基于信息共享猴群算法的混合梁斜拉橋索力優(yōu)化

康俊濤，齊凱凱，張亞州

(武漢理工大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院，湖北 武漢 430070)

0 前言

作為中大跨徑橋梁的優(yōu)選橋型，近年來斜拉橋在我國得到了快速的發(fā)展，建成和在建的斜拉橋數(shù)量逐漸增多。斜拉橋?qū)儆趹宜鹘Y(jié)構(gòu)體系，斜拉索的索力對結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布起著關(guān)鍵作用，然而以經(jīng)驗(yàn)為主的索力確定方式無法保證成橋索力為最優(yōu)方案。采用智能優(yōu)化算法，將橋梁的應(yīng)變能，節(jié)點(diǎn)位移等作為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，以此得到受力更加合理的索力，這種索力優(yōu)化方法近年來得到了快速發(fā)展，一些學(xué)者也采用這種方法得到了良好的效果[1]。孫全勝[2]等將影響矩陣法應(yīng)用到某非對稱獨(dú)塔斜拉橋索力優(yōu)化中，優(yōu)化后的索力可有效減小主梁跨中與主塔根部的彎矩值，改善了結(jié)構(gòu)的受力性能。吳霄[3]等采用改進(jìn)遺傳算法對九江二橋進(jìn)行索力優(yōu)化，結(jié)果表明該方法適用于多約束與多目標(biāo)值的索力優(yōu)化。M.M.Hassan[4]等采用b樣條曲線進(jìn)行建模，在遺傳算法基礎(chǔ)上，采用優(yōu)化張拉函數(shù)的方式，提高了索力優(yōu)化的精度與速度。陳志軍[5]等利用粒子群優(yōu)化算法尋求獨(dú)塔斜拉橋的最優(yōu)成橋索力，索力優(yōu)化后主梁線型更合理，索力分布更均勻。

相比于中小跨徑的橋梁，大跨徑斜拉橋往往具有更多的斜拉索，因此，大跨徑斜拉橋的索力優(yōu)化往往屬于高維優(yōu)化問題，而常用的標(biāo)準(zhǔn)智能優(yōu)化算法在高維問題上往往表現(xiàn)不佳。為解決這一問題，一些學(xué)者提出了改進(jìn)或者新的算法，如量子粒子群算法[6]，猴群算法[7]等。猴群算法作為一種求解高維、多峰優(yōu)化問題的智能優(yōu)化算法，其已經(jīng)應(yīng)用在橋梁結(jié)構(gòu)的模態(tài)識別[8]、健康監(jiān)測[9]、模型修正[10]等領(lǐng)域，并取得了良好效果。

本文將猴群算法應(yīng)用于斜拉橋索力優(yōu)化問題中，并針對標(biāo)準(zhǔn)猴群算法存在的搜索冗余、高維搜索時(shí)易陷入局部最優(yōu)的問題，提出了基于距離矩陣的信息交流機(jī)制，以此提高搜索效率，提高尋找到全局最優(yōu)的概率。在采用數(shù)值算例驗(yàn)證算法有效性的基礎(chǔ)上，將其應(yīng)用于一座大跨度雙塔雙索面混合梁斜拉橋中；在充分考慮混合梁斜拉橋特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，以主梁彎曲應(yīng)變能、主塔拉壓應(yīng)變能以及主梁鋼-混結(jié)合段彎矩值為優(yōu)化目標(biāo)，采用信息共享猴群算法對其進(jìn)行成橋索力優(yōu)化。

1 優(yōu)化模型

1.1 優(yōu)化目標(biāo)

橋梁結(jié)構(gòu)彎曲應(yīng)變能的大小可以充分體現(xiàn)橋梁受力狀態(tài)的合理與否。斜拉橋主要是由受壓的主塔、受彎的主梁和受拉的斜拉索3部分組成，同時(shí)考慮到混合梁斜拉橋的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將主梁的彎曲應(yīng)變能、主塔的拉壓應(yīng)變能和鋼-混結(jié)合處的彎矩限值作為優(yōu)化目標(biāo)[11]。

