咿呀轉轉機運動特性的研究

邢惠焱 陳宗強 陳 靖 劉松芬

(南開大學物理科學學院， 天津 300071)

圖1 咿呀轉轉機[1]

咿呀轉轉機是一種有趣的力學玩具，它可以演示兩個沿著互相垂直方向的正弦振動合成的利薩如圖軌跡。其主體木棒上有一系列的凹槽，在其末端有一螺旋槳，圖1中展示了咿呀轉轉機的模型。如果用另一根較小的滑動桿劃過凹槽，則螺旋槳會開始旋轉。

人們很早就對于螺旋槳旋轉以及螺旋槳和木棒的耦合運動進行了相關的研究。Clifford和Bishop在1937年首先提出一個木棒末端的釘子在兩個正交方向力的作用下的運動軌跡為一個橢圓，釘子的運動可帶動螺旋槳旋轉[2]。1993年東南大學的葉善專等人也曾提出過類似理論[3]。1960年，Caughey研究了以呼啦圈為代表的一類參數(shù)振動系統(tǒng)指出了支點作簡諧振動的單擺與呼啦圈系統(tǒng)的等效性，呼啦圈的運動與咿呀轉轉機的運動相似[4]。Seyranian和Belyakov 在2010年從牛頓力學的角度對呼啦圈的運動作了系統(tǒng)的研究[5]，發(fā)現(xiàn)當運動員的腰以橢圓為軌跡進行運動時，呼啦圈可以穩(wěn)定地旋轉，同時這一橢圓的軌跡可以具有相位差。James Wilson曾在1997年指出對于咿呀轉轉機這一完整的系統(tǒng)其運動滿足參數(shù)共振(PSR)，即當中心軌道的旋轉頻率為某一定值時，螺旋槳有一個穩(wěn)定的數(shù)值相等旋轉角速度[6]。上述研究的理論大都假設釘子與螺旋槳始終保持接觸。 Martin Marek 等人的最新研究則認為，螺旋槳與釘子之間的接觸為瞬時碰撞，且釘子的橢圓運動并非為螺旋槳旋轉的必要條件，當釘子的平均加速度為重力加速度g時，螺旋槳穩(wěn)定旋轉的角速度最大[7]。咿呀轉轉機這一問題在第30屆國際青年物理學家錦標賽(30stIYPT)中被提出[1]，題目描述如下：咿呀轉轉機是一種力學玩具，它由一個簡單的木棒(后稱為滑動桿)和一個具有一系列凹槽的木棒組成，在木棒末端有一個螺旋槳，當滑動桿劃過凹槽時，螺旋槳開始旋轉，解釋這一現(xiàn)象并研究相關參數(shù)對它的影響。

Clifford和Bishop[2]指出帶凹槽木棒上釘子的運動軌跡是一個利薩如圖[8]，同時 Caughey的理論被用來描述螺旋槳的運動。如果帶凹槽木棒在整體彈性形變的基礎上在驅動力的作用下做不完整諧振，螺旋槳的真實運動與呼啦圈的運動不完全相同，其旋轉的原因是碰撞時橫向摩擦力沖量對螺旋槳角動量有貢獻。

1 咿呀轉轉機

操作咿呀轉轉機時，雙手各執(zhí)一根木棒，這會引入非常大的誤差。為了研究的準確性，我們設計了如圖2的實驗裝置，采用小型臺鉗將帶凹槽木棒的一端完全固定，采用手來控制滑動桿的劃動，并盡量控制壓力和劃動速度的恒定。利用光電門測定木棒滑動的速度，利用高速攝像機拍攝螺旋槳的運動情況。

圖2 咿呀轉轉機實驗裝置

使用tracker軟件追蹤釘子的運動軌跡，如圖3中可以得出釘子的位置點沿y軸的分布，其原因是隨著施力位置不斷遠離固定點，彎矩變大造成釘子位移增大。同時還得出：(1) 將滑動桿由小型臺鉗處劃至帶凹槽木棒末端(即螺旋槳處)時，釘子沿逆時針方向運動；(2)當滑動桿從帶凹槽木棒末端劃至小型臺鉗時，釘子順時針運動；(3) 當滑動桿垂直于凹槽平面劃動時，釘子的運動軌跡為一條直線。

圖3 當劃動速度保持25m/s左右時，釘子的運動軌跡。(a) 滑動桿由小型臺鉗處劃至木棒末端時，釘子沿逆時針方向運動； (b) 滑動桿從木棒末端劃至小型臺鉗時，釘子沿順時針方向運動； (c) 滑動桿垂直于凹槽所在平面劃動時，釘子的軌跡為一條直線

