解三角形易錯(cuò)點(diǎn)“集結(jié)號(hào)”

■河南省固始縣慈濟(jì)高級(jí)中學(xué) 王 珩

我們知道,正弦、余弦定理的主要用途是解三角形,這類(lèi)問(wèn)題看似容易,其實(shí)卻暗藏殺機(jī),稍不留意,便會(huì)造成錯(cuò)解。本文給出幾例,以期幫助同學(xué)們認(rèn)清正余弦定理應(yīng)用中的易錯(cuò)點(diǎn)。

易錯(cuò)點(diǎn)1 利用正弦定理求三角形的內(nèi)角時(shí)丟解

例1在△ABC中,B=30°,AB=,AC=2,求△ABC的面積。

錯(cuò)解：由正弦定理,得,故C=60°,A=90°。

剖析：本題錯(cuò)誤的原因是利用正弦定理求C時(shí)丟了一解。事實(shí)上,由sinC=可得C=60°或120°,這兩個(gè)結(jié)果都符合題意。

正解：由正弦定理,得。又因?yàn)锳B＞AC,所以C=60°或120°。

當(dāng)C=60°時(shí),A=90°,則

當(dāng)C=120°時(shí),A=30°,則

故△ABC的面積為

友情提示：在利用正弦定理求角時(shí),由于正弦函數(shù)在(0,π)內(nèi)不嚴(yán)格單調(diào),所以角的個(gè)數(shù)可以不唯一,這時(shí)應(yīng)注意借助已知條件加以檢驗(yàn),務(wù)必做到不漏解、不多解。

易錯(cuò)點(diǎn)2 忽視三角形的內(nèi)角和定理

例2在△ABC中,C=3B,求的取值范圍。

錯(cuò)解：由正弦定理,得：

因?yàn)?≤cos2B≤1,所以-1≤4cos2B-1≤3,0＜≤3。

剖析：在上述解題過(guò)程中得到=4cos2B-1后,忽略了三角形內(nèi)角和為180°及隱含的A,B,C均為正角這一條件。

正解：由正弦定理,得：

因?yàn)锳+B+C=180°,C=3B,所以0°＜B＜45°,即＜cosB＜1。

友情提示：在解三角形問(wèn)題時(shí),應(yīng)注意A+B+C=180°,且A＞0°,B＞0°,C＞0°。

易錯(cuò)點(diǎn)3 忽視三角形的三邊關(guān)系

例3設(shè)2a+1,a,2a-1為鈍角三角形的三邊,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

錯(cuò)解：因?yàn)?a+1,a,2a-1是三角形的三邊,所以解得a＞。

由題意知2a+1是三邊長(zhǎng)的最大值,設(shè)其所對(duì)角為θ。

因?yàn)?a+1,a,2a-1 是鈍角三角形的三邊,所以cosθ＜0。

故a的取值范圍是＜a＜8。

剖析：錯(cuò)解中求得的a＞不是2a+1,a,2a-1表示三角形三邊的等價(jià)條件。

正解：因?yàn)?a+1,a,2a-1是三角形的三邊,所以

解得a＞,此時(shí)2a+1最大。

要使2a+1,a,2a-1 表示三角形的三邊,還需a+(2a-1)＞2a+1,解得a＞2。

設(shè)最長(zhǎng)邊2a+1所對(duì)的角為θ,則：

故a的取值范圍是2＜a＜8。

友情提示：在求有關(guān)參數(shù)范圍時(shí),不可忽略三角形的三邊固有的關(guān)系,否則會(huì)使某些變量的范圍變大。

易錯(cuò)點(diǎn)4 忽視題設(shè)中的隱含條件

例4在△ABC中,已知A＞B＞C,且A=2C,b=4,a+c=8,求a,c的長(zhǎng)。

錯(cuò)解：由正弦定理得因?yàn)锳=2C,所以,a=2ccosC。

又因?yàn)閍+c=8,所以

由余弦定理及a+c=8,b=4得：

當(dāng)c=時(shí),a=8-c=；

當(dāng)c=4時(shí),a=8-c=4。

故a=或a=c=4。

剖析：題設(shè)中條件A＞B＞C,等價(jià)于a＞b＞c,錯(cuò)解忽視了這個(gè)隱含條件。

正解：由上面的解法,由③得c=或c=4。

因?yàn)锳＞B＞C,a+c=8,所以a＞4＞c,c=,a=8-c=。

故a=,c=。

友情提示：數(shù)學(xué)題中的每一個(gè)條件都不容忽視,解題時(shí)必須仔細(xì)推敲,謹(jǐn)防犯顧此失彼的錯(cuò)誤。

易錯(cuò)點(diǎn)5 等式變形時(shí)隨意約去公因式

例5在△ABC中,若(a-ccosB)sinB=(b-ccosA)sinA,判斷△ABC的形狀。

錯(cuò)解：由正弦定理及余弦定理知,原等式可化為：

三角形為等腰三角形。

剖析：(1)化為(2)不是等價(jià)變形,因式a2+b2-c2可以為零,所以不可輕易約去。

正解：由正弦定理及余弦定理知,原等式可化為：

三角形為直角三角形或等腰三角形。

友情提示：解決此類(lèi)問(wèn)題的基本方法是將已知的邊角關(guān)系式化為一邊為零,另一邊為三角式的乘積的形式或平方和的形式,或另一邊為關(guān)于三邊的多項(xiàng)式。注意不能隨意約去公因式,否則結(jié)論便不完整了。