在有限元計(jì)算模型中，將橋梁結(jié)構(gòu)離散為若干單元，則橋梁的彎曲應(yīng)變能就轉(zhuǎn)變?yōu)楦鱾€(gè)離散單元的彎曲應(yīng)變能之和，如式(1)所示。

(1)

式中：φ1、φ2分別為考慮主梁與主塔應(yīng)變能的加權(quán)值；li、Ai、Ei、Ii分別為第i個(gè)單元的長度、截面積、彈性模量和慣性矩；NLi、NRi、MLi、MRi分別為第i個(gè)單元左右端軸力和彎矩。

鋼混結(jié)合處的彎矩值為：

(2)

式中：Mgi為鋼混結(jié)合段處第i個(gè)單元在自重下的彎矩；{x}={x1，x2，…，xn}為斜拉索初張拉力，n為拉索數(shù)量；[Mi]是單位索力作用下結(jié)合段單元i的彎矩影響矩陣。

1.2 約束條件

為保證索力優(yōu)化過程中橋梁結(jié)構(gòu)處于合理受力狀態(tài)，綜合考慮混合梁斜拉橋的受力特點(diǎn)，選取主梁與橋塔的位移作為約束條件[12]，如式(3)所示。

(3)

式中：{Dz}、{Dv}、{Dh}分別為恒載作用下主梁豎向、橋塔橫向和橋塔縱向節(jié)點(diǎn)位移列陣；[δz]、[δv]、[δh]分別為主梁豎向、橋塔橫向和橋塔縱向節(jié)點(diǎn)位移影響矩陣;{Dzlim}、{Dvlim}、{Dhlim}分別為主梁豎向、橋塔橫向和橋塔縱向節(jié)點(diǎn)位移限值。

2 標(biāo)準(zhǔn)猴群算法(MA)

猴群算法屬于一種生物啟發(fā)式算法，它將猴群中占領(lǐng)最高山峰比擬為尋找到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，通過模擬猴群中的攀爬、瞭望、空翻等行為來提高猴群所處位置的高度，而猴群所處位置的高度可以等效為目標(biāo)函數(shù)值。對猴群算法的3種行為及其數(shù)學(xué)化模型介紹如下[7]：

a.猴群算法的基本假設(shè)。

在猴群算法的數(shù)學(xué)模型中，每只猴子被定義為問題的一個(gè)解；數(shù)學(xué)問題中優(yōu)化參數(shù)的可行域被定義為猴群的活動范圍；猴群所處位置的高度為目標(biāo)函數(shù)的值。

b.爬過程。

在自然界中，猴子為了得到更好的資源，如視野、食物等，會往所在山頭的山頂攀爬，自然界中猴子可以容易地感知當(dāng)前所處位置的梯度信息，從而選擇爬到山頂?shù)淖罴崖窂健Ｈ欢鴶?shù)學(xué)模型中，要優(yōu)化的問題屬于黑盒模型，即可以得到所在點(diǎn)的適應(yīng)度，而較難獲得其梯度信息，因而在算法中往往采用往各個(gè)維度上移動一個(gè)小量的方式得到近似梯度。在猴群算法中，猴子通過偽梯度獲取下次攀爬的方向，很大程度上縮減了因計(jì)算梯度消耗的計(jì)算時(shí)間，尤其是在高維問題中[13]。

在猴群算法中，偽梯度的獲取方式如下：

(4)

其中，j為問題的第j個(gè)維度；a為爬步長；rand為0～1之間的隨機(jī)數(shù)。

(5)

(6)

如果Y在可行域內(nèi)，則用Y替換Xi，否則保持原來的Xi位置不變。

重復(fù)以上步驟，直至達(dá)到爬步驟的迭代終止條件，終止條件的設(shè)置方式有：達(dá)到最大迭代次數(shù)，目標(biāo)函數(shù)值達(dá)到設(shè)定值，或者猴子在一定迭代次數(shù)內(nèi)不再進(jìn)化或進(jìn)化速度小于設(shè)定值。

c.望-跳過程。

當(dāng)猴子爬到所在山頭的山頂之后，會向四周張望，以觀察附近四周是否有更高的山頭。由于猴子的視野有限，無法獲得定義域內(nèi)所有位置的信息。如果存在更高的山峰，則轉(zhuǎn)移到該位置，對新的區(qū)域進(jìn)行探索。

