一種基于均勻稀疏采樣的Lamb波場(chǎng)重構(gòu)方法

(江蘇大學(xué) 國(guó)家級(jí)高端裝備關(guān)鍵結(jié)構(gòu)健康管理國(guó)際聯(lián)合研究中心，鎮(zhèn)江 212013)

Lamb波傳播距離遠(yuǎn)，能量衰減小，檢測(cè)范圍大，且對(duì)結(jié)構(gòu)內(nèi)部缺陷敏感，在板狀結(jié)構(gòu)的無(wú)損檢測(cè)與評(píng)估中有著廣泛應(yīng)用[1-2]。傳統(tǒng)的Lamb波檢測(cè)方法常利用分布式傳感器陣列拾取波場(chǎng)信號(hào)以定位損傷，但此類方法具有以下缺點(diǎn)：① 傳感器需通過(guò)耦合劑與試件黏接，采樣信號(hào)易受耦合劑影響；② 陣列排布形式固定，操作不靈活；③ 空間分辨率受限，難以針對(duì)損傷的尺度、形狀等特征作精確評(píng)估[3]。使用非接觸式掃描激光多普勒測(cè)振儀(Scanning Laser Doppler Vibrometer,SLDV)能夠獲得板狀結(jié)構(gòu)被測(cè)區(qū)域內(nèi)高空間分辨率Lamb波場(chǎng)數(shù)據(jù)，并利用波場(chǎng)分析技術(shù)對(duì)損傷進(jìn)行精確評(píng)估[4-6]?！安▓?chǎng)”主要指行波在被測(cè)結(jié)構(gòu)的研究區(qū)域中傳播,與結(jié)構(gòu)特征相互作用產(chǎn)生的一系列隨時(shí)間演化的圖像。在采集波場(chǎng)數(shù)據(jù)的過(guò)程中，受限于Nyquist采樣定律，空間采樣間隔必須小于最小半波長(zhǎng)，因此測(cè)點(diǎn)數(shù)量龐大；且對(duì)單個(gè)測(cè)點(diǎn)需多次測(cè)量取均值以提高信噪比。密集掃描形成海量數(shù)據(jù)不僅耗時(shí)，且給數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)、傳輸及分析帶來(lái)巨大挑戰(zhàn)。

近年來(lái)有學(xué)者利用壓縮感知(Compressive Sensing,CS)技術(shù)框架，通過(guò)隨機(jī)采樣策略在采樣率遠(yuǎn)低于Nyquist采樣率的條件下采集波場(chǎng)的空間離散樣本點(diǎn)信號(hào)，然后采用非線性重建算法恢復(fù)波場(chǎng)[7-8]。如:LEVINE等采用稀疏分布式傳感器陣列拾取波場(chǎng)信號(hào)，通過(guò)壓縮感知方法實(shí)現(xiàn)了金屬板中多個(gè)缺陷的定位，然而該方法需在試件表面布置大量壓電傳感器，且無(wú)法獲得高分辨率波場(chǎng),從而難以提取更多關(guān)于損傷的量化信息；ESFANDABADI等[8]在IANNI等[9]的研究基礎(chǔ)上利用不同稀疏基精確重構(gòu)波場(chǎng)，并根據(jù)其差異實(shí)現(xiàn)了對(duì)缺陷的檢測(cè)；基于稀疏重構(gòu)算法和SLDV采樣，MESNIL等[10]對(duì)含損鋁板和復(fù)合材料板進(jìn)行損傷成像和波場(chǎng)重構(gòu)，并與試驗(yàn)測(cè)量所得的高空間分辨率波場(chǎng)進(jìn)行了對(duì)比。ESFANDABADI與MESNIL提出的損傷檢測(cè)方法均可通過(guò)少量空間測(cè)點(diǎn)信號(hào)精準(zhǔn)重構(gòu)出波場(chǎng)，并能實(shí)現(xiàn)損傷的高精度定位和成像，但兩者均依賴隨機(jī)采樣策略，需在現(xiàn)有的商用SLDV系統(tǒng)上增加額外的控制組件，進(jìn)而增加了系統(tǒng)的復(fù)雜度和成本。

