問(wèn)題促發(fā)思維，復(fù)習(xí)水到渠成
——“一元二次方程的復(fù)習(xí)”的教學(xué)與設(shè)計(jì)

☉浙江省寧波市海曙區(qū)田莘耕中學(xué) 姚立婧

章末復(fù)習(xí)課作為一章的結(jié)尾，必須促成學(xué)生思維的自發(fā)點(diǎn)，讓學(xué)生自己梳理知識(shí)框架，自然地整理本章所要掌握的知識(shí)點(diǎn)、需要解決的主要問(wèn)題、滲透的思想方法，以及自我存在的問(wèn)題等，這樣才能改變以往復(fù)習(xí)課中以“練”帶“引”、以“題”帶“思”的常規(guī)復(fù)習(xí)方式，讓復(fù)習(xí)水到渠成.本文以“一元二次方程的復(fù)習(xí)”為例，聚焦問(wèn)題引領(lǐng)，探索復(fù)習(xí)課的自然生成.

一、課例呈現(xiàn)

環(huán)節(jié)1：引入課題

活動(dòng)1：出現(xiàn)題目“一元二次方程的復(fù)習(xí)”（PPT）.

師：同學(xué)們，數(shù)學(xué)是思維的體操，而思維是由質(zhì)疑和問(wèn)題開(kāi)始的，大家看這張PPT，猜測(cè)一下老師會(huì)從哪里入手來(lái)復(fù)習(xí)一元二次方程？

生：（齊）一元二次方程的定義.

師：那定義是？

生：（齊）①方程兩邊都是整式；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

環(huán)節(jié)2：鞏固一元二次方程的定義

活動(dòng)2：請(qǐng)結(jié)合定義將下面不完整的題目設(shè)計(jì)完整.

下列方程中是一元二次方程的是（）.

師：結(jié)合定義觀察，哪些是一元二次方程？若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

生1：A不是，等式的右邊是分式，不符合定義.

生2：B不是，方程展開(kāi)后為x2+6x+8=x2，x2左、右兩邊抵消，所以是一元一次方程.

生3：C是.

生4：我反對(duì)，C沒(méi)有明確a是否為0，因此不能確定.

師：（追問(wèn)）那b、c呢？

生：（歸納）判定一個(gè)方程是否是一元二次方程，要根據(jù)定義，特別要注意二次項(xiàng)系數(shù)a≠0，與b、c的值無(wú)關(guān).

師：能在D選項(xiàng)補(bǔ)充一個(gè)一元二次方程嗎？

話音剛落，學(xué)生相繼舉手，教師請(qǐng)其中的四名上黑板寫(xiě)出他們的一元二次方程.四個(gè)一元二次方程分別是：①x2=1；②；③2x2+6x=1；④x2+x+1=0.

環(huán)節(jié)3：鞏固一元二次方程的解法

活動(dòng)3：選擇合適的方法完成上述四個(gè)方程.

四個(gè)學(xué)生繼續(xù)解答自己所列方程，其余學(xué)生同時(shí)完成這四個(gè)方程.

師：（追問(wèn)）你選擇什么方法解這個(gè)方程？

生：（歸納）①是形如x2=a（a≠0）的方程，用直接開(kāi)方法；②是形如A·B=0的方程，用因式分解法；③可以化成二次項(xiàng)系數(shù)是1的一元二次方程，然后用配方法，也可以用公式法，公式法是“萬(wàn)能方法”；④可用配方法，得出，無(wú)解.

師生細(xì)細(xì)聆聽(tīng)，個(gè)別學(xué)生訂正修改.

師：實(shí)際上是通過(guò)“降次”的方法，把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程來(lái)求解.

師：（追問(wèn)）對(duì)于④，不解方程，能否判定它無(wú)解？

生5：可以.用根的判別式Δ.Δ=b2-4ac=12-4×1×1=-3＜0，無(wú)解.

