例說(shuō)“從特殊到一般”

葉小紅

蘇州高新區(qū)第二中學(xué)，江蘇蘇州 215000

數(shù)學(xué)是一門充滿樂(lè)趣、充滿奧妙、充滿探索的學(xué)科，數(shù)學(xué)是對(duì)思維的一種挑戰(zhàn)，特別是幾何圖形，更是變幻無(wú)窮，因此有些同學(xué)一提起幾何就感到頭痛，不知如何入手，現(xiàn)在就讓我為大家介紹一種方法——從特殊到一般的探究解題方法，它可以讓你更快、更有效地求出幾何圖形的。不信，就讓我們一起來(lái)瞧瞧吧！

題目1：如圖1，一副直角三角板滿足AB ＝BC，AC ＝DE，∠ABC ＝∠DEF ＝90°，∠EDF ＝30°

【操作】將三角板DEF 的直角頂點(diǎn)E 放置于三角板ABC 的斜邊AC上，再將三角板DEF 繞點(diǎn)E 旋轉(zhuǎn)，并使邊DE 與邊AB 交于點(diǎn)P，邊EF與邊BC 于點(diǎn)Q

【探究】在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，（1）如圖2，當(dāng)CE/EA=1 時(shí)，EP 與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明.

（2）如圖3，當(dāng)CE/EA=2 時(shí)EP 與EQ 滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？，并說(shuō)明理由.

（3）根據(jù)你對(duì)（1）、（2）的探究結(jié)果，試寫出當(dāng)CE/EA=m 時(shí)，EP 與EQ 滿足的數(shù)量關(guān)系式

為_________,其中的取值范圍是_______(直接寫出結(jié)論，不必證明)

（2）利用特殊圖形（圖⑤）猜想一般結(jié)論，證明的方法由圖①、②的全等變?yōu)楦话愕南嗨?/p>

由圖③、④構(gòu)造輔助線,而證明的方法由全等變?yōu)橄嗨?/p>

（3）而（3）的結(jié)論又是由（1）（2）特殊的數(shù)學(xué)知識(shí)歸納形成。

像這樣圖形逐漸變化，方法逐漸由特殊變一般，講解過(guò)程中加上老師巧妙的設(shè)問(wèn)，學(xué)生聽起來(lái)很輕松，思維量卻不小，相信學(xué)生再碰到類似的問(wèn)題自己也會(huì)舉一反三。

題目2：如圖，已知⊙O 的半徑為6cm，射線PM 經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，OP=10cm，射線PN 與⊙O 相切于點(diǎn)Q.A、B 兩點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)P 出發(fā).

點(diǎn)以5cm/s 的速度沿射線方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)以4cm/s 的速度沿射線方向運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.

（1）求 PQ 的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)為何值時(shí)，直線與相切？

AB 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持AB‖OQ,關(guān)注到這一點(diǎn)就能解決問(wèn)題，但更顯一般的是運(yùn)動(dòng)過(guò)程中找全所有的情形。

變式一 點(diǎn)A 以7cm/s 的速度沿射線PM 方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B 以 5cm/s 的速度沿射線PN 方向運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.當(dāng)t 為何值時(shí)，直線AB 與圓O 相切？

變式二 點(diǎn)A 以5cm/s 的速度沿射線PM 方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B 以8cm/s的速度沿射線PN 方向運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.當(dāng)t 為何值時(shí)，直線AB 與⊙O 相切？

變式三（百變神通）若點(diǎn)A 與點(diǎn)B 的速度比為1：k，其余條件都不變，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.

當(dāng)t 為何值時(shí)，直線AB 與⊙O 相切.

在運(yùn)動(dòng)變化中尋找不變的方法，是探究圖形性質(zhì)的一個(gè)很好的方法，它不僅能夠指導(dǎo)我們尋找解題思路，還能幫助我們?cè)跀?shù)學(xué)王國(guó)里去探究發(fā)展。

有特殊與一般是對(duì)立統(tǒng)一的，特殊融于一般之中.解題中通常是將一般問(wèn)題特殊化，先用特殊情形探討解題的思路或問(wèn)題的結(jié)論，然后在一般的情況下給出結(jié)論.雖然通常情況下對(duì)特殊情況的討論不能代替一般情況的研究，就是說(shuō)若干特例得到的結(jié)論，不能確保一般命題的成立，但是它仍是一種快捷有效的思維方式，由于它的事半功倍很容易被人接受.