帶異號(hào)電荷兩絕緣小球?qū)π恼龅倪\(yùn)動(dòng)學(xué)方程

李瑋侖

（西安建筑科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，陜西西安 710055）

帶異號(hào)電荷兩絕緣小球?qū)π恼龅倪\(yùn)動(dòng)學(xué)方程

李瑋侖

（西安建筑科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，陜西西安 710055）

本文利用分離變量求解微分方程和換元積分法推導(dǎo)出帶異號(hào)電荷的兩絕緣小球發(fā)生對(duì)心正碰的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，從而得以掌握運(yùn)動(dòng)小球在任一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

運(yùn)動(dòng)學(xué)方程；換元積分法；分離變量；異號(hào)電荷；絕緣小球

引言

帶電小球碰撞問(wèn)題是物理教學(xué)中的典型實(shí)例，在傳統(tǒng)的解題方法中通常使用動(dòng)能定理及機(jī)械能守恒定律計(jì)算特定位置小球的速度或勢(shì)能（近似為點(diǎn)電荷）.本文通過(guò)幾種高等數(shù)學(xué)基本計(jì)算方法以牛頓第二定律列寫(xiě)動(dòng)力學(xué)方程為基礎(chǔ)研究討論碰撞問(wèn)題中小球的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程（其中一球固定不動(dòng)）.根據(jù)該問(wèn)題建立坐標(biāo)如圖1：

圖1 兩帶異號(hào)電荷絕緣小球初始位置示意圖

圖1中，設(shè)初始時(shí)刻C、D兩球相距L；半徑均為R；質(zhì)量均為m1.以運(yùn)動(dòng)小球C的初始位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，初速度為v1，帶電量為＋q1（q1＞0）；固定小球D帶電量為－q2（q2＞0）.兩小球所在直線為x軸.

1 碰撞前小球動(dòng)力學(xué)方程及其求解

碰撞前，當(dāng)0＜x＜L時(shí)根據(jù)牛頓第二定律，得C球的動(dòng)力學(xué)方程

用分離變量法求解該微分方程得

解得

令

得到了位移x對(duì)t的微分方程

繼續(xù)對(duì)上式分離變量求解

利用換元積分法求解式（5）的定積分，令

則有式（5）

（積分上下限省略）

則有式（5）

確定積分上下限

將積分上下限代入式（6）得碰撞前小球的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

方程1：

2 碰撞分析

圖2 兩帶電小球發(fā)生碰撞示意圖

碰撞時(shí)，將x＝L－2R代入碰撞前小球的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程（即方程1）與式（4）得

假設(shè)兩小球發(fā)生完全彈性碰撞，又因兩小球均為絕緣小球，所以碰撞后帶電情況無(wú)變化且C球反向初速度v2＝vp.

3 碰撞后小球動(dòng)力學(xué)方程及其求解

圖3 碰撞后小球運(yùn)動(dòng)情況示意圖

碰撞后，當(dāng)0＜x＜L時(shí)根據(jù)牛頓第二定律得

令L－x＝x′，有

得

利用和推導(dǎo)碰撞前C球的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程同樣的換元積分法就可得碰撞后小球的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程（設(shè)為方程2）.

方程2：

4 結(jié)果分析

將x＝0代入碰撞后小球的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程（即方程2）和式（10）得

這顯然符合動(dòng)能定理及功能轉(zhuǎn)換關(guān)系.

當(dāng)已知小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t（t＜tp時(shí)代入方程（1），t＞tp時(shí)代入方程（2））時(shí)，即可確定小球的位置坐標(biāo).通過(guò)式（4）或式（10）（t＜tp時(shí)代入式（4），t＞tp時(shí)代入式（10））又可確定出小球的速度，這樣小球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)就可清楚地掌握了.

5 結(jié)果展望

根據(jù)以上推導(dǎo)得出了碰撞小球的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程從而掌握了發(fā)生此類碰撞時(shí)任一時(shí)刻小球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).然而，點(diǎn)電荷之間相互作用的庫(kù)侖力和兩行星之間相互作用的萬(wàn)有引力具有相似性，并且?guī)靵龆珊腿f(wàn)有引力定律在數(shù)學(xué)表達(dá)式上也有相同的規(guī)律，它們都遵循平方反比定律.那么，不妨這樣考慮：將固定的D球類比為一個(gè)恒星，C球類比為一個(gè)行星，行星在恒星萬(wàn)有引力的作用下以一定的初速度撞向恒星.這樣帶電小球的碰撞問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成了行星碰撞問(wèn)題，可以根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律列出行星的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，再根據(jù)以上介紹的換元積分法和分離變量法就可將這一問(wèn)題搞清楚了，這樣就將以上討論的問(wèn)題和天體物理聯(lián)系在一起了.

［1］ 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué) 第六版（上冊(cè)）［M］.北京：高等教育出版社，2007.193～200

［2］ 吳百詩(shī)，張孝林.大學(xué)物理基礎(chǔ)（下冊(cè)）［M］.北京：科學(xué)出版社，2007.4

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2011－11－21）

李瑋侖，1991年出生，現(xiàn)就讀于西安建筑科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院2009級(jí).