筆者使用一種新的采樣策略，用等間距的均勻稀疏采樣網(wǎng)格替代隨機(jī)的空間測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)，同時(shí)隨機(jī)選定假定源的位置，重新構(gòu)建波場(chǎng)稀疏重構(gòu)框架，利用SLDV測(cè)得的含損鋁板試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)提出的方法進(jìn)行了驗(yàn)證。構(gòu)建的基于SLDV均勻稀疏采樣的波場(chǎng)重構(gòu)方案可高效獲取研究區(qū)域內(nèi)的Lamb波場(chǎng)數(shù)據(jù)，對(duì)于提高基于波場(chǎng)分析的損傷檢測(cè)技術(shù)的效率具有重要意義。

1 Lamb波場(chǎng)稀疏重構(gòu)框架

1.1 壓縮感知理論簡(jiǎn)介

經(jīng)典的Nyquist-Shanon采樣定理認(rèn)為，為了不失真地恢復(fù)模擬信號(hào)，采樣頻率要高于模擬信號(hào)頻譜的最高頻率的兩倍，但該定理僅利用了信號(hào)帶寬有限的假設(shè)，并未利用到其他關(guān)于信號(hào)的先驗(yàn)知識(shí)。DONOHO[11]等提出了一種全新的信號(hào)欠采樣和恢復(fù)理論，即壓縮感知理論。該理論充分利用了原始信號(hào)在某組預(yù)先設(shè)定的基礎(chǔ)上可以稀疏表達(dá)的先驗(yàn)信息，通過(guò)隨機(jī)投影在遠(yuǎn)低于Nyquist頻率的采樣頻率下對(duì)信號(hào)進(jìn)行壓縮采集，然后將得到的少量測(cè)量值輸入到一個(gè)優(yōu)化求解器中恢復(fù)出原始信號(hào)。

壓縮感知問(wèn)題在數(shù)學(xué)上可描述如下：設(shè)一維信號(hào)x∈RN×1的稀疏度為K，即x中僅含K個(gè)非零值；觀測(cè)矩陣Φ∈CM×N，且M

使用SLDV在試件表面拾取Lamb波場(chǎng)時(shí)，通常需要設(shè)置大量的采樣點(diǎn)，其中屬于結(jié)構(gòu)特征(如激勵(lì)源、損傷、預(yù)留孔洞和邊界等)的點(diǎn)非常有限，因此可結(jié)合導(dǎo)波的傳播機(jī)理與結(jié)構(gòu)特征的稀疏性構(gòu)建波場(chǎng)壓縮感知方程，通過(guò)求解方程來(lái)估計(jì)結(jié)構(gòu)特征的位置，并重構(gòu)出完整Lamb波場(chǎng)。

1.2 Lamb波場(chǎng)壓縮感知方程的構(gòu)建

將待測(cè)結(jié)構(gòu)表面檢測(cè)區(qū)域等間距地劃分為N個(gè)像素點(diǎn)，則在這些像素點(diǎn)中，位于結(jié)構(gòu)特征附近的像素點(diǎn)個(gè)數(shù)通常是有限的。將這N個(gè)像素點(diǎn)視作“假定源”，而將位于結(jié)構(gòu)特征附近的像素點(diǎn)視作真實(shí)的“源”，即能夠主動(dòng)激勵(lì)或散射導(dǎo)波的結(jié)構(gòu)特征所覆蓋的點(diǎn)，顯然真實(shí)源的存在具有相當(dāng)高的稀疏性，因此可依據(jù)源的稀疏性構(gòu)造壓縮感知方程，并通過(guò)求解方程找到真實(shí)源的位置。