猴群望-跳尋找新區(qū)域的過程可以用下式進(jìn)行描述：

Y=rand(Xi-b，Xi+b)

(7)

在猴群的視野范圍[Xi-b，Xi+b]內(nèi)尋找新的位置，其中rand為隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)。

然后判斷生成的Y是否位于可行域內(nèi)并且滿足Y處的目標(biāo)函數(shù)值比當(dāng)前點(diǎn)更優(yōu)，則將Y替換當(dāng)前點(diǎn)；兩個(gè)條件不滿足任意一個(gè)，則繼續(xù)在視野范圍內(nèi)生成隨機(jī)點(diǎn)，直至滿足兩個(gè)條件。

d.空翻過程。

猴群到達(dá)山頂后，除了會瞭望附近更高的山峰，還會空翻至鄰近區(qū)域，然后對新的區(qū)域進(jìn)行探索，以增加找到可行域內(nèi)最高山峰的概率。空翻過程屬于對未知領(lǐng)域的探索過程，因此相較于望-跳過程，該過程只需要空翻的位置在可行域內(nèi)即可，并不要求空翻的位置目標(biāo)函數(shù)值優(yōu)于當(dāng)前點(diǎn)。

猴群采用如下方式空翻至新位置：

確定當(dāng)前猴群的重心P:

(8)

其中,M為猴群中猴子的總數(shù)。以P為支點(diǎn)，空翻至新的位置Y：

Y=Xi+α(P-Xi)

(9)

其中,α為空翻的控制參數(shù)，α=rand(c，d)，c和d為空翻上的下界。如果Y位于可行域內(nèi)，則將Y替換Xi,否則重新生成Y，直至生成滿足條件的Y。

標(biāo)準(zhǔn)猴群算法的流程如圖1所示。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)猴群算法流程圖

3 信息共享猴群算法(IMA)

3.1 改進(jìn)思想

從標(biāo)準(zhǔn)的猴群算法中可以看出，猴群內(nèi)不同的個(gè)體之間不存在信息交流，僅在空翻過程中，在計(jì)算空翻支點(diǎn)時(shí)提供一個(gè)分量，每只猴子在自己的山頭進(jìn)行探索，這樣一方面會導(dǎo)致計(jì)算資源的浪費(fèi)，猴群中每個(gè)猴子對附近的猴子無法感知，無法將自己已經(jīng)探索的區(qū)域信息分享給其他個(gè)體，從而降低了猴群的整體搜索效率。另一方面，由于猴群算法中個(gè)體之間無信息交流，因此在爬的過程中，可能存在多個(gè)猴子位于同一個(gè)區(qū)域，造成同一個(gè)區(qū)域被多個(gè)個(gè)體探索，且探索結(jié)果相同的問題，造成計(jì)算資源的浪費(fèi)。為避免這一問題，現(xiàn)有算法多是采用減少猴子個(gè)體，從而避免多個(gè)猴子位于同一個(gè)區(qū)域內(nèi)，然而由于猴群算法主要是為了解決高維問題，猴群數(shù)量過少對前期搜索速度影響不大，但是在算法的后期需要多次望、爬過程才能收斂到全局最優(yōu)。

3.2 改進(jìn)策略

針對以上問題，本文提出了基于信息共享的改進(jìn)猴群算法，在猴群迭代過程中，增加猴群間個(gè)體距離監(jiān)控機(jī)制，根據(jù)猴群的聚集程度，適時(shí)地進(jìn)行信息分享和猴子淘汰機(jī)制。

a.猴群距離矩陣

由于在猴群算法中，猴子的爬過程以及望過程中，個(gè)體行為僅與所處位置有關(guān)，因此當(dāng)猴群中任意兩個(gè)或多個(gè)猴子距離較近時(shí)，多個(gè)個(gè)體的前進(jìn)方向類似，造成計(jì)算資源浪費(fèi)。為了避免該情況的發(fā)生，采用距離矩陣對個(gè)體之間的相對關(guān)系進(jìn)行監(jiān)控，為后續(xù)行為提供依據(jù)。

(10)