圖4 在右手系中的咿呀轉轉機模型，帶凹槽木棒沿z軸放置，滑動桿對帶凹槽木棒施加的力沿y方向，木棒受力點距離點O的距離為a，大小為F，帶凹槽木棒的形變角度為θ

2 模型建立

通常情況下，螺旋槳旋轉有兩種方式，其一是將滑動桿旋轉一定角度，沿同一個方向劃動；其二是用手指和滑動桿同時劃過凹槽，且手指和滑動桿的施力方向相互垂直。下面以第一種劃動方式為例進行分析。如圖4所示，以釘子為原點建立右手系滑動桿保持在xOz平面內，并且其與x軸成一定角度。它使帶凹槽木棒受到兩種作用：沿y方向的正壓力和沿x,y兩個方向的同頻率振動。下面分別對兩種作用進行分析。

2.1 帶凹槽木棒的形變

實驗中發(fā)現(xiàn)：在木棒劃過凹槽時會對帶凹槽木棒施加壓力，使之形變。由胡克定律得木棒的應變與應力的大小成正比，并假定木棒質量均勻，彈性模量處處相同且撓度較小，這符合微小形變的實際情況。

如圖4所示，令帶凹槽木棒長度為l，沿y軸方向施加力F，通過牛頓第二定律和角動量守恒定律，得到力平衡方程和力矩平衡方程為(略去高階小量)：

其中，ρ為木棒密度;A為截面積;Q為橫截面上的剪力;M為截面彎矩，m為單位長度外力矩，代入4個邊界條件：

聯(lián)立式(1)～式(6)得帶凹槽木棒的形變?yōu)?/p>

(7)

其中，I=πd4/64;d為木棒直徑。從圖4可知，此形變?yōu)閥方向的形變，因此得到，帶凹槽木棒在y方向的形變遠大于在x方向的形變。

2.2 釘子的運動軌跡

由文獻[2]和文獻[6]，凹槽末端釘子的運動是一個簡諧振動。通過高速攝像機觀察滑動桿劃過凹槽的運動，發(fā)現(xiàn)滑動桿在劃過每一個凹槽時，會與帶凹槽木棒在兩個正交的方向上發(fā)生碰撞，這種周期性的碰撞會激勵釘子使其振動。當帶凹槽木棒受到一次碰撞達到最大形變之后會向平衡位置運動，由于有滑動桿的約束，在平衡位置附近會發(fā)生下一次碰撞?？梢哉J為在每一個“小周期”，即劃過單個凹槽的時間間隔內，釘子的振動近似為簡諧振動。圖5為帶凹槽木棒在一個方向上的振動示意圖。

釘子的運動軌跡為

此即為帶凹槽木棒末端的運動軌跡。設力F及單位外力矩m為零，將其代入式(1)和式(2)，代入邊界條件：Y(0)=0,Y′(0)=0,Y″(l)=0,Y?(l)=0，解得帶凹槽木棒的一階主振型為

(10)

其中，r1=(sinβ1l-sinhβ1l)/(cosβ1l-coshβ1l)；β1l=1.875；C1；β1；r1皆為常數(shù)。

同理可得x方向的一階主振型為

(11)

圖5 帶凹槽木棒在一個方向上的振動示意圖

故在每個“小周期”內，釘子作不完整的橢圓運動。兩方向振動相位差φ影響了橢圓軌跡的傾斜程度，也會造成螺旋槳旋轉方向的不同。木棒劃過凹槽時，兩個方向的碰撞都同時發(fā)生，因此φ的兩個分立的取值對應于螺旋槳的兩個旋轉方向。

2.3 螺旋槳的運動

2.3.1 螺旋槳在實際狀態(tài)下的運動

通過實驗發(fā)現(xiàn)，在木棒劃過凹槽的階段，釘子會劇烈振動，而螺旋槳與釘子之間并非始終保持接觸，而是會發(fā)生高頻率的碰撞，這使得定量研究這一現(xiàn)象較為困難。設μ為螺旋槳與孔內壁之間的摩擦系數(shù)，α為釘子與孔壁碰撞前，二者相對速度方向與孔壁法線方向的夾角。碰撞中，螺旋槳受到的沖量由兩個力貢獻：橫向的摩擦力FN=μFT和徑向的正壓力FT。摩擦力沖量使螺旋槳的角動量增加，轉速加快，是轉動的動力來源。螺旋槳兩方向動量的增量分別為

引入釘子的最大加速度an=4π2Anω，An為釘子的振幅，ω為釘子的旋轉頻率，由參考文獻[7]可知，螺旋槳能夠達到最大角速度的條件為：(1)當an較小時，碰撞頻率較低且二者相對速度較小，加速作用不明顯；(2)當an較大時，釘子的平均速度大于螺旋槳內側的旋轉線速度，碰撞時摩擦沖量使螺旋槳減速，同時阻力矩增加，因此存在一個使轉速最高的an值。

