費(fèi)馬原理在旋轉(zhuǎn)二次曲面理想成像中的應(yīng)用
——主軸上物點(diǎn)

萬(wàn)建杰 趙鑫婷

(西北師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

費(fèi)馬原理即光沿光程為極值的路徑傳播，其數(shù)學(xué)公式為

(1)

筆者在文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]中給出了直接應(yīng)用費(fèi)馬原理推導(dǎo)得到主軸外物點(diǎn)經(jīng)過(guò)球面界面反射和折射的會(huì)聚光線方程和發(fā)散光線方程的一般過(guò)程。另外，文獻(xiàn)[3]研究了旋轉(zhuǎn)二次曲面的成像公式，具體推導(dǎo)了凸曲面折射的會(huì)聚光線方程及相應(yīng)的物像公式，然而并未對(duì)會(huì)聚光線和發(fā)散光線作出區(qū)分。

本文將從新笛卡爾坐標(biāo)系[4，5]出發(fā)，直接應(yīng)用費(fèi)馬原理，討論主軸上物點(diǎn)經(jīng)旋轉(zhuǎn)二次曲面反射和折射過(guò)程中產(chǎn)生的會(huì)聚光線和發(fā)散光線。

1 主軸上物點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)二次曲面反射

1.1 凹曲面反射的會(huì)聚光線

(2)

由于

(3)

圖1 主軸上物點(diǎn)的凹曲面反射

(4)

光程可以寫成

(5)

先將式(5)對(duì)φ求導(dǎo)，即

(6)

(7)

根據(jù)費(fèi)馬原理，要使式(7)對(duì)任意φ都成立，只需

(8)

考慮到

即

(9)

或

(10)

此即主軸上物點(diǎn)凹曲面反射的會(huì)聚光線方程，該結(jié)果與文獻(xiàn)[3]的式(17)略有不同。另外，當(dāng)偏心率e=0時(shí)，凹曲面反射的會(huì)聚光線方程退化為凹球面反射的會(huì)聚光線方程[1, 4，5]。

1.2 凸曲面反射的發(fā)散光線

(11)

由于

(12)

圖2 主軸上物點(diǎn)的凸曲面反射

(13)

則

(14)

先將式(14)對(duì)φ求導(dǎo)，即

(15)

(16)

根據(jù)費(fèi)馬原理，要使式(16)對(duì)于任意φ都成立，只需

(17)

或

(18)

此即主軸上物點(diǎn)經(jīng)凸曲面反射的發(fā)散光線方程?？梢钥闯觯摲匠膛c主軸上物點(diǎn)經(jīng)凹曲面反射的會(huì)聚光線方程式(9)或式(10)不同。另外，當(dāng)偏心率e=0時(shí)，凸曲面反射的發(fā)散光線方程退化為凸球面反射的發(fā)散光線方程[2]。

1.3 旋轉(zhuǎn)二次曲面反射的理想成像

1) 凹曲面鏡會(huì)聚光線的理想成像

在近軸光線條件下φ很小，因此

代入式(10)可得

(22)

即

(23)

上式即旋轉(zhuǎn)二次曲面反射的實(shí)像物像公式。

2) 凸曲面鏡發(fā)散光線的理想成像

在近軸光線條件下φ很小，因此

代入式(18)可得

(27)

即

(28)

上式即旋轉(zhuǎn)二次曲面反射的虛像物像公式，在新笛卡爾坐標(biāo)系中的物像公式(27)與實(shí)像物像公式(22)完全相同?？梢钥闯?，當(dāng)偏心率e=0時(shí)，式(22)和式(27)即成為球面界面反射的物像公式[1，2,4，5]。當(dāng)e=1時(shí)，可得出旋轉(zhuǎn)拋物面反射的物像公式，焦點(diǎn)恰好是拋物面頂點(diǎn)O的曲率中心C。

2 主軸上物點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)二次曲面折射

2.1 凸曲面折射的會(huì)聚光線

(29)

圖3 主軸上物點(diǎn)的凸曲面折射

由于

則

(32)

先將式(32)對(duì)φ求導(dǎo)，即

(33)

