問題引領(lǐng)重思維，情理交融提素養(yǎng)
——以“折疊問題中的勾股定理”教學(xué)為例

☉廣東省深圳市光明區(qū)馬山頭學(xué)校 韋麗云

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）指出：“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng).作為促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展教育的重要組成部分，數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的理性思維和創(chuàng)新能力方面不可替代的作用.”

折疊是初中幾何圖形常見的一種變換方式，折疊問題是學(xué)習(xí)了勾股定理之后的常見題型，但學(xué)生往往對這類題比較畏懼，究其原因，一是對折疊的本質(zhì)理解不透徹，二是缺乏抽象建模的意識和能力.為此，本人在教學(xué)完北師大版數(shù)學(xué)教材八年級上冊第一章“勾股定理”之后，設(shè)計(jì)了一節(jié)探究課“折疊問題中的勾股定理”，選取以矩形為背景的幾個折疊問題進(jìn)行研究，讓學(xué)生經(jīng)歷“折—畫—探—悟”的過程，既是鞏固勾股定理的應(yīng)用，同時希望學(xué)生通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，獲得解決折疊問題的經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)解決問題的能力，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

一、教學(xué)活動簡述

1.活動探究，直觀感知

活動1：如圖1，給你一張矩形的紙片，把它做一次折疊，你會得到哪些不同的圖形？你發(fā)現(xiàn)在折成的圖形中，有哪些相等的線段和角？與同桌交流一下.

教學(xué)說明：通過一個開放性的活動，創(chuàng)設(shè)學(xué)生之間合作交流的情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生對折疊問題的感性認(rèn)識.學(xué)生通過動手和觀察，發(fā)現(xiàn)折疊問題最本質(zhì)的特性：折疊具有全等性，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，為后面的探究學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

活動2：分組活動，請按要求一次折疊矩形紙片，并畫出折疊后的幾何圖形，各組派一名代表把得到的圖形畫在黑板上.

第一組：使矩形的頂點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′落在邊AD上（如圖2）；

第二組：使矩形的頂點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′落在對角線AC上（如圖3）；

第三組：將矩形ABCD沿對角線AC折疊（如圖4）；

第四組：使矩形的頂點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′恰好與點(diǎn)D重合（如圖5）.

教學(xué)說明：課前根據(jù)座位把學(xué)生分成4個大組12個小組，讓學(xué)生按大組領(lǐng)任務(wù)，然后小組合作，動手操作，先折疊出形狀，再畫出幾何圖形，經(jīng)歷一次由直觀到抽象的過程.學(xué)生分組完成任務(wù)，既讓每個小組成員有參與的機(jī)會，體驗(yàn)了動手的過程，同時節(jié)約了時間，提高了效率.此次完成的幾個圖形，是幾個特殊位置的折疊圖形，也是本節(jié)課要重點(diǎn)研究的幾個圖形.

2.問題導(dǎo)航，思維建構(gòu)

在這些圖形中，可以提出哪些數(shù)學(xué)問題？怎樣求解呢？

（1）簡單圖形，直接應(yīng)用.

問題1：如圖6，將矩形ABCD沿AE折疊，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′落在邊AD上.若AB=6，AD=8，你能求出圖中哪些線段的長度？

教學(xué)說明：圖6是折疊問題中最簡單的一個圖形，從一個起點(diǎn)低、入口寬的圖形入手，幫助學(xué)生樹立學(xué)習(xí)的信心.通過觀察和思考，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，利用折疊的性質(zhì)及勾股定理，這個圖形中所有線段的長度都能求出來！結(jié)論如下：

（2）圖形變式，間接應(yīng)用.

問題2：如圖7，將矩形ABCD沿AE折疊，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′落在對角線AC上.若AB=6，AD=8，你能否求出圖中所有線段的長度？

教學(xué)說明：在問題1的基礎(chǔ)上進(jìn)行圖形變式，并提出問題“當(dāng)點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′落在對角線AC上時，是否能求出圖中所有線段的長度”，充分激發(fā)了學(xué)生的求知欲望.根據(jù)前面的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生容易得出CD=AB′=AB=6，BC=AD=8，AC=10，B′C=10-6=4等結(jié)論.而對于BE、B′E、CE、AE這幾條線段的長度，需要把未知的線段轉(zhuǎn)化到Rt△B′EC中，利用勾股定理建立方程，雖然經(jīng)過教師引導(dǎo)和提示后，學(xué)生才找到問題的解決方案，但是，在探究這個問題的過程中，學(xué)生體會到了用數(shù)的方法解決形的問題的好處，對數(shù)形結(jié)合思想和方程思想有了理性的思考，思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到了提升.

