基于動(dòng)磁測(cè)量與BFGS法求解的魚雷近場(chǎng)定位算法

李 偉，李 斌2，鄧 鵬，許 政

(1.海軍潛艇學(xué)院 戰(zhàn)略導(dǎo)彈與水中兵器系，山東 青島 266100； 2.西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院，陜西 西安 710000)

隨著海洋科學(xué)及水中兵器的不斷發(fā)展，水下目標(biāo)定位領(lǐng)域越來越受到人們的重視，在水下無人潛航器的探測(cè)、海洋勘探、水中兵器試驗(yàn)與靶場(chǎng)建設(shè)方面有重要意義。利用水下定位技術(shù)，可判斷我艦附近有無敵偵查兵力；可試驗(yàn)新研發(fā)水中兵器自導(dǎo)能力，測(cè)量其全彈道軌跡及脫靶量，為武器的成功研制與定型提供助力；可使武器試驗(yàn)靶場(chǎng)有更全面的手段測(cè)試武器性能等重要作用。

利用水聲手段可定位水下運(yùn)動(dòng)目標(biāo)前、中段的航跡，在目標(biāo)遠(yuǎn)場(chǎng)測(cè)量上更有優(yōu)勢(shì)，有超短基線測(cè)量系統(tǒng)，短基線測(cè)量系統(tǒng)，長(zhǎng)基線測(cè)量系統(tǒng)等，配合以衛(wèi)星定位，可以實(shí)現(xiàn)精度較高的水下定位[1-3]。這些測(cè)量系統(tǒng)組件龐大，需要在特定海域海底鋪設(shè)水聲應(yīng)答器，在水面測(cè)量艦船底部安裝換能器，在水下運(yùn)動(dòng)目標(biāo)上面安裝水聲收發(fā)器，限制了試驗(yàn)海區(qū)與特定的水下目標(biāo)，使得系統(tǒng)建造與維護(hù)成本巨大。水下運(yùn)動(dòng)目標(biāo)近場(chǎng)測(cè)量時(shí)，例如武器過靶彈道及脫靶量測(cè)量，水聲定位方法不能滿足其要求，測(cè)量精度會(huì)急速降低，這是因?yàn)樗媾炌Ц浇晥?chǎng)環(huán)境復(fù)雜，艦船噪音、環(huán)境噪音與海洋混響為水聲定位帶來困難，使該方法難以測(cè)量武器末彈道與脫靶量信息，這為靶場(chǎng)建設(shè)、全彈道測(cè)量與新武器研發(fā)帶來困難[4-5]。

在測(cè)量距離遠(yuǎn)大于目標(biāo)形體尺寸時(shí)，可將目標(biāo)看作磁偶極子模型，利用測(cè)得的三分量磁場(chǎng)強(qiáng)度值可反演出目標(biāo)的位置實(shí)現(xiàn)定位。文獻(xiàn)[6]提出了一種利用單個(gè)空間點(diǎn)的磁場(chǎng)強(qiáng)度及磁場(chǎng)梯度建立線性方程的方法，該方法計(jì)算方式更為簡(jiǎn)單，但非線性問題完全線性化會(huì)使得測(cè)量精度不能得到滿足，且單個(gè)空間點(diǎn)獲得的數(shù)據(jù)過于單一，降低了定位可信程度。文獻(xiàn)[7]基于磁偶極子模型設(shè)計(jì)了一種用二次差分矩陣法(SDMM)和頻譜匹配法(FDMM)進(jìn)行目標(biāo)定位與參數(shù)估計(jì)的方法，磁測(cè)系統(tǒng)海湖試驗(yàn)或工程應(yīng)用時(shí)，用于測(cè)量的陣列中傳感器數(shù)目有限，可以用于參數(shù)估計(jì)的數(shù)據(jù)量有限，小樣本統(tǒng)計(jì)會(huì)降低參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確度。文獻(xiàn)[8]提出了一種基于三維場(chǎng)的兩點(diǎn)法測(cè)量輻射磁矩，其偶極子反演模型也與之匹配，但該方法必須使傳感器陣元處在輻射源的徑向，無法對(duì)水下高速運(yùn)動(dòng)機(jī)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行定位。

本文設(shè)計(jì)了一種新的磁偶極子反演定位算法，該算法基于磁傳感器陣列測(cè)得的水下異常動(dòng)磁場(chǎng)磁場(chǎng)強(qiáng)度值，利用目標(biāo)固有磁場(chǎng)實(shí)現(xiàn)被動(dòng)測(cè)量，豐富了彈道測(cè)量中末彈道近場(chǎng)測(cè)量方式。目標(biāo)磁感應(yīng)曲線是閉合曲線，目標(biāo)磁場(chǎng)輻射范圍較近，這為目標(biāo)的高精度定位提供了基礎(chǔ)；借助電磁噪音抑制與電磁兼容技術(shù)，艦船附近磁場(chǎng)環(huán)境比聲場(chǎng)環(huán)境更易于實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的近場(chǎng)定位；此外，相對(duì)水聲定位系統(tǒng)而言，該測(cè)量系統(tǒng)的構(gòu)建成本較低，維護(hù)與升級(jí)也更為簡(jiǎn)單。

1 基于動(dòng)磁測(cè)量的近場(chǎng)定位實(shí)現(xiàn)

水下目標(biāo)磁場(chǎng)以固定頻率輻射展開，可以很好地與艦船設(shè)備造成的干擾磁場(chǎng)區(qū)分，通過濾波與降噪，可大幅度降低環(huán)境干擾，使目標(biāo)磁場(chǎng)信號(hào)更為凸顯。首先采用帶通濾波提取出目標(biāo)的交變磁場(chǎng)信息，然后運(yùn)用同頻同相的線性解調(diào)方法將交變磁場(chǎng)信息轉(zhuǎn)換為類似于靜態(tài)磁場(chǎng)的幅度變化曲線，再采用磁偶極子模型反演出目標(biāo)的位置信息和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)[9-10]。

1.1 環(huán)電流下的磁偶極子模型

依據(jù)磁偶極子輻射規(guī)律與近場(chǎng)空間各點(diǎn)磁場(chǎng)強(qiáng)度計(jì)算方法，可將水下目標(biāo)產(chǎn)生的磁場(chǎng)看作磁偶極子模型，環(huán)電流I產(chǎn)生的磁偶極子示意圖如圖1所示，其中空間任意一點(diǎn)M的球坐標(biāo)為(r,φ,θ)，半徑為R的環(huán)電