師：你能概括根的判別式和一元二次方程的根的關(guān)系嗎？

生6：b2-4ac＞0?方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

b2-4ac=0?方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

b2-4ac＜0?方程ax2+bx+c=0（a≠0）沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

生7：一元二次方程的根與系數(shù)也有關(guān)系：

如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根，那么

教師滿意地點(diǎn)頭，同時(shí)指出生7所說(shuō)的內(nèi)容是書(shū)本上的選學(xué)內(nèi)容，學(xué)有余力的學(xué)生可以嘗試掌握！

環(huán)節(jié)4：鞏固一元二次方程的根的判別式與根的關(guān)系

活動(dòng)4：嘗試用一元二次方程的根的判別式與根的關(guān)系編一道試題.

學(xué)生紛紛嘗試，來(lái)黑板上展示他們編寫(xiě)的試題.以下選取有代表性的試題：

①4x2-4x+3=0（不解方程求方程根的情況）；

②x2-（k+3）x+k=0的根的情況；

③kx2+2x-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍.

④若α、β是一元二次方程3x2+2x-9=0的兩根，則的值是多少？

教師驚喜于學(xué)生的表現(xiàn)，他們出的試題涵蓋了這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的方方面面.

師：大家出的試題很棒！現(xiàn)在請(qǐng)大家說(shuō)一說(shuō)以上四題的解題思路及注意點(diǎn).

生8：①②③差不多，只要算一下根的判別式“Δ”就行.對(duì)于④，先把通分，得到然后用公式就能算出答案.

生9：③有陷阱，要分類(lèi)討論：k=0，k≠0.

生10：③雖然有陷阱，但這個(gè)題不用分類(lèi)討論，因?yàn)轭}目已經(jīng)指出“有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”，所以它肯定是一元二次方程，因此k≠0.

師：（追問(wèn)）能否把這個(gè)題改編一下，讓它需要分類(lèi)討論？

生11：只要把③中“有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”改成“有實(shí)數(shù)根”就行.

師：限于時(shí)間關(guān)系，課堂上就不完成具體解答了，請(qǐng)同學(xué)們課后完成解答過(guò)程.

環(huán)節(jié)5：鞏固一元二次方程的應(yīng)用

活動(dòng)5：數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)于生活，那么一元二次方程又能幫助我們解決怎樣的實(shí)際問(wèn)題呢？

生12：銷(xiāo)售問(wèn)題，增長(zhǎng)率問(wèn)題，面積問(wèn)題，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題……

師：你能用一元二次方程編一個(gè)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題嗎？

學(xué)生再次嘗試，合作完成此題，以下選取一組有代表性的試題：

增長(zhǎng)率問(wèn)題：華為手機(jī)發(fā)展迅速，憑借著強(qiáng)大的科研能力和全面發(fā)展的戰(zhàn)略，目前已經(jīng)穩(wěn)坐手機(jī)廠商第一的位置，據(jù)統(tǒng)計(jì)，2017年底銷(xiāo)售量為2億臺(tái)，預(yù)測(cè)到2019年底，銷(xiāo)售量可以達(dá)到2.88億臺(tái)，求平均每年的增長(zhǎng)率是多少.

銷(xiāo)售問(wèn)題：某商場(chǎng)銷(xiāo)售一批華為手機(jī)，平均每天可出售30臺(tái)，每臺(tái)賺500元，為擴(kuò)大銷(xiāo)售，增加盈利，盡量減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定降價(jià)銷(xiāo)售，如果每臺(tái)手機(jī)每降100元，商場(chǎng)平均每天可多售2臺(tái)，若商場(chǎng)平均每天要賺8800元，手機(jī)應(yīng)降價(jià)多少元？

面積問(wèn)題：為了配合新款的華為手機(jī)，外包裝廠重新生產(chǎn)了它的盒子.現(xiàn)準(zhǔn)備在一張長(zhǎng)40cm、寬25cm的長(zhǎng)方形硬紙板上，裁去角上四個(gè)小正方形之后，折成如圖所示的無(wú)蓋紙盒（蓋子另外設(shè)計(jì)，圖略）.若紙盒的底面積是450cm2，則紙盒的高是多少？

教師再次肯定學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力，歸納：?jiǎn)栴}情境—建立模型—模型解答—回歸實(shí)際情境.

環(huán)節(jié)6：梳理一元二次方程知識(shí)脈絡(luò)

活動(dòng)6：嘗試整理本章的知識(shí)框架.

