藍(lán)失諧驅(qū)動(dòng)下雙腔光力系統(tǒng)中的光學(xué)非互易性*

張利巍 李賢麗? 楊柳

1) (東北石油大學(xué)電子科學(xué)學(xué)院, 大慶 163318)

2) (哈爾濱工程大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院, 哈爾濱 150001)

1 引 言

非互易光學(xué)器件在光源和接收器調(diào)換位置后可以使光信號(hào)表現(xiàn)出不同的傳輸特性.由于其可以抑制多余的信號(hào), 因此在量子信號(hào)處理和量子通信中有著重要的應(yīng)用.例如, 在量子超導(dǎo)電路中它們可以保護(hù)信號(hào)源不被讀取器件發(fā)出的噪聲干擾[1].為實(shí)現(xiàn)光學(xué)非互易性, 時(shí)間反演對(duì)稱性破缺是必須的.傳統(tǒng)的非互易性光學(xué)器件都是依賴 強(qiáng)磁場(chǎng)去實(shí)現(xiàn)時(shí)間反演對(duì)稱性破缺[2].然而由于需要較強(qiáng)磁場(chǎng), 這些傳統(tǒng)器件體積往往較大, 不便于微型化和集成化.近年來(lái)由于納米技術(shù)的進(jìn)步, 使微納系統(tǒng)中光學(xué)現(xiàn)象得到廣泛研究[3-7].腔光力學(xué)系統(tǒng)中的光輻射壓力可以使系統(tǒng)呈現(xiàn)出各種有趣的量子現(xiàn)象.例如, 腔光力學(xué)系統(tǒng)中的量子糾纏[8-16], 力學(xué)振子的基態(tài)冷卻[17-21], 光力誘導(dǎo)透明[22-26]以及非線性效應(yīng)[26-33]和聲子阻塞[34]等量子現(xiàn)象.最近,人們意識(shí)到光力耦合相互作用也可以產(chǎn)生光學(xué)非互易傳輸現(xiàn)象.例如通過(guò)光力相互作用可以產(chǎn)生非互易光學(xué)反應(yīng)在理論上被預(yù)言[35-37], 并在實(shí)驗(yàn)上得到證實(shí)[38-42].并在理論上指出如果采用適當(dāng)?shù)尿?qū)動(dòng)場(chǎng), 以力學(xué)模為中介的兩個(gè)腔模之間的態(tài)轉(zhuǎn)換可以是非互易的[43-45], 以及通過(guò)光力耦合相互作用可以實(shí)現(xiàn)信號(hào)非互易放大現(xiàn)象[46-48].在文獻(xiàn)[49,50]中, 理論上給出了通過(guò)光力相互作用可以實(shí)現(xiàn)非互易光子阻塞效應(yīng), 以及在文獻(xiàn)[51]中, 作者理論上指出通過(guò)光力相互作用可以實(shí)現(xiàn)非互易慢光.另外, 在文獻(xiàn)[52,53]中, 作者理論上預(yù)言了通過(guò)光力耦合可以實(shí)現(xiàn)聲子環(huán)形器和熱二極管.然而在大部分文獻(xiàn)當(dāng)中人們常常采用紅失諧的驅(qū)動(dòng)場(chǎng)和的非互易相位差去實(shí)現(xiàn)光學(xué)非互易性.

本文研究了在藍(lán)失諧驅(qū)動(dòng)下, 在雙腔光力系統(tǒng)(如圖1所示)中如何實(shí)現(xiàn)光場(chǎng)的非互易傳輸.在此模型中, Li等[48]利用力學(xué)驅(qū)動(dòng)機(jī)制實(shí)現(xiàn)了光的非互易放大, 并在紅失諧驅(qū)動(dòng)下, 利用的非互易相位差去實(shí)現(xiàn)光學(xué)非互易性[43].實(shí)際上, 此系統(tǒng)中的光學(xué)非互易性源于光力耦合和腔模線性耦合的共同作用, 使從不同路徑傳輸?shù)墓庑盘?hào)之間產(chǎn)生干涉效應(yīng).本文根據(jù)此物理機(jī)理并由腔光力學(xué)中標(biāo)準(zhǔn)的光場(chǎng)輸入輸出關(guān)系, 得到了實(shí)現(xiàn)完美的非互易光傳輸條件.研究發(fā)現(xiàn), 在系統(tǒng)中各耗散速率一定的情況下, 會(huì)有兩套耦合強(qiáng)度可以實(shí)現(xiàn)光學(xué)非互易傳輸, 并且即使在非互易相位差不為時(shí)系統(tǒng)依然可以實(shí)現(xiàn)完美光學(xué)非互易性.最后根據(jù)勞斯-霍爾維茨(Routh-Hurwitz)穩(wěn)態(tài)判據(jù)給出了系統(tǒng)在藍(lán)失諧驅(qū)動(dòng)下的穩(wěn)定條件.這些研究結(jié)果有望能應(yīng)用于在光力系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)光頻隔離器、非互易態(tài)轉(zhuǎn)換等量子信息處理過(guò)程.

