基于加速度的笛卡爾坐標(biāo)系目標(biāo)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)跡模擬

崔威威，姚 遠(yuǎn)，曹德建，劉 碩，鮑鵬飛

(中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司第七二四研究所，南京 211153)

0 引 言

雷達(dá)數(shù)據(jù)處理算法仿真、驗(yàn)證面臨若干問(wèn)題，包括采集數(shù)據(jù)成本高、目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型少、極端運(yùn)動(dòng)目標(biāo)難復(fù)現(xiàn)、目標(biāo)活動(dòng)空間有限、非合作目標(biāo)缺少真值等。這些困難導(dǎo)致目標(biāo)典型運(yùn)動(dòng)處理樣本少，數(shù)據(jù)處理與數(shù)據(jù)融合算法適應(yīng)性測(cè)試、訓(xùn)練和分析空間有限，不能滿足復(fù)雜運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)處理、多平臺(tái)數(shù)據(jù)融合需求，難以實(shí)現(xiàn)處理算法的深入分析和持續(xù)改進(jìn)。目前，點(diǎn)跡仿真領(lǐng)域論文較少，存在運(yùn)動(dòng)模型簡(jiǎn)單的情況。本文為統(tǒng)一描述目標(biāo)運(yùn)動(dòng)、簡(jiǎn)化模型，忽略重力、阻力影響和地球曲率影響，簡(jiǎn)單假設(shè)目標(biāo)僅僅在法向、切向存在加速度值，研究了二維空間不同加速度情況下的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)、目標(biāo)投影變換、雷達(dá)掃描判斷計(jì)算公式。分析表明，本文討論的方法可以輸出高精度的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡。

1 仿真模型

1.1 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程

雷達(dá)目標(biāo)由速度方向、法向加速度方向決定作二維空間運(yùn)動(dòng)，為此根據(jù)加速度情況將目標(biāo)運(yùn)動(dòng)劃分為勻速直線、勻加速、圓周、自由運(yùn)動(dòng)等4類。

1.1.1 勻速直線運(yùn)動(dòng)

目標(biāo)在[0,t]時(shí)間內(nèi)沒(méi)有切向、法向加速度的情況下，即目標(biāo)保持勻速直線運(yùn)動(dòng)，假設(shè)目標(biāo)初始位置是(x0,y0)，目標(biāo)的初始航向是w0，此時(shí)目標(biāo)的位置按照下式計(jì)算：

x=x0+vtcos(w0)，y=y0+vtsin(w0)

1.1.2 勻加速直線運(yùn)動(dòng)

目標(biāo)僅在[0,t]時(shí)間內(nèi)切向上存在加速度，即目標(biāo)保持勻加速直線運(yùn)動(dòng)，此時(shí)目標(biāo)的位置按照下式計(jì)算：

1.1.3 勻速圓周運(yùn)動(dòng)

目標(biāo)在[0,t]時(shí)間內(nèi)僅存在法向加速度，即目標(biāo)保持勻速圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)目標(biāo)的位置按照下式進(jìn)行計(jì)算：

其中，w=a/v，r=v2/a。

1.1.4 目標(biāo)自由運(yùn)動(dòng)

在[0,t]時(shí)間內(nèi)同時(shí)存在法向加速度an>0和切向加速度at>0，那么首先根據(jù)獲得目標(biāo)航向變化率：

其中，w0表示初始航向，航向變化按照下式計(jì)算：

w(t)=arln(v0+att)+w1

考慮速度x、y方向的速度(以y軸為正北)：

以x方向速度作為分析對(duì)象?？紤]到速度積分公式：

因此得到

同樣得到Sy(t)：

為保證飛機(jī)等空中目標(biāo)在完成一系列機(jī)動(dòng)后保持在固定高度運(yùn)動(dòng)，提供一個(gè)標(biāo)記位指示目標(biāo)在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成改平動(dòng)作。為此假定目標(biāo)在1 s完成這個(gè)修正過(guò)程，從而根據(jù)目標(biāo)的姿態(tài)和速度計(jì)算得到一個(gè)附加的加法向加速度描述向量。

1.2 空間變換

假設(shè)目標(biāo)在三維坐標(biāo)系內(nèi)僅受法向和切向加速度影響，那么目標(biāo)在由切向加速度和法向加速度決定的二維平面上運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)過(guò)程由1.1.2～1.1.4描述；為解決三維空間內(nèi)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)位置計(jì)算，需要解決投影變換問(wèn)題。在按照公式計(jì)算目標(biāo)位置后，將目標(biāo)在特定二維空間的軌跡投影到三維空間，完成目標(biāo)實(shí)際位置更新。