設(shè)假定源編號(hào)為s(s=1,2,…,N)，測(cè)量點(diǎn)編號(hào)為m(m=1,2,…,M)，且M

(1)

通過(guò)理論計(jì)算進(jìn)行估計(jì)，由于在各向同性板中，能量主要以幾何形式擴(kuò)散，所以僅考慮幾何衰減，忽略材料耗散等因素。當(dāng)考慮所有測(cè)點(diǎn)信號(hào)時(shí)，式(1)可改寫為

y(μ)(f)=Α(μ)(f)v(μ)(f)

(2)

(3)

(4)

(5)

理論上,在多模態(tài)情況下仍可用相同的方式構(gòu)造壓縮感知方程，但為了計(jì)算方便，采用較低的激勵(lì)頻率，使得激勵(lì)源僅產(chǎn)生A0與S0模態(tài)，此時(shí)式(2)擴(kuò)展為

y(f)=Α(A0)(f)v(A0)(f)+Α(S0)(f)v(S0)(f)=

Α(f)v(f)

(6)

即得到最終的壓縮感知方程(以下簡(jiǎn)稱“CS方程”)，其中Α(f)為傳感矩陣。

為使傳遞矩陣滿足約束等距性質(zhì)(RIP)，在采樣過(guò)程中必須兼顧均勻性和隨機(jī)性。有文獻(xiàn)通過(guò)抖動(dòng)采樣[13]生成稀疏采樣點(diǎn)，并將假定源坐標(biāo)設(shè)為等間距網(wǎng)格點(diǎn)，網(wǎng)格間距取最小波長(zhǎng)的一半，如圖1(a)所示。商用SLDV測(cè)量系統(tǒng)內(nèi)置的測(cè)量網(wǎng)格為均勻網(wǎng)格，為使SLDV稀疏采樣更易實(shí)現(xiàn)，筆者將隨機(jī)的測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)替換為等間隔均勻采樣網(wǎng)格坐標(biāo)，同時(shí)用抖動(dòng)采樣方法生成假定源坐標(biāo)，如圖1(b)所示，這樣既便于使用SLDV系統(tǒng)對(duì)測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行設(shè)置，又可保證壓縮感知對(duì)傳遞矩陣的隨機(jī)性要求。

圖1 兩種采樣點(diǎn)與假定源點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)置示意

確定采樣點(diǎn)坐標(biāo)后，利用SLDV采集信號(hào)，將測(cè)量信號(hào)的頻譜代入壓縮感知框架，通過(guò)基追蹤降噪算法求解下述問(wèn)題

(7)

式中:ε(f)為與信號(hào)噪聲水平相關(guān)的常量。

1.3 波場(chǎng)重構(gòu)與損傷成像

求得假定源激勵(lì)函數(shù)后，選定波場(chǎng)重構(gòu)區(qū)域，構(gòu)造假定源到該區(qū)域Nyquist采樣點(diǎn)之間的傳遞矩陣Α′，可得該區(qū)域Nyquist采樣點(diǎn)頻譜W(f)

W(f)=Α′(f)v(f)

(8)

然后對(duì)W(f)作逆傅里葉變換，得到任意時(shí)刻全波場(chǎng)數(shù)據(jù)W(t)。設(shè)定的波場(chǎng)重構(gòu)區(qū)域與測(cè)量區(qū)域重合，此處需注意的是,波場(chǎng)的重構(gòu)區(qū)域理論上可任意選擇，但在遠(yuǎn)離檢測(cè)區(qū)域的位置處的信號(hào)的重構(gòu)精度將有所降低。為了評(píng)估波場(chǎng)重構(gòu)效果，采用重構(gòu)波場(chǎng)與原始波場(chǎng)的相干系數(shù)來(lái)衡量波場(chǎng)的重構(gòu)精度。