2 理論模型與主要公式

本文研究了一個(gè)雙腔光力學(xué)系統(tǒng), 如圖1所示, 左右兩個(gè)光學(xué)腔與中間一個(gè)力學(xué)振子通過(guò)光力相互作用耦合;ci(ω0)和b(ωm)分別表示光學(xué)腔i和力學(xué)振子的湮滅算符(本征頻率);κi和γ分別表示光腔i和力學(xué)振子的弛豫速率.兩個(gè)頻率均為ωc(ωp)、振幅分別為εc和εd(εL和εR)的強(qiáng)驅(qū)動(dòng)場(chǎng)(弱探測(cè)場(chǎng)) 分別從左右兩側(cè)射入并驅(qū)動(dòng)腔模c1和c2.同時(shí)左右兩腔之間由線性相互作用相耦合,J為線性耦合強(qiáng)度.在相對(duì)驅(qū)動(dòng)場(chǎng)頻率ωc做旋轉(zhuǎn)后, 系統(tǒng)的哈密頓量(?=1)可寫(xiě)為

其 中Δc=ω0-ωc(Δ=ωp-ωc)為腔模 (探測(cè)場(chǎng))與驅(qū)動(dòng)場(chǎng)之間的失諧,gi為光學(xué)腔i與力學(xué)振子之間的單光子耦合常數(shù).實(shí)際上, 此三模光力耦合系統(tǒng)在實(shí)驗(yàn)上是可行的, 如在法布里-珀羅(Fabry-Pérot)腔中加入力學(xué)膜的實(shí)驗(yàn)裝置, 見(jiàn)文獻(xiàn)[54-56].

圖1 雙腔光力學(xué)系統(tǒng)示意圖, 兩光學(xué)腔通過(guò)光力相互作用與一個(gè)力學(xué)振子相耦合, 振幅為 εc 和 εd (εL 和 ε R)的強(qiáng)耦合場(chǎng) (探測(cè)場(chǎng))分別從左右兩側(cè)驅(qū)動(dòng)腔模 c1 和 c2 , 同時(shí)兩腔模之間存在線性耦合相互作用JFig.1.A two-cavity optomechanical system with a mechanical resonator interacted with two cavities.Two strong coupling fields (probe fields) with amplitudes εc and εd (εL and εR) are used to drive cavity c1 and c2 respectively.Meanwhile, the two cavities are linearly coupled to each other with coupling strength J.

根據(jù)海森伯-郎之萬(wàn)方程, 由系統(tǒng)哈密頓量(1)式可得系統(tǒng)相關(guān)算符的運(yùn)動(dòng)方程為:

在沒(méi)有探測(cè)場(chǎng)時(shí), 根據(jù)假設(shè) 〈bci〉=〈b〉〈ci〉 , 可以得出各算符的穩(wěn)態(tài)平均值為:

其中G1=g1c1s,G2=g2c2se-iθ.由等式(3)可知,通過(guò)調(diào)節(jié)驅(qū)動(dòng)εc和εd可以有效調(diào)節(jié)光力耦合g1c1s和g2c2s之間的非互易相位差θ(即調(diào)節(jié)驅(qū)動(dòng)場(chǎng)εc和εd的強(qiáng)度和相位可以使c1s為實(shí)數(shù), 而此時(shí)c2s的輻角便是非互易相位差θ).為簡(jiǎn)化, 本文只討論相等耦合G1=G2=G和κ1=κ2=κ, 并 且 設(shè)G(J)＞0.本文討論藍(lán)失諧驅(qū)動(dòng), 即(Δ1≈ Δ2≈-ωm), 并假設(shè)力學(xué)振子頻率ωm遠(yuǎn)大于耦合強(qiáng)度G, 則方程(4)可以化簡(jiǎn)為

由νin的形式可以假設(shè)方程(5)的解具有 δs=δs+e-ixt+ δs-eixt(s=b,c1,c2)的形式, 經(jīng)計(jì)算可得

其中γx=γ-2ix,κx=κ-2ix,δs-=0.