為此，定義切向加速度(at,θ,φ)、法向加速度值(an,λ)，其中at∈R、an≥0分別是切向和法向的加速度值；航向角定義為(θ,φ)，θ是和航向與x-y平面的夾角，φ是航向角在xy平面上與x正軸的夾角，在法向加速度為0時(shí)，認(rèn)為目標(biāo)在經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)一定角度后的當(dāng)前相對(duì)位置所在的x-y平面上運(yùn)動(dòng)，要求旋轉(zhuǎn)后的平面與原x-y平面形成等于航向夾角θ。由于認(rèn)為目標(biāo)在由速度方向、法向加速度方向決定二維空間作運(yùn)動(dòng)，因此簡(jiǎn)單定義法向加速度的方向λ為x-y平面逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度。

推導(dǎo)三維投影到二維的變換矩陣：

同時(shí)得到二維～三維的變換矩陣：

1.3 雷達(dá)掃描公式

假設(shè)[t1,t2]時(shí)間內(nèi)雷達(dá)的法線方向是[θ1,θ2]，目標(biāo)相對(duì)于雷達(dá)所在平臺(tái)的方位角是[φ1,φ2]，經(jīng)過(guò)過(guò)零點(diǎn)處理，如果不存在φ2<θ1或者θ2<φ1，那么認(rèn)為目標(biāo)被掃描過(guò)，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)牡螖?shù)可以獲得目標(biāo)被掃描過(guò)的時(shí)間。

假設(shè)雷達(dá)的工作模式為扇掃和環(huán)掃，那么環(huán)掃目標(biāo)的方位計(jì)算為

w=mod(w0+ω(t-t0),360)

其中，w0是雷達(dá)初始法向方位；t0是雷達(dá)延遲開(kāi)機(jī)時(shí)間；ω=2π/T是天線掃描角速度，T是天線周期。

扇掃雷達(dá)的法向首先對(duì)雷達(dá)初始方位w0、最左側(cè)掃描角度wl和最右側(cè)掃描角度wr的掃描范圍做過(guò)零點(diǎn)處理，確保wr>w0>wl，并假設(shè)t0是開(kāi)機(jī)時(shí)間，并定義一個(gè)掃描周期為T，那么

如果目標(biāo)在計(jì)算步長(zhǎng)內(nèi)相對(duì)平臺(tái)的起始結(jié)束角度為[θ1,θ2]，雷達(dá)法線為[θ1,θ2]，如果存在[θ1,θ2]與[θ′1,θ′2]交叉情況，那么認(rèn)為目標(biāo)被雷達(dá)探測(cè)。在目標(biāo)被雷達(dá)探測(cè)到時(shí)，通過(guò)迭代獲得目標(biāo)在被掃描到時(shí)刻的精確位置。

1.4 采樣計(jì)算與迭代次數(shù)

每個(gè)計(jì)算步長(zhǎng)動(dòng)態(tài)劃分為若干采樣時(shí)間段，確保在每個(gè)相鄰的采樣時(shí)間段[t1,t2]內(nèi)目標(biāo)被1個(gè)雷達(dá)僅掃描到1次。因此，計(jì)算步長(zhǎng)不得超過(guò)扇掃雷達(dá)或者環(huán)掃的最短掃描周期，確保計(jì)算步長(zhǎng)內(nèi)不丟失目標(biāo)點(diǎn)跡。如果存在扇掃雷達(dá)在[ts,te]計(jì)算步長(zhǎng)內(nèi)的t′m時(shí)刻完成掃描方向轉(zhuǎn)換，存在環(huán)掃雷達(dá)在t′n掃過(guò)0點(diǎn)，排序后的時(shí)間{t′i}滿足ts

如果判斷[t1,t2]時(shí)間內(nèi)目標(biāo)被掃描過(guò)，默認(rèn)均勻分割時(shí)間進(jìn)行采樣計(jì)算，迭代計(jì)算8次得到輸出的目標(biāo)位置。如果每個(gè)步長(zhǎng)設(shè)為1 s，均勻劃分10次，迭代8次意味著時(shí)間精度達(dá)到εt=O(10-8)，位置數(shù)值誤差εd=O(v(10-8))(v是目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)速度值)。因此，本文提出的方法可輸出高精度的目標(biāo)位置，同時(shí)沒(méi)有增加太多計(jì)算量。

1.5 數(shù)據(jù)處理流程

首先給出目標(biāo)運(yùn)動(dòng)初始狀態(tài)和加速度過(guò)程定義，目標(biāo)分為普通目標(biāo)和雷達(dá)平臺(tái)目標(biāo)。目標(biāo)初始狀態(tài)包括目標(biāo)在三維空間的位置、軸向速度、運(yùn)動(dòng)方向基本信息；加速度過(guò)程分為軸向加速度過(guò)程和法向加速度過(guò)程兩類，每個(gè)加速度過(guò)程狀態(tài)包括加速度類型標(biāo)識(shí)、開(kāi)始時(shí)間、運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)間、加速度值，法向加速度還需要一個(gè)角度參數(shù)來(lái)描述運(yùn)動(dòng)平面與x-y平面的夾角。通過(guò)運(yùn)動(dòng)初始狀態(tài)和加速度向量定義，得到了目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程描述。

