“錯誤”不容錯過
——對勾股定理典型解題錯誤的分析與思考

沈忠良

江蘇省蘇州市吳江區(qū)銅羅中學，江蘇蘇州 215237

1.概念模糊導致的知識性錯誤

知識性錯誤是指學生對有關(guān)概念、定理、公式和法則等理解不清、運用不當，因而未能正確陳述解題過程和結(jié)論而導致錯誤。數(shù)學概念和定理是學生解題的基本依據(jù)，若對基本數(shù)學概念理解不透徹，對相近的概念混淆不清，或不能區(qū)分判定定理與性質(zhì)定理，則容易造成解題錯誤。

【案例1】

教學思考：只有讓學生深入理解有關(guān)概念，準確掌握數(shù)學知識，才能防止知識性錯誤的發(fā)生。為了預(yù)防知識上的缺漏，在平時的教學中要做到既不脫離教材，又不拘泥于教材，要讓學生體驗概念的產(chǎn)生和發(fā)展過程.在進行概念教學時，應(yīng)做到以下五步：①從模型、實物等直觀形象中抽象出概念，讓學生初步領(lǐng)悟概念產(chǎn)生的背景，并嘗試用自己的語言表達新概念；②把握概念的內(nèi)涵與外延，抓住其本質(zhì)，使學生明確概念的來龍去脈；③建立新概念與認知結(jié)構(gòu)中已有概念的內(nèi)在聯(lián)系，明確概念之間的從屬關(guān)系；④進一步運用概念，針對學生的困惑點和易錯點，設(shè)計靈活多樣的變式題，從不同角度進行訓練，鞏固新的認知平衡；⑤學生從正面接觸概念后，再從反面創(chuàng)設(shè)一些錯誤情境，并引導學生運用已有的知識和經(jīng)驗去分析錯因，嘗試糾正錯誤，讓學生在反思中深化對概念的理解。

2.以偏概全導致的邏輯性錯誤

邏輯性錯誤主要是指由于違反邏輯思維的形式和規(guī)律而產(chǎn)生的計算、推理或論證上的錯誤.邏輯性錯誤本質(zhì)上也是知識性錯誤，但究其導致錯誤的知識盲點主要在于邏輯。

【案例2】

如圖1，一架長10m 的梯子AB 斜靠在豎直的墻上，梯子的底端A到墻根O 的距離為6m。當梯子的頂端B 沿墻下滑1m 到處時，梯子的底端A 向外移動到處，此時的長（ ）。

A.小于1m B.大于1m C.等于1m D.無法確定

錯解1：在這個變化過程中，梯子底端移動的距離始終比頂端下滑的距離小，所以的長小于1m。

錯解2：在這個變化過程中，梯子底端移動的距離不一定比頂端下滑的距離大。因為當梯子頂端下滑到地面時，頂端下滑了8m，而底端只向外移動4m，所以的長無法確定。

錯解3：梯子底端移動的距離始終等于頂端下滑的距離.因為當梯子頂端下滑2m 后，頂端離地面6m，此時由勾股定理可得梯子的底端到墻根的距離為8m，那么底端也移動了2m，所以長度必定相等。分析：錯解1 中，學生沒有運用勾股定理進行計算，僅憑主觀臆斷得出結(jié)論，顯然是不可靠的.錯解2、3 主要是由于學生在解題時對問題缺乏深入、全面的思考，從而產(chǎn)生了以偏概全的錯誤。

教學思考：讓學生養(yǎng)成解題時遵循正確的邏輯規(guī)律的習慣，并提高學生思維的嚴謹性和推理的嚴密性是減少學生發(fā)生邏輯性錯誤的重要途徑。由于邏輯性錯誤是由學生對邏輯規(guī)律的模糊或無意識而造成的，糾錯時可以適當?shù)叵驅(qū)W生介紹一些有關(guān)邏輯的知識，使學生解題時能夠及時意識到所犯的邏輯性錯誤。講評本案例中的題目時，可先運用《幾何畫板》進行模擬實驗，讓學生初步感受梯子的頂端與底端移動的距離不一定相等，然后讓學生運用勾股定理進行計算，從而發(fā)現(xiàn)的長大于1m.事實上，梯子上端下滑的距離與下端外移的距離之間的大小關(guān)系跟梯子的初始位置有關(guān).假設(shè)梯子初始放置時AO=a,BO=b 梯子上端下滑的距離為x，下端外移的距離為y.若b ＞a，則當x ＜b－a 時，x ＜y；當x ＝b－a 時，x ＝y(tǒng)；當x ＞b－a 時，x ＞y.若b ≤a，則x ＞y 恒成立.經(jīng)歷了這個探究過程以后，學生對錯誤的認識會更深刻，對梯子滑動問題的把握會更準確。

總而言之，糾錯是跨過障礙、達到目標的必經(jīng)之路，也是接受洗禮、走向成熟的必要磨煉，糾正解題錯誤需要找原因、挖根源。學生出現(xiàn)解題錯誤在所難免，面對錯誤解法撥亂反正固然重要，還應(yīng)該對錯誤持有積極的態(tài)度，幫助學生消除出錯帶來的挫敗感，保護學生的自尊心，引導每一個學生積極參與學習活動。教師只要善于將錯誤資源轉(zhuǎn)化為有效資源，那么“錯誤”會變得美麗，學生會更愿意接近和走進數(shù)學！