圖6(a) 釘子與螺旋槳的受力示意圖； (b) 以O為中心的虛線為釘子的運動軌跡，O′為釘子的幾何中心，以C為圓心的實現(xiàn)為螺旋槳幾何中心繞釘子(以釘子為參考系)的運動軌跡

2.3.2 純滾條件下螺旋槳的轉動

純滾模型可以近似表示螺旋槳旋轉時發(fā)生的真實物理過程。螺旋槳的轉軸作橢圓運動，帶動槳葉旋轉，其物理機制類似于呼啦圈的運動。如圖6(b)，虛線為釘子的運動軌跡，釘子的中心位于O′,而螺旋槳上圓孔的圓心位于C點，r和R分別為釘子和孔的半徑。如圖6(a)，以釘子為參考系，得到兩個方向上的轉矩平衡方程和牛頓第二定律方程：

其中,β為阻尼系數(shù)；FN為靜摩擦力；θ為螺旋槳相對于釘子的轉角；φ為螺旋槳相對于豎直方向的轉角；FT為正壓力；Ic為螺旋槳繞質心的轉動慣量；m為螺旋槳質量。對于純滾模型，有如下幾何關系：

從式(14)～式(16)，可以得到螺旋槳運動的微分方程為

(17)

其中，γ=β/(IC+mR2)；A0=(ω2a0)/(IC+mR2)；B0=(ω2b0)/(IC+mR2)；IC=[mab(a2+b2)-6πmR4]/[12(ab-πR2)]；a0、b0分別為釘子運動軌跡中的半長軸和半短軸；a、b分別為螺旋槳的寬和長；ω為釘子的運動頻率。該理論假設釘子與螺旋槳之間為純滾動，不發(fā)生滑動和脫離。螺旋槳不脫離釘子的條件為FN>0，即，壓力恒為正值，同時該旋轉滿足以下條件：

(18)

從式(17)中得到參數(shù)：γ,ω和r/R。為了研究相關參數(shù)對螺旋槳旋轉的影響，我們進行了相關計算和實驗。

3 實驗

在實驗部分，首先使用tracker軟件研究了釘子的軌跡,并研究螺旋槳角速度的變化趨勢及相關參數(shù)的影響，改變相關參數(shù)進行了實驗研究。

3.1 滑動桿勻速運動的驗證

圖7(a) 滑動桿劃過凹槽一次時的相對響度，施加的壓力是近似恒定不變的； (b) 滑動桿劃過兩個凹槽的時間間隔和凹槽數(shù)的關系

手執(zhí)滑動桿滑動可以達到一個近似恒定的速度，記錄下每次滑動時碰撞的音頻并使用Adobe Audition進行分析。每次碰撞對應一個響度-時間圖像上的響度峰。從圖7(a)中可以看出每一個響度峰之間的間隔是均勻的，測量各個響度峰之間的時間間隔，即可測得劃動木棒的速度。經(jīng)過音頻分析可得，證實可以將手的速度控制在(25.00?0.39)m/s，即，對帶凹槽木棒施加的力以及滑動桿移動的速度均為恒定的。對于數(shù)據(jù)采集，使用800幀/s的高速攝像機沿z軸方向正對釘子記錄其位置，使用tracker軟件來測量并分析釘子的軌跡。在每一種旋轉方向下，隨機選取滑動桿劃過凹槽一次的音頻來進行分析。得到的結果如圖7(b)。

3.2 螺旋槳的運動

為了探究相關參數(shù)(如：阻尼系數(shù)、碰撞頻率、半徑比)對螺旋槳運動的影響進行了相關實驗，并且使用Mathematica計算螺旋槳在特定情況下的旋轉角速度。

3.2.1 滑動桿的角頻率

通過改變凹槽間隔改變滑動桿和凹槽的碰撞頻率，設置5組實驗，凹槽間隔由2～10mm(如圖8)，保證滑動桿的速度恒定。選擇不同角頻率，進行5組實驗。同時使用光電門計時器測量螺旋槳旋片兩端分別經(jīng)過光電門的時間間隔，以此間接計算螺旋槳角速度。最后使用Origin分析得到的數(shù)據(jù)，如圖9(a)，實驗條件如表1。結果是，螺旋槳角速度正比于滑動桿與凹槽碰撞的角頻率。

我們計算了螺旋槳角速度與滑動桿角頻率的關系。螺旋槳質量m為1.00g，孔徑R為3.20mm，螺旋槳寬和長a、b分別為1.00cm和7.00cm，釘子的振幅a0、b0同為2.00mm，令阻尼系數(shù)γ為零?？梢缘玫饺鐖D9(b)的結果：圖線的斜率代表螺旋槳角速度，當其為常數(shù)時，螺旋槳的旋轉是穩(wěn)定的；螺旋槳達到穩(wěn)定旋轉所需要的時間與角頻率成反比，其角速度與滑動桿角頻率成正比。因此實驗與基于理論的計算結果是互相吻合的。