其中，DM為猴群距離矩陣；DMij代表猴群中第i個(gè)猴子和第j個(gè)猴子之間的距離，通?？梢杂脷W式距離、馬氏距離或者余弦距離。本文選用耗時(shí)最少的歐式距離來判別個(gè)體之間的距離。其中，DM矩陣的對角元素均為0，因此在計(jì)算矩陣內(nèi)最小元素時(shí)，將對角元素去除。

b.信息共享

標(biāo)準(zhǔn)猴群中，空翻時(shí)全部個(gè)體的空翻支點(diǎn)相同，這樣導(dǎo)致兩個(gè)位于支點(diǎn)兩側(cè)的個(gè)體存在交換位置的可能，如圖2所示，1號個(gè)體和2號個(gè)體位于重心兩側(cè)，因此在空翻過程中，兩個(gè)個(gè)體的行進(jìn)方向一致，如果兩個(gè)個(gè)體行進(jìn)至相同位置或者交換位置則造成重復(fù)搜索，或者兩個(gè)個(gè)體共同搜索一個(gè)位置，造成冗余。因此，本文提出在空翻過程中增加位置矩陣(見公式11)，共享位置搜索信息，當(dāng)信息相同或者相近時(shí)，根據(jù)個(gè)體表現(xiàn)，選擇進(jìn)入后續(xù)程序的個(gè)體，而其他個(gè)體進(jìn)入冬眠階段，節(jié)省計(jì)算資源。

圖2 標(biāo)準(zhǔn)猴群算法中空翻示意圖

(11)

其中，S為空翻信息矩陣;Sij為猴群中第i個(gè)個(gè)體和第j個(gè)個(gè)體的望過程位置之間的距離。當(dāng)S矩陣內(nèi)任意一個(gè)值小于設(shè)定值時(shí)，則判定望過程搜索存在冗余，根據(jù)冗余位置，選擇合適的個(gè)體對該位置進(jìn)行探索。本文選擇在上一步迭代時(shí)，距離該位置較遠(yuǎn)的個(gè)體對該區(qū)域進(jìn)行探索(進(jìn)行后續(xù)的爬程序)，這樣是為了增加個(gè)體探索范圍，同猴群距離矩陣，空翻信息矩陣的對角元素也全為0，在計(jì)算時(shí)，應(yīng)將其排除。

c.猴群數(shù)量消減

在高維問題中，猴群數(shù)量的增加有助于提高找到全局最優(yōu)的概率，但是在算法迭代后期，過多的個(gè)體并不會提高解的精度，如圖3所示。因此，本文根據(jù)個(gè)體的聚集度來判斷迭代程度，當(dāng)多個(gè)個(gè)體之間的距離小于設(shè)定值時(shí)，則計(jì)算多個(gè)個(gè)體的重心，然后將距離最近的個(gè)體保留，其他個(gè)體遺棄。

圖3 猴群位置與猴群重心關(guān)系示意圖

3.3 算法流程

基于信息共享猴群算法增加了距離矩陣和個(gè)體空翻信息矩陣，并根據(jù)這兩個(gè)矩陣來對個(gè)體的數(shù)量以及迭代方式進(jìn)行調(diào)整，從而達(dá)到節(jié)省計(jì)算資源和提高算法尋優(yōu)精度的目的，改進(jìn)后的算法流程如圖4所示，具體步驟如下：

Step1：在可行域內(nèi)初始化一群個(gè)體，由于在后續(xù)的算法流程中有種群縮減流程，因此該步驟中可以增加種群數(shù)量，這樣并不會明顯增加計(jì)算時(shí)間，但會提高找到全局最優(yōu)的概率；

Step2：猴群進(jìn)行爬過程，這一步驟同標(biāo)準(zhǔn)猴群算法相同；

Step3：猴群進(jìn)行望過程，這一步驟同標(biāo)準(zhǔn)猴群算法相同；

Step4：根據(jù)個(gè)體之間的DM距離矩陣，選擇淘汰的個(gè)體，將其從猴群中去除，然后選擇剩余個(gè)體進(jìn)入下一步驟；

Step5：選擇猴群中剩余個(gè)體進(jìn)行爬過程；

Step6：根據(jù)個(gè)體所處位置及對應(yīng)目標(biāo)函數(shù)值，判斷是否滿足迭代終止條件，如果是，則終止迭代，輸出結(jié)果，否則進(jìn)入空翻過程；