(34)

根據(jù)費(fèi)馬原理，要使式(34)對(duì)任意φ都成立，只需

(35)

或

(36)

此即主軸上物點(diǎn)凸曲面折射的會(huì)聚光線方程，與文獻(xiàn)[3]的式(5)一致。當(dāng)偏心率e=0時(shí)，凸曲面折射的會(huì)聚光線方程退化為凸球面折射的會(huì)聚光線方程[1, 4，5]。

2.2 凹曲面折射的發(fā)散光線

圖4 主軸上物點(diǎn)的凹曲面折射

(37)

其中，p為半正焦弦。由于

光程可以寫成

(40)

先將式(40)對(duì)φ求導(dǎo)，即

(41)

(42)

根據(jù)費(fèi)馬原理，要使式(42)對(duì)任意φ都成立，只需

(43)

即

(44)

或

(45)

此即主軸上物點(diǎn)經(jīng)凹曲面折射的發(fā)散光線方程，可以看出，該方程與主軸上物點(diǎn)經(jīng)凸曲面折射的會(huì)聚光線式(35)或式(36)明顯不同。另外，當(dāng)偏心率e=0時(shí)，凹曲面折射的發(fā)散光線方程退化為凹球面折射的發(fā)散光線方程[2]。

2.3 旋轉(zhuǎn)二次曲面折射的理想成像

1) 凸曲面折射會(huì)聚光線的理想成像

在近軸光線條件下φ很小，因此

代入式(36)可得

(49)

即

(50)

上式即旋轉(zhuǎn)二次曲面折射的實(shí)像物像公式。

2) 凹曲面折射發(fā)散光線的理想成像

在近軸光線條件下φ很小，因此

代入式(45)可得

(54)

即

(55)

上式即旋轉(zhuǎn)二次曲面折射的虛像物像公式。可以看出，在新笛卡爾坐標(biāo)系中，旋轉(zhuǎn)二次曲面折射的實(shí)像和虛像物像公式具有相同的形式。另外，當(dāng)偏心率e=0時(shí)，式(49)和式(54)退化為球面界面折射的物像公式[1-2,4-5]。

3 總結(jié)

本文運(yùn)用費(fèi)馬原理直接推導(dǎo)得到了主軸上物點(diǎn)經(jīng)旋轉(zhuǎn)二次曲面反射和折射過(guò)程中產(chǎn)生的會(huì)聚光線和發(fā)散光線滿足的幾何關(guān)系，然后在近軸條件下得出旋轉(zhuǎn)二次曲面的物像公式。結(jié)果表明凹曲面反射的會(huì)聚光線和凸曲面反射的發(fā)散光線滿足不同的光線方程，凸曲面折射的會(huì)聚光線和凹曲面折射的發(fā)散光線也滿足不同的光線方程。然而，在近軸條件下反射過(guò)程的(實(shí)像和虛像)物像公式和折射過(guò)程的(實(shí)像和虛像)物像公式在新笛卡爾坐標(biāo)系中都分別具有統(tǒng)一的形式。特別地，當(dāng)偏心率e=0時(shí)，旋轉(zhuǎn)二次曲面退化為球面界面，相關(guān)方程也都退化為球面界面的光線方程和物像公式。

另外，根據(jù)文獻(xiàn)[1,2,4,5]可以看出，當(dāng)n′=-n時(shí)，凹球面折射發(fā)散光線方程變?yōu)榘记蛎娣瓷鋾?huì)聚光線方程，而凸球面折射會(huì)聚光線方程變?yōu)橥骨蛎娣瓷浒l(fā)散光線方程，并且球面折射物像公式也會(huì)變成球面反射物像公式。同理，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于旋轉(zhuǎn)二次曲面而言，當(dāng)n′=-n時(shí)，凹曲面折射發(fā)散光線方程變?yōu)榘记娣瓷鋾?huì)聚光線方程，而凸曲面折射會(huì)聚光線方程變?yōu)橥骨娣瓷浒l(fā)散光線方程，并且旋轉(zhuǎn)二次曲面折射物像公式也變成相同曲面的反射物像公式。