系統(tǒng)產(chǎn)生光學(xué)非互易性的物理根源是時(shí)間反演對(duì)稱發(fā)生破缺, 這點(diǎn)也可從(5)式看出, 運(yùn)動(dòng)方程(5)式對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)等效哈密頓量為Heff=Gδc1δb+當(dāng)θ=nπ (n為 整數(shù))時(shí), 時(shí)間反演算符T與等效哈密頓算符Heff不對(duì)易, 即 [T,H]=0.為研究系統(tǒng)的光學(xué)非互易性,首先必須要求出系統(tǒng)左右兩側(cè)的輸出光場(chǎng)和.輸出場(chǎng)可由光力學(xué)中的輸入輸出關(guān)系[57,58]得出, 即

3 完美光學(xué)非互易性

當(dāng)系統(tǒng)呈現(xiàn)出完美的光學(xué)非互易性時(shí), 傳輸振幅Ti→j(i,j=L,R)應(yīng)滿足

完美非互易性就意味著信號(hào)可以從系統(tǒng)的一側(cè)完全傳輸?shù)搅硪粋?cè), 而另一側(cè)的信號(hào)卻一點(diǎn)也不可以傳輸過(guò)來(lái).(10)式和(11)式代表光頻隔離的兩個(gè)不同的方向.本文只討論(10)式, 因?yàn)閷?duì)(11)式的討論是類似的.下標(biāo)表示沒(méi)有信號(hào)從右側(cè)/左側(cè)輸入.我們將忽略這些下標(biāo), 因?yàn)橐话銇?lái)說(shuō)完美非互易性只討論單側(cè)輸入的情況, 并且為方便將Ti→j簡(jiǎn)寫(xiě)為T(mén)ij.

由(7)式和(9)式可得輸出場(chǎng)為

由(12)式可以看出, 當(dāng)非互易相位差θ=nπ (n為整數(shù))時(shí), 兩輸出場(chǎng)相等, 這說(shuō)明光子傳輸是互易的.而當(dāng)θ=nπ 時(shí), 兩輸出場(chǎng)不再相等, 即系統(tǒng)呈現(xiàn)出光學(xué)非互易性.由(12)式可看出系統(tǒng)的非互易性來(lái)源于光力耦合相互作用G和腔模線性耦合相互作用J之間的量子相干效應(yīng).由(12)式可得出(10)式成立時(shí)失諧x和線性耦合強(qiáng)度J必須滿足的條件為:

把(13)式中的J代入(14)式中, 得到

由(10)式和(15)式, 可以得出系統(tǒng)出現(xiàn)完美非互易性時(shí), 耦合強(qiáng)度G和J必須滿足:

由于系統(tǒng)處于藍(lán)失諧驅(qū)動(dòng)下, 在某些條件下系統(tǒng)會(huì)不穩(wěn)定.系統(tǒng)要穩(wěn)定, 矩陣M(見(jiàn)(6)式)的本征值一定具有負(fù)實(shí)部.根據(jù)勞斯-霍爾維茨(Routh-Hurwitz)穩(wěn)態(tài)判據(jù)[59], 可以得出具體的穩(wěn)定條件如下:

系統(tǒng)所有的參數(shù)必須滿足(17)式.由(17)式可知,當(dāng)耦合G=G-時(shí), 系統(tǒng)始終都是穩(wěn)定的, 而當(dāng)G=G+時(shí), 系統(tǒng)參數(shù)只有滿足以下條件時(shí)系統(tǒng)才是穩(wěn)定的:

4 結(jié) 論

本文研究了雙腔光力學(xué)系統(tǒng)在藍(lán)失諧驅(qū)動(dòng)下的光學(xué)非互易性.由系統(tǒng)中的光力耦合相互作用G和腔模線性耦合相互作用J之間的量子相干效應(yīng), 在某些條件下, 可以使系統(tǒng)呈現(xiàn)出完美的光學(xué)非互易現(xiàn)象.首先研究了非互易相位差的情況, 研究發(fā)現(xiàn), 當(dāng)系統(tǒng)中各耗散速率(力學(xué)耗散速率γ和腔模耗散速率κ)一定的情況下, 會(huì)有兩組耦合強(qiáng)度(G=G±和J=J±)均可使系統(tǒng)出現(xiàn)完美非互易性.由于系統(tǒng)處于藍(lán)失諧驅(qū)動(dòng)下, 會(huì)使系統(tǒng)出現(xiàn)非穩(wěn)現(xiàn)象, 根據(jù)勞斯-霍爾維茨(Routh-Hurwitz)穩(wěn)態(tài)判據(jù)我們給出了系統(tǒng)的穩(wěn)定條件,這種非穩(wěn)現(xiàn)象也表現(xiàn)為非互易傳輸譜線會(huì)出現(xiàn)增益現(xiàn)象(譜線幅值大于1).我們還發(fā)現(xiàn)當(dāng)γ?κ時(shí),非互易傳輸譜線的線寬 Δω∝γ, 即當(dāng)力學(xué)振子耗散速率很小時(shí), 非互易傳輸譜線將會(huì)變得很狹窄.最后研究了更一般的非互易相位差的情況并給出了實(shí)現(xiàn)完美非互易傳輸?shù)谋匾獥l件.這些研究結(jié)果有望能應(yīng)用于光力系統(tǒng)中量子態(tài)轉(zhuǎn)換、非互易傳輸?shù)攘孔有畔⑻幚磉^(guò)程.