Step7：根據(jù)猴群所處位置以及設(shè)定的空翻界限，對剩余的每個(gè)猴子進(jìn)行空翻過程；

Step8：根據(jù)上一步驟的空翻位置，分析S矩陣，然后選擇進(jìn)入下一步驟的個(gè)體；

Step9：重復(fù)Step2-Step8，直至滿足迭代終止條件。

圖4 信息共享猴群算法的流程圖

3.4 數(shù)值算例

為檢驗(yàn)改進(jìn)算法的有效性，采用單峰值函數(shù)來驗(yàn)證算法的尋優(yōu)速度和尋優(yōu)精度，采用高維多峰值函數(shù)來驗(yàn)證算法跳出局部最優(yōu)尋找全局最優(yōu)的能力，所選取的函數(shù)如表1所示，具體的算法設(shè)置見表2。

表1 測試函數(shù)的基本信息表Table1 Basicinformationoftestfunctio函數(shù)名稱函數(shù)表達(dá)式維度搜索范圍最優(yōu)值Rosenbrockf1x()=∑N-1i=1[(1-xi)2+100(xi+1-x2i)2]30[-5,10]f11,1,…,1()=0Spheref2x()=∑ni=1x2i30[-100,100]f20,0,…,0()=0Rastrginf3x()=∑ni=1[x2i-10×cos(2πxi)+10]30[-5.12,5.12]f30,0,…,0()=0Griewankf4x()=14000∑ni=1x2i- ni=1cosxii()+130[-600,600]f40,0,…,0()=0Ackleyf5X()=-20×exp-0.2×1S∑Si=1x2i()-exp(1S∑Si=1cos2πxi)+20+e30[-32,32]f60,0,…,0()=0

表2 算法參數(shù)設(shè)置信息Table2 Parametersettingofthealgorithm算法變量值MAIMA初始猴群規(guī)模500500爬步長0.0010.001望-跳次數(shù)22空翻界限[-1,1][-1,1]兩個(gè)個(gè)體之間允許最小距離/1e-3

兩種算法各獨(dú)立運(yùn)行100次，統(tǒng)計(jì)其在每個(gè)測試函數(shù)上的表現(xiàn)，如表3所示。

分析可知，相比于標(biāo)準(zhǔn)猴群算法，增加距離矩陣和信息交流機(jī)制的改進(jìn)猴群算法運(yùn)行時(shí)間變化不大，但在均值和尋找到的最優(yōu)解上均表現(xiàn)更好。在單峰值函數(shù)Sphere上，兩種算法的尋優(yōu)結(jié)果十分接近，但信息共享猴群算法的計(jì)算時(shí)間更少，這是由于在單峰值問題中，多個(gè)個(gè)體之間的距離過近，導(dǎo)致一些個(gè)體被消減，從而減少了運(yùn)行時(shí)間。在多峰值問題中，由于信息共享猴群算法提高了個(gè)體的利用率，使得冗余情況得到了很好的改善，從而尋找到了更優(yōu)的解。

表3 兩種算法在不同函數(shù)上的測試結(jié)果對比Table3 Comparisonoftestresultsoftwoalgorithmsondifferentfunctions函數(shù)最優(yōu)解均值時(shí)間MAIMAMAIMAMAIMARosenbrock9.42e35.56e-16.53e48.76e12.792.98Sphere6.21e-129.25e-163.55e-76.28e-152.362.54Rastrgin8.72e29.87e-36.27e8695.87e-22.712.16Griewank2.54e31.54e17.09e38.20e04.154.84Ackley3.87e22.09e-32.68e49.27e-13.503.45

圖5 全橋總體布置圖

4 工程案例

4.1 工程概況

以某主跨926 m的雙塔雙索面混合梁斜拉橋?yàn)檠芯繉ο?，該橋全長1 476 m，橋跨布置如圖5所示。其中邊跨采用混凝土箱梁，中跨為鋼箱梁，鋼-混結(jié)合段位于中跨距橋塔12.5 m處。全橋共設(shè)置240根斜拉索，采用雙索面扇形形式布置。橋梁橫斷面如圖6所示。