通過(guò)假定源激勵(lì)函數(shù)的幅值信息可直接進(jìn)行損傷定位和成像。由于在激勵(lì)頻率與SLDV測(cè)量環(huán)境下，A0模態(tài)導(dǎo)波成分在測(cè)量信號(hào)中占主導(dǎo)地位，所以利用v(f)中A0模態(tài)部分的幅值信息進(jìn)行損傷成像，成像指標(biāo)index(x,y)的計(jì)算方法為

(9)

式中：index(x,y)為點(diǎn)(x,y)處的假定源成像指標(biāo);f1,f2分別為計(jì)算頻段的起止頻率。

2 試驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 試驗(yàn)設(shè)置

圖2 PZT激勵(lì)/SLDV傳感平臺(tái)外觀

構(gòu)建如圖2所示的PZT激勵(lì)/SLDV傳感試驗(yàn)平臺(tái)。待測(cè)試件為6061型號(hào)鋁板，尺寸(長(zhǎng)×寬×高)為1 000 mm×1 000 mm×1 mm。在鋁板表面建立二維笛卡爾坐標(biāo)系(見圖3)，激勵(lì)源為直徑為7 mm的壓電片，其坐標(biāo)為(40,40)，在(40,145)處黏貼另一直徑為7 mm的壓電片以模擬損傷。圖3中的藍(lán)色區(qū)域?yàn)榧俣ㄔ磪^(qū)域，寬80 mm,高180 mm；虛線框?yàn)橄∈铚y(cè)量區(qū)域，寬高均為80 mm，在測(cè)量區(qū)域內(nèi)每個(gè)采樣點(diǎn)上采集10次數(shù)據(jù)取平均值，以提高信噪比。激勵(lì)信號(hào)選擇中心頻率為250 kHz的五峰波，圖4為激勵(lì)信號(hào)的時(shí)域、頻譜圖。從圖4(b)可看出，激勵(lì)信號(hào)的能量主要集中在100 kHz400 kHz內(nèi)，因此選擇該區(qū)間作為計(jì)算頻帶。通過(guò)試件的頻散曲線數(shù)據(jù),可推算得到計(jì)算頻段內(nèi)波場(chǎng)最小波長(zhǎng)約為4.68 mm，因此假定源區(qū)域的Nyquist采樣點(diǎn)數(shù)為2 695。在假定源區(qū)域選取N個(gè)點(diǎn)作為假定源，并在測(cè)量區(qū)域均勻稀疏采樣M個(gè)點(diǎn)的信號(hào)值，定義采樣壓縮率SC=(1-M/N)×100%，在實(shí)際測(cè)量中，取N=2 695，M=221，采樣壓縮率SC=91.8%。在試驗(yàn)中稀疏測(cè)量時(shí)間為63 s，比在假定源區(qū)域全測(cè)量減少768 s。

圖3 待測(cè)鋁板坐標(biāo)系示意

圖4 激勵(lì)信號(hào)的時(shí)域圖與頻譜圖

2.2 波場(chǎng)重構(gòu)結(jié)果

所使用的原始試驗(yàn)信號(hào)為減去無(wú)損參考信號(hào)后的殘余信號(hào)，圖5(a)為利用SLDV密集采樣得到的殘余波場(chǎng)在62.3 μs時(shí)刻的截圖，從該圖可觀察到，激勵(lì)源產(chǎn)生的波場(chǎng)仍有殘余部分，在損傷后方殘余激勵(lì)源波場(chǎng)強(qiáng)度非常高。理論上可通過(guò)假定源的激勵(lì)函數(shù)重構(gòu)出任意區(qū)域的波場(chǎng)，將波場(chǎng)重構(gòu)區(qū)域與假定源區(qū)域一致。圖5(b)為從重構(gòu)波場(chǎng)中截取得到的損傷周圍區(qū)域波場(chǎng)(即重構(gòu)出的波場(chǎng)在62.3 μs時(shí)刻的截圖)。從波場(chǎng)重構(gòu)的直觀結(jié)果可以看出，重構(gòu)波場(chǎng)與測(cè)量波場(chǎng)具有較高的一致性。圖6為在點(diǎn)(20,140)處的測(cè)量信號(hào)與重構(gòu)信號(hào)對(duì)比圖，可見重構(gòu)信號(hào)與測(cè)量信號(hào)相位匹配較好。