解題過程如下：設(shè)BE=B′E=x，則CE=8-x.

在Rt△B′EC中，42+x2=（8-x）2.

解得x=3.

（3）建立模型，拓展應(yīng)用.

問題3：如圖8，將矩形ABCD沿對角線AC折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B′.

（1）請判斷△ACE的形狀；

（2）若AB=6，AD=8，請求出△ACE的面積.

教學(xué)說明：在問題2的基礎(chǔ)上繼續(xù)進(jìn)行圖形的變式，提出的問題既是對前面所獲得經(jīng)驗(yàn)和方法的強(qiáng)化，也是對知識應(yīng)用的補(bǔ)充.因?yàn)橐袛唷鰽CE的形狀，注意力需從研究線段轉(zhuǎn)移到研究角的相等關(guān)系上來.判斷完三角形的形狀之后，利用問題2中的方程模型可以求出DE和AE的長度，進(jìn)而求出三角形的面積.

解題主要步驟：設(shè)DE=x，則AE=CE=8-x.

在Rt△ECD中，62+x2=（8-x）2.

（4）復(fù)雜圖形，構(gòu)造應(yīng)用.

問題4：如圖9，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′恰好與點(diǎn)D重合.若AB=6，AD=8，求折痕EF的長.

教學(xué)說明：問題4設(shè)計(jì)了一個具有挑戰(zhàn)性的問題，不僅考查學(xué)生對前面建立的數(shù)學(xué)模型靈活應(yīng)用的情況，而且考驗(yàn)學(xué)生是否具有開拓進(jìn)取的精神.根據(jù)前面的解題經(jīng)驗(yàn)，可以求出圖中除EF之外的所有線段的長度，想求出EF的長度，只需構(gòu)造出Rt△EGF，便可應(yīng)用勾股定理解決問題，但學(xué)生未必想得到.前面建立的數(shù)學(xué)模型是解決此題的關(guān)鍵.在圖形變化的同時，求解問題的跳躍度大，沒有給學(xué)生設(shè)置提示和鋪墊性的問題，學(xué)生不容易發(fā)現(xiàn)此題與前面幾個問題的關(guān)聯(lián)，因此，要留給學(xué)生充分討論、探究的時間.

過點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G.

3.歸納總結(jié)，提升素養(yǎng)

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？請從核心知識、數(shù)學(xué)思想、方法策略幾個方面進(jìn)行歸納，同時請同學(xué)們對自己一節(jié)課的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行回顧小結(jié)，并寫一句激勵自己的話.請把相應(yīng)的內(nèi)容填寫到數(shù)學(xué)思維課堂自我評價表里.（附：數(shù)學(xué)思維課堂自我評價表）

表1 數(shù)學(xué)思維課堂自我評價表

在學(xué)生完成數(shù)學(xué)思維課堂自我評價表的填寫之后，教師再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)提升，形成以下的結(jié)構(gòu)框圖（如圖10）.

圖10

教學(xué)說明：歸納總結(jié)環(huán)節(jié)必須在學(xué)生深度思考的基礎(chǔ)上，教師再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)提升，總結(jié)評價要體現(xiàn)全面性、客觀性，具有激勵性.為此，我們編印了《數(shù)學(xué)思維課堂自我評價手冊》，學(xué)生每節(jié)課對應(yīng)完成一個自我評價表.這樣的歸納總結(jié)，真正體現(xiàn)了學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，使獲得知識、培養(yǎng)能力、提升素養(yǎng)落到實(shí)處.

二、教學(xué)反思

本節(jié)課的設(shè)計(jì)以活動引領(lǐng)問題，把問題作為思維的載體.學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)歷了“折—畫—探—悟”的過程，整節(jié)課可以分為以下四個環(huán)節(jié)：簡單圖形，直接應(yīng)用→圖形變式，間接應(yīng)用→建立模型，拓展應(yīng)用→復(fù)雜圖形，構(gòu)造應(yīng)用.