圖6 橋梁橫斷面布置圖

4.2 結(jié)構(gòu)有限元模型

采用ANSYS建立全橋三維有限元模型，全橋共有1 135個(gè)節(jié)點(diǎn)，1 894個(gè)單元，其中主塔、主梁和橋墩選用Beam188單元模擬，斜拉索選用Link10單元模擬。采用節(jié)點(diǎn)耦合的方法對斜拉索與主塔和主梁間的連接進(jìn)行模擬，同時(shí)考慮結(jié)構(gòu)恒載的幾何剛度，有限元模型如圖7所示。

圖7 橋梁結(jié)構(gòu)有限元模型

4.3 索力優(yōu)化過程與結(jié)果分析

全橋共有240根斜拉索，由于結(jié)構(gòu)和荷載均為對稱結(jié)構(gòu)，因此取四分之一結(jié)構(gòu)，60根斜拉索進(jìn)行優(yōu)化，而優(yōu)化60個(gè)參數(shù)屬于高維問題，常規(guī)優(yōu)化算法無法找到全局最優(yōu)解，因此采用信息共享猴群算法進(jìn)行索力優(yōu)化,測試算法在實(shí)際工程中表現(xiàn)。

在優(yōu)化目標(biāo)中，加權(quán)值φ1、φ2分別取1.0、0.8；約束條件中，主梁豎向、橋塔橫向和橋塔縱向位移限值分別取300、200、250 mm，算法參數(shù)設(shè)置信息見表2。

同時(shí)采用標(biāo)準(zhǔn)猴群算法(MA)和信息共享猴群算法(IMA)進(jìn)行成橋索力優(yōu)化，優(yōu)化結(jié)果如圖8與圖9所示。

圖8 優(yōu)化前后主梁彎矩值變化對比

圖9 優(yōu)化前后主塔彎矩值變化對比

從圖中可以看出，索力經(jīng)過優(yōu)化后，主梁彎矩具有明顯的下降，并且IMA算法的優(yōu)化結(jié)果優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)MA算法，表明增加信息交流機(jī)制后，算法能跳出一些局部最優(yōu)。經(jīng)過IMA優(yōu)化后，結(jié)構(gòu)的主梁彎曲應(yīng)變能降低了43.2%，結(jié)構(gòu)受力更加合理。鋼-混結(jié)合處的的彎矩值下降了18.6%，對于混合梁斜拉橋而言，此處的受力較為復(fù)雜，因此，降低鋼-混結(jié)合段的彎矩，可以有效提高橋梁結(jié)構(gòu)的安全性。且由于將塔頂?shù)乃轿灰谱鳛榭刂浦笜?biāo)，因此主塔的彎矩值下降更為明顯。

5 結(jié)論

為使得大跨徑混合梁斜拉橋受力更加合理，提出了以全橋應(yīng)變能與鋼-混結(jié)合段處的彎矩作為優(yōu)化目標(biāo)，以群智能優(yōu)化算法為手段的斜拉橋索力優(yōu)化方案，針對問題的高維特性，采用了對高維問題具有良好效果的猴群算法，并針對猴群算法中存在的搜索冗余問題采取增加信息交流機(jī)制進(jìn)行改進(jìn)，并采用數(shù)值算例驗(yàn)證了改進(jìn)后信息共享猴群算法的可行性，然后將其應(yīng)用于實(shí)際工程案例，對比分析結(jié)果，主要得出以下結(jié)論：

a.在猴群算法中增加信息交流機(jī)制后，算法在單、多峰值尋優(yōu)問題中均表現(xiàn)更優(yōu)，尋優(yōu)精度得到了很大的提升，同時(shí)由于減少了計(jì)算冗余，因此即使增加了距離判斷等計(jì)算步驟，總的計(jì)算時(shí)間與標(biāo)準(zhǔn)猴群算法相近。

b.經(jīng)過索力優(yōu)化，全橋應(yīng)變能下降了43.2%，主塔的最大彎矩由12.8×108kN·m降低到了3.5×106kN·m。可見優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)受力更加合理，主要承受壓力的主塔的最大彎矩值明顯下降，提高了結(jié)構(gòu)的安全性。