精講解三角形考點(diǎn)

■河南省禹州市第一高級(jí)中學(xué) 田治業(yè)

高考有關(guān)解三角形的考題形式為選擇題、填空題或解答題,主要考查利用正弦定理、余弦定理、三角公式、三角函數(shù)圖像與性質(zhì)解三角形及求三角形的面積,解實(shí)際問(wèn)題,求平面圖形中的邊角關(guān)系,求與三角形有關(guān)的最值、取值范圍等綜合問(wèn)題,難度為基礎(chǔ)題和中檔題。

考點(diǎn)一、已知三角形中的邊角關(guān)系解三角形

1.對(duì)已知三角形的邊角關(guān)系解三角形問(wèn)題,若所給條件含邊又含角,要么把角化為邊,要么把邊化為角。

2.若條件給出三角形面積,則利用三角形面積公式化為邊角問(wèn)題處理。

3.若以向量運(yùn)算的形式給出條件,則利用向量運(yùn)算的相關(guān)知識(shí)化為邊角關(guān)系,再利用余弦定理求解。

4.在利用正弦定理解題時(shí),應(yīng)注意利用大邊對(duì)大角來(lái)判斷所求角的范圍。

5.三角形中的三角變換：

(2)在△ABC中,熟記并會(huì)證明：A,B,C成等差數(shù)列的充分必要條件是B=60°；△ABC是正三角形的充分必要條件是A,B,C成等差數(shù)列且a,b,c成等比數(shù)列。

6.要熟記如下知識(shí)：

(1)正弦定理：

(2)在三角形中,大角對(duì)大邊,大邊對(duì)大角；大角的正弦值也較大,正弦值較大的角也較大,即在△ABC中,A＞B?a＞b?sinA＞sinB。

(3)在△ABC中,已知a,b和A時(shí),解的情況如下：

(4)余弦定理：

例1在△ABC中,。

(1)求B的大??；(2)求的最大值。

分析：(1)根據(jù)余弦定理公式求出cosB的值,進(jìn)而根據(jù)B的取值范圍求B的大??；(2)由輔助角公式對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)變形,進(jìn)而根據(jù)A的取值范圍求其最大值。

解：(1)由余弦定理及題設(shè)得cosB=

又因?yàn)?＜B＜π,所以B=。

(2)由(1)知A+C=。

因?yàn)?＜A＜,所以當(dāng)A=時(shí),cosA+cosC取得最大值1。

點(diǎn)評(píng)：正弦、余弦定理是應(yīng)用極為廣泛的兩個(gè)定理,它將三角形的邊和角有機(jī)地聯(lián)系起來(lái),從而使三角與幾何產(chǎn)生聯(lián)系,為求與三角形有關(guān)的量(如面積、外接圓、內(nèi)切圓半徑和面積等)提供了理論依據(jù),也是判斷三角形形狀、證明三角形中有關(guān)等式的重要依據(jù)。其主要方法有：化角法,化邊法,面積法,運(yùn)用初等幾何法。注意體會(huì)其中蘊(yùn)含的函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想。

考點(diǎn)二、利用正弦定理、余弦定理解平面圖形問(wèn)題

對(duì)解平面圖形中的邊角問(wèn)題,若在同一個(gè)三角形中,可直接利用正弦定理與余弦定理求解。若圖形中條件與結(jié)論不在同一個(gè)三角形內(nèi),思路1：要將不同的三角形中的邊角關(guān)系利用中間量集中到一個(gè)三角形內(nèi)列出在利用正余弦定理列出方程求解；思路2：根據(jù)圖像分析條件和結(jié)論所在的三角形,分析由條件可計(jì)算出的邊角和由結(jié)論需要計(jì)算的邊角,逐步建立未知與已知的聯(lián)系。

例2在△ABC中,點(diǎn)D在BC邊上,AD平分∠BAC,AB=6,AD=,AC=4。

(2)求BC的長(zhǎng)。

分析：(1)由正弦定理知,在△ABD中,①；在△ADC中,②。由∠ADB+∠ADC=π,∠BAD=∠DAC,得sin∠ADB=sin∠ADC,sin∠BAD=sin∠DAC,然后再由①÷②即可得到結(jié)果。(2)由(1)知,設(shè)BD=3x,DC=2x(x＞0),則BC=5x。由cos∠BDA+cos∠ADC=0及余弦定理知0,由此即可求出結(jié)果。

解：(1)由正弦定理知,在△ABD中,

由∠ADB+∠ADC=π,∠BAD=∠DAC,得 sin ∠ADB=sin ∠ADC,sin∠BAD=sin∠DAC。

由cos∠BDA+cos∠ADC=0,及余弦定理知。

解得x=1,所以BC=5。

考點(diǎn)三、利用正弦定理、余弦定理解測(cè)量,航行問(wèn)題

1.把握解三角形應(yīng)用題的四步：

①閱讀理解題意,弄清問(wèn)題的實(shí)際背景,根據(jù)題意畫(huà)出示意圖；

②根據(jù)圖形分析圖中哪些量是已知量,哪些量是未知量,需要通過(guò)哪些量將未知與已知溝通起來(lái),將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形問(wèn)題的模型；

③根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解；

④將三角形問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題,注意實(shí)際問(wèn)題中的有關(guān)單位問(wèn)題、近似計(jì)算的要求等。

2.要理解仰角和俯角、方位角、方向角的概念,并能將其化為三角形內(nèi)角。

例3為了應(yīng)對(duì)日益嚴(yán)重的氣候問(wèn)題,某氣象儀器科研單位研究出一種新的“彈射型”氣候儀器,這種儀器可以彈射到空中進(jìn)行氣候觀測(cè)。如圖1所示,A,B,C三地位于同一水平面上,這種儀器在C地進(jìn)行彈射實(shí)驗(yàn),觀測(cè)點(diǎn)A,B兩地相距100 m,∠BAC=60°,在A地聽(tīng)到彈射聲音比B地晚(已知聲音傳播速度為340 m/s),在A地測(cè)得該儀器至高點(diǎn)H處的仰角為30°,則這種儀器的垂直彈射高度HC=____。

圖1

分析：在圖中標(biāo)注出已知量,分析所求量與已知量的關(guān)系,在三角形中利用正弦定理與余弦定理求解。

解：設(shè)BC=x,則AC=x+×340=x+40。在△ABC中,由余弦定理,可得BC2=AB2+AC2-2AB×ACcos∠BAC,即x2=1002+(40+x)2-2×100×(40+x)×,解得x=380,所以AC=380+40=420(m)。因?yàn)椤螲AC=30°,所以∠AHC=90°-30°=60°。

點(diǎn)評(píng)：解題中要認(rèn)真分析與問(wèn)題有關(guān)的三角形,正確運(yùn)用正、余弦定理有序地解相關(guān)的三角形,從而得到問(wèn)題的答案。