首先提出“在折疊得到的圖形中，可以提出哪些數(shù)學(xué)問題，進(jìn)行怎樣的求解”這樣一個承上啟下的問題，引發(fā)學(xué)生的思考，使學(xué)生由活動狀態(tài)過渡到思維狀態(tài).接著，把整節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容通過四個問題呈現(xiàn)出來.問題1，從一個簡單圖形入手，“對于指定的圖形和條件，你能求出圖中哪些線段的長度？”問題解決的途徑可以看作折疊性質(zhì)和勾股定理的直接應(yīng)用.問題2，“圖形變化后，你是否能求出圖中所有線段的長度”，這個問題需要把未知的兩條線段轉(zhuǎn)化到同一個直角三角形中，利用勾股定理建立方程來求解，是定理的間接應(yīng)用.問題3，“圖形再發(fā)生變化，請判斷△ACE的形狀并求其面積”，此問依然需借助圖2中的方程模型，欲求三角形的面積，可以先借助方程模型求出線段長度，然后求出面積，是定理的拓展應(yīng)用.問題4，“在第四個圖形中，求出折痕EF的長”，解決這個問題需要學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖中的方程模型，并自己構(gòu)造直角三角形，對學(xué)生思維層次的要求更高，是定理的構(gòu)造應(yīng)用.這四個問題看似彼此獨(dú)立，實(shí)則相互關(guān)聯(lián)，環(huán)環(huán)相扣，由淺入深，逐層遞進(jìn)，引領(lǐng)著學(xué)生的思維一步步向縱深處發(fā)展.在解決問題的過程中，注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透和數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)，充分落實(shí)了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等核心素養(yǎng).

希臘哲學(xué)家、教育家蘇格拉底說過：“教育不是灌輸，而是點(diǎn)燃火焰.”課堂教學(xué)應(yīng)該是教師點(diǎn)燃學(xué)生追求真理思想的火焰.因此，本節(jié)課立足于構(gòu)建既有溫度又有深度的數(shù)學(xué)課堂，讓學(xué)生的智慧之花在課堂綻放.首先，創(chuàng)設(shè)了輕松的學(xué)習(xí)氛圍，給學(xué)生創(chuàng)造了合作交流的機(jī)會，在探究的過程中注重激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)學(xué)生的開拓意識和創(chuàng)新精神，讓學(xué)生在不斷解決問題中體會到成功的喜悅.“提興趣—促交流—樹信心—激欲望—助挑戰(zhàn)”這樣一條情感主線在課堂上靜靜流淌，對學(xué)生情感態(tài)度價值觀的引導(dǎo)落到了實(shí)處.本節(jié)課從思維和情感兩個維度去構(gòu)建數(shù)學(xué)課堂，情理交融，注重培養(yǎng)學(xué)生濃厚的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生生動活潑、富于個性地學(xué)習(xí)成長.

三、結(jié)語

張奠宙先生說，數(shù)學(xué)的表現(xiàn)形式比較枯燥，給人一種冰冷的感覺.但是數(shù)學(xué)思考卻是火熱的、生動活潑的.如何點(diǎn)燃和激起學(xué)生的火熱思考，能夠欣賞數(shù)學(xué)冰冷的美麗，實(shí)在是數(shù)學(xué)教育的一項(xiàng)根本任務(wù).進(jìn)入到初中階段的學(xué)習(xí)后，數(shù)學(xué)冰冷的美麗讓不少孩子望而卻步，過早被分化出來，迷失在學(xué)習(xí)的起跑線上.讓數(shù)學(xué)的理性散發(fā)出溫暖的光芒，讓數(shù)學(xué)課堂充滿著生機(jī)和靈動，讓每一個孩子在數(shù)學(xué)課堂上都找到一個屬于自己的支點(diǎn)，這就是培養(yǎng)學(xué)生思維的課堂，也是落實(shí)核心素養(yǎng)的課堂.為此，筆者進(jìn)行了多年的探索和實(shí)踐，并取得了一些成績，所教班級學(xué)生學(xué)習(xí)興趣濃厚，思維活躍，在期末統(tǒng)考和中考中，各項(xiàng)優(yōu)秀指標(biāo)均遙遙領(lǐng)先于同類班級.今后，“重思維，育素養(yǎng)”將會繼續(xù)成為筆者數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的方向.