圖8 編號從(1)到(5)的帶凹槽木棒，其凹槽間隔分別為2mm,4mm,6mm,8mm和10mm

圖9(a) 改變凹槽間距，分別設置為2mm,4mm,6mm,8mm和10mm，同時控制手的移動速度約為25m/s得到如圖的實驗結果，螺旋槳旋轉角速度與木棒和凹槽碰撞的角頻率成正比； (b) 當ω(即，滑動桿與凹槽碰撞的角頻率)分別為10、50、100時螺旋槳轉過的角度隨時間的變化

凹槽間距/mm螺旋槳角速度/(rad·s-1)2732.314339.336201.208148.4410106.39

3.2.2 半徑比

使用不同直徑的鉆頭處理螺旋槳同時控制釘子的孔徑基本相同，以此控制半徑比(如圖10)；在5組實驗中分別選用不同的半徑比，并且每組實驗進行5次；使用光電門計時器得到螺旋槳旋轉角速度，使用Origin分析得到的數(shù)據(jù)，實驗結果如圖11(a)，實驗條件如表2；同時從實驗數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)螺旋槳旋轉角速度反比于半徑比。

圖10 編號從(1)到(5)的螺旋槳，其小孔半徑與釘子半徑的半徑比分別為0.30,0.34,0.44,0.61,0.72

圖11(a) 通過改變螺旋槳孔徑控制半徑比分別為 0.30,0.34,0.44,0.61,0.72,同時控制手的移動速度約為25m/s。圖中為實驗點，得到的結果顯示螺旋槳旋轉角速度反比于半徑比； (b) 令半徑比分別為0.2,0.5,0.8,并且控制其他條件相同，得到螺旋槳旋轉角度隨時間的變化。

半徑比螺旋槳角速度/(rad/s)0.30556.000.34501.340.44324.150.61206.310.72105.27

接下來進行計算得到理論上螺旋槳角速度與半徑比的關系。令螺旋槳質量m為1.00g，滑動桿角頻率為60π(rad/s)，螺旋槳的寬和長a、b分別為1.00cm和7.00cm，釘子的振幅a0、b0同為2.00mm，令阻尼系數(shù)γ為零。得到如圖11(b)的計算結果：螺旋槳旋轉角速度與半徑比成反比。

3.2.3 阻尼系數(shù)

阻尼來源于空氣阻力和螺旋槳孔徑與釘子之間的摩擦，可以通過在螺旋槳孔壁和釘子之間滴加植物油來改變其阻尼系數(shù)。當阻尼系數(shù)很小時,螺旋槳會達到一個穩(wěn)定旋轉的狀態(tài)。使用tracker軟件得到螺旋槳的角度隨時間的變化，其中一個穩(wěn)定旋轉的狀態(tài)如圖12。

圖12 螺旋槳旋轉過的角度與時間的關系，在螺旋槳孔壁和釘子接觸點添加植物油潤滑

接下來通過計算得到螺旋槳角速度與阻尼系數(shù)的關系。令螺旋槳質量m為1.00g，螺旋槳半徑R為3.20mm，滑動桿角頻率為60π(rad/s)；螺旋槳的寬和長a、b分別為1.00cm和7.00cm，釘子的振幅a0、b0同為2.00mm。得到的結果顯示較小的阻尼系數(shù)下可以得到穩(wěn)定的旋轉，但該旋轉角速度低于無阻尼時的情況；同時，當γ增加到1.9×105左右的臨界值時，其轉角開始出現(xiàn)隨時間的波動，旋轉開始不穩(wěn)定；若γ繼續(xù)增大，則波動增長以使得轉動難以進行，這是因為驅動力矩做功不足以抵消阻力矩做的負功。計算結果如圖13。

圖13 螺旋槳旋轉角度和時間的關系，理論計算結果顯示，阻尼系數(shù)很小時，螺旋槳旋轉是穩(wěn)定的，臨界阻尼系數(shù)為1.9×105(a) 阻尼系數(shù)很小時，可以得到穩(wěn)定的旋轉； (b) 在臨界阻尼系數(shù)下，螺旋槳的旋轉開始變得不穩(wěn)定； (c) 阻尼系數(shù)增大時，旋轉始終不穩(wěn)定

4 結語

本文針對帶凹槽木棒及滑動桿和螺旋槳組成的咿呀轉轉機，使用動力學方程(牛頓第二定律和角動量定律)研究了帶凹槽木棒的形變和釘子的運動軌跡。從理論和實驗兩個方面驗證了釘子的

運動軌跡為橢圓，當阻尼系數(shù)較小時螺旋槳可以達到穩(wěn)定的旋轉，同時當滑桿的角頻率增加、釘子與螺旋槳半徑比減小時，螺旋槳的旋轉角速度會增大。