其次給出雷達(dá)掃描參數(shù)，包括雷達(dá)工作模式、開(kāi)機(jī)時(shí)間、初始法向方向、掃描周期、探測(cè)距離、探測(cè)仰角范圍、方位誤差、仰角誤差、距離誤差、平臺(tái)時(shí)間誤差、方位精度、仰角精度、距離精度，其中工作模式簡(jiǎn)單分為環(huán)掃和扇掃。每個(gè)雷達(dá)和1個(gè)雷達(dá)平臺(tái)目標(biāo)關(guān)聯(lián)，但1個(gè)雷達(dá)平臺(tái)目標(biāo)可以搭載多個(gè)雷達(dá)。

在完成初始狀態(tài)設(shè)定后，按照給定的計(jì)算步長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算。利用相關(guān)公式分別獲得計(jì)算步長(zhǎng)內(nèi)的目標(biāo)位置信息、天線法向方位信息，進(jìn)而計(jì)算目標(biāo)的相對(duì)雷達(dá)的方位角度、仰角、距離信息。根據(jù)雷達(dá)的仰角范圍、距離范圍、探測(cè)方位范圍進(jìn)行掃過(guò)判斷。如果判定掃過(guò)且目標(biāo)相對(duì)距離在探測(cè)范圍內(nèi)，則進(jìn)行迭代計(jì)算，直到獲得指定精度的目標(biāo)位置；如果判定有點(diǎn)跡輸出，并基于誤差信息修正目標(biāo)的相對(duì)位置(仰角、方位角和距離)和時(shí)間作為輸出的點(diǎn)跡，在完成全部目標(biāo)的掃過(guò)判斷后對(duì)輸出點(diǎn)跡按照時(shí)間進(jìn)行排序。如果需要輸出帶有隨機(jī)誤差的結(jié)果，利用方位精度、仰角精度和距離精度參數(shù)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)修正輸出點(diǎn)跡的方位、仰角和距離。

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

隨意設(shè)置目標(biāo)與平臺(tái)的位置為(12 578 6 421 1 000)、(5 480 3 158 0)。二者皆以10 m/s、60°作為運(yùn)動(dòng)初始狀態(tài)，并都在0～600 s受到10 m/s2的加速度，雷達(dá)周期設(shè)為3 s。那么可以預(yù)測(cè)，所有輸出的點(diǎn)跡的方位、距離、仰角都是一致的，前后兩個(gè)點(diǎn)的時(shí)間間隔為掃描周期3 s。圖1為目標(biāo)的點(diǎn)跡。

圖1 運(yùn)動(dòng)但相對(duì)保持靜止的平臺(tái)與目標(biāo)輸出結(jié)果

可以看出，三維圖中僅僅出現(xiàn)一個(gè)點(diǎn)跡，經(jīng)檢查輸出點(diǎn)跡結(jié)果，600 s內(nèi)共輸出187個(gè)點(diǎn)跡，前后兩個(gè)點(diǎn)跡的時(shí)間差皆為3 s，輸出點(diǎn)跡的時(shí)間、方位角、仰角、距離分別是(0.544262+3k，65.311429，7.294574，7 875.834 749)，k=1,2,…,n。這說(shuō)明了本方法可提供高精度的輸出結(jié)果。

模擬了一個(gè)固定雷達(dá)監(jiān)視飛機(jī)起飛、降落的過(guò)程，得到飛機(jī)的軌跡見(jiàn)圖2。圖2(a)為全局圖，圖2(b)為X-Z視圖，圖 2(c)為X-Y視圖，其中雷達(dá)的周期是1.5 s。

飛機(jī)的切向加速度見(jiàn)表1，飛機(jī)的法向加速度見(jiàn)表2?？梢钥闯?，研究成果可以提供目標(biāo)復(fù)雜運(yùn)動(dòng)過(guò)程仿真。

圖2 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡

表1 飛機(jī)的切向加速度值

表2 飛機(jī)的法向加速度值

3 結(jié)束語(yǔ)

本方法能夠?qū)崿F(xiàn)三維坐標(biāo)系目標(biāo)自由運(yùn)動(dòng)與雷達(dá)掃描仿真，提供高精度的目標(biāo)真值點(diǎn)跡，滿足雷達(dá)數(shù)據(jù)處理需求，具有較高的工程實(shí)踐價(jià)值。目前，本方法并未考慮地球曲率、地球引力、流體阻力等因素對(duì)目標(biāo)軌跡的影響，這是后續(xù)工作需要解決的難題。