǒng)，對比Matlab 仿真平臺(tái)上建立的數(shù)學(xué)模型和有限元法分析出的電機(jī)電磁特性區(qū)別。不同d 軸電流情況下，q 軸電流與磁鏈、電磁轉(zhuǎn)矩和交直軸電壓的結(jié)果對比如圖7～圖10所示，其中：曲線為Matlab 仿真結(jié)果，陰影為有限元法計(jì)算結(jié)果。從圖7 可看出，不同交直軸電流情況下，Matlab 仿真模型計(jì)算的交直軸磁鏈和有限元分析結(jié)果均能保持良好的一致性。從圖8 可看出，不同交直軸電流情況下，仿真模型計(jì)算的電磁轉(zhuǎn)矩和有限元分析結(jié)果基本一致，區(qū)別在于Matlab 仿真模型忽略了齒槽效應(yīng)，因此計(jì)算的電磁轉(zhuǎn)矩諧波較小，波形更加光滑。

圖3 Ld 與id 的關(guān)系Fig.3 Ld vs.id

圖4 Lq 與iq 的關(guān)系Fig.4 Lq vs.iq

圖5 Ldq 與id、iq 的關(guān)系Fig.5 Ldq vs.id&iq

圖6 Lqd 與id、iq 的關(guān)系Fig.6 Lqd vs.id&iq

圖7 有限元法和Matlab 模型仿真不同電流條件下dq 軸磁鏈對比Fig.7 Magnetic link comparison for axis d&q between FEM and Matlab

圖8 有限元法和Matlab 模型仿真不同電流條件下dq軸電磁轉(zhuǎn)矩對比Fig.8 Electric-magnetic torque comparison for axis d&q between FEM and Matlab

圖9 有限元法和Matlab 模型仿真id=100 A 時(shí)iq 與電機(jī)反電動(dòng)勢曲線對比Fig.9 iq vs.back electromotive force under FEM and Matlab（id=100 A）

圖10 有限元法和Matlab 模型仿真id=350 A 時(shí)iq 與電機(jī)反電動(dòng)勢曲線對比Fig.10 iq vs.back electromotive force under FEM and Matlab（id=350 A）

由圖9～圖10 可知，由于電機(jī)齒槽效應(yīng)的影響，有限元軟件計(jì)算出的磁鏈存在紋波，導(dǎo)致交直軸電壓均帶有紋波。由于改進(jìn)模型主要研究飽和情況下的特點(diǎn)，故忽略齒槽效應(yīng)，Matlab 仿真曲線較為平滑。

由圖7 可知，改進(jìn)模型得出的dq 軸電流與磁鏈的關(guān)系與有限元仿真結(jié)果一致，說明式（8）～式（10）具有良好的電感計(jì)算精度，式（5）中電流和磁鏈的計(jì)算關(guān)系準(zhǔn)確。由圖8 可知改進(jìn)數(shù)學(xué)模型的電磁轉(zhuǎn)矩計(jì)算結(jié)果和有限元分析結(jié)果基本一致，說明在不考慮轉(zhuǎn)矩紋波情況下電磁轉(zhuǎn)矩計(jì)算式（7）具有良好的計(jì)算精度。圖9～圖10 說明在id=100 A 和id=350 A 兩種不同程度的飽和情況下，式（6）能準(zhǔn)確反映電機(jī)的交直軸反電動(dòng)勢。綜合圖7～圖10，說明由式（5）～式（7）組成的改進(jìn)模型可準(zhǔn)確反映電機(jī)飽和情況下的電磁特性，為電機(jī)控制提供了簡化、可靠的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)。

4 結(jié)語

為研究交叉磁耦合效應(yīng)對PMSM 電感的影響，完善了電機(jī)數(shù)學(xué)模型，利用有限元法提取了改進(jìn)模型的電感參數(shù)曲線，在Matlab 仿真平臺(tái)下與有限元分析結(jié)果進(jìn)行比較研究。結(jié)果表明，改進(jìn)模型能準(zhǔn)確反映電機(jī)飽和特性，該模型電感參數(shù)由2 張二維表和2 張一維表組成，與傳統(tǒng)的3 張二維電感參數(shù)表相比，減少了近1/3 的查表工作量，為實(shí)現(xiàn)電機(jī)在飛機(jī)舵機(jī)系統(tǒng)中的精確控制，特別是過載控制提供了準(zhǔn)確簡化、可靠的模型基礎(chǔ)。