學(xué)生歸納、補(bǔ)充整理得到整章的思維導(dǎo)圖.

二、課例反思

怎樣的問(wèn)題引領(lǐng)才能促成學(xué)生思維的觸發(fā)點(diǎn)？

1.問(wèn)題的設(shè)計(jì)建立在學(xué)生原認(rèn)知的基礎(chǔ)之上.

“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，有了問(wèn)題，思維才有方向；有了問(wèn)題，思維才有動(dòng)力.”因此，如何設(shè)計(jì)問(wèn)題對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的展開(kāi)和數(shù)學(xué)思維的促發(fā)有極其重要的意義.

活動(dòng)1中，教師出示課題“一元二次方程的復(fù)習(xí)”引發(fā)學(xué)生思考，基于學(xué)生對(duì)本單元復(fù)習(xí)的疑問(wèn)點(diǎn)，以學(xué)生的真實(shí)問(wèn)題為目標(biāo)引領(lǐng)，回顧一元二次方程的概念，由問(wèn)而思，引發(fā)學(xué)生的思維發(fā)展，激發(fā)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí).

活動(dòng)2中，教師創(chuàng)設(shè)基于學(xué)生思考空間的問(wèn)題情境，學(xué)生通過(guò)對(duì)一元二次方程定義的深刻理解，分享自己的解題經(jīng)驗(yàn)，暴露自己的解題障礙，在一問(wèn)一答及辨析中凸顯問(wèn)題的矛盾點(diǎn)，再一次深刻理解一元二次方程的定義，并就自己的理解列出符合定義的一元二次方程.學(xué)生親歷知識(shí)形成的內(nèi)在聯(lián)系及蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中“觀察—理解—辨析—建構(gòu)”的認(rèn)知過(guò)程.

2.問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)設(shè)置在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”

問(wèn)題能驅(qū)動(dòng)學(xué)生思維，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)而有深度地學(xué)習(xí)，因此問(wèn)題設(shè)計(jì)應(yīng)始終以學(xué)生為本，設(shè)置的起點(diǎn)應(yīng)在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū).

活動(dòng)3以活動(dòng)2為起點(diǎn)，順應(yīng)學(xué)生思維發(fā)展，打破常規(guī)復(fù)習(xí)課先復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)后解題的復(fù)習(xí)策略，變“被動(dòng)”為“主動(dòng)”，激發(fā)學(xué)生的復(fù)習(xí)欲，讓復(fù)習(xí)課成為學(xué)生知識(shí)內(nèi)化、方法再建、思維提升的平臺(tái).

活動(dòng)4在掌握一元二次方程的基本解法的基礎(chǔ)上，充分提升學(xué)生現(xiàn)有的水平，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)幫助他們解決認(rèn)知矛盾，促使學(xué)生的問(wèn)題向已有水平轉(zhuǎn)化，把知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)與問(wèn)題解決進(jìn)行有效對(duì)接，在教學(xué)過(guò)程中回溯學(xué)生的探究原因，不斷升華學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，并最終構(gòu)建成完善的知識(shí)體系.

數(shù)學(xué)問(wèn)題解決最終目的是學(xué)生能靈活運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決生活實(shí)際問(wèn)題.活動(dòng)5就是讓學(xué)生聯(lián)系實(shí)際，繼續(xù)開(kāi)放性地引導(dǎo)學(xué)生自己提出問(wèn)題，同伴解決問(wèn)題.這種編擬問(wèn)題的成就感會(huì)觸動(dòng)學(xué)生的深度思考，放逐思維的空間，最終達(dá)成既定的教學(xué)目標(biāo).

建構(gòu)主義認(rèn)為：知識(shí)的獲得在于學(xué)習(xí)者本身能否根據(jù)自身經(jīng)驗(yàn)去建構(gòu)對(duì)自己有用的知識(shí)體系，而不取決于施教者講授的內(nèi)容.本節(jié)介紹的章末復(fù)習(xí)課，更多地關(guān)注學(xué)生如何“學(xué)”、如何“思”，關(guān)注學(xué)生自己鉆研、領(lǐng)悟和感受的過(guò)程，讓學(xué)生在親歷親為中，享受問(wèn)題促發(fā)思維、理解真知的快感.