圖5 62.3 μs時(shí)刻的測(cè)量波場(chǎng)與重構(gòu)波場(chǎng)

圖6 點(diǎn)(20,140)處的重構(gòu)信號(hào)與測(cè)量信號(hào)

2.3 損傷成像與重構(gòu)效果評(píng)價(jià)

計(jì)算得到的損傷成像結(jié)果如圖7(a)所示，其中圖7(a)為歸一化成像指標(biāo)的二維平面分布，圖7(b)為其三維分布。由圖7(b)得到的損傷中心位置為(38.8,146.7)，與損傷中心真實(shí)位置相差2.1 mm，在誤差波場(chǎng)最小半波長(zhǎng)的一半以內(nèi)，說(shuō)明該方法定位較為準(zhǔn)確。圖8為重構(gòu)波場(chǎng)與測(cè)量波場(chǎng)在各頻率段的相干系數(shù)曲線，從圖中可以看出，在計(jì)算頻段內(nèi)大部分頻率對(duì)應(yīng)的重構(gòu)系數(shù)在0.95以上，重構(gòu)系數(shù)最高值可達(dá)0.99，說(shuō)明所提出的方法可較為精確地重構(gòu)出原始波場(chǎng)。

圖7 損傷成像結(jié)果

圖8 重構(gòu)波場(chǎng)與測(cè)量波場(chǎng)在各頻率段的相干系數(shù)曲線

通過(guò)稀疏重構(gòu)的方法獲取波場(chǎng)可顯著減少測(cè)量時(shí)間，但重構(gòu)計(jì)算量較大，其耗時(shí)也是影響檢測(cè)效率的重要因素之一。求解CS方程在總體計(jì)算過(guò)程中占主導(dǎo)地位，其求解時(shí)間與方程規(guī)模相關(guān)。CS方程的規(guī)模主要與測(cè)點(diǎn)數(shù)量M、假定源數(shù)量N及常數(shù)ε(f)等有關(guān)，通過(guò)研究不難發(fā)現(xiàn)，CS方程計(jì)算耗時(shí)與以上3個(gè)因素均為線性關(guān)系。在研究區(qū)域確定后，依據(jù)Nyquist定律即可確定假定源數(shù)量N的最小值；根據(jù)試驗(yàn)研究可知，在M達(dá)到測(cè)量區(qū)域內(nèi)Nyquist采樣點(diǎn)數(shù)的90%左右時(shí)，即可獲取高精度的重構(gòu)波場(chǎng)；而常數(shù)ε(f)可根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行選取。雖然重構(gòu)過(guò)程增加了后續(xù)的計(jì)算量，但計(jì)算過(guò)程一般在數(shù)秒內(nèi)即可完成，而測(cè)量完整波場(chǎng)信號(hào)比稀疏采樣需多消耗數(shù)十分鐘到幾個(gè)小時(shí)的時(shí)間，因此通過(guò)稀疏采樣無(wú)疑可以極大地提高檢測(cè)效率。

3 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了利用均勻稀疏采樣方案重構(gòu)Lamb波場(chǎng)的可行性和重構(gòu)效果，并利用假定源激勵(lì)函數(shù)的幅值信息對(duì)損傷進(jìn)行定位和成像。結(jié)果表明，所提出的方法可極大地提高研究區(qū)域Lamb波場(chǎng)的獲取效率，同時(shí)重構(gòu)出的波場(chǎng)在計(jì)算頻段內(nèi)與原波場(chǎng)具有較高的一致性，損傷定位的誤差可控制在波場(chǎng)最小波長(zhǎng)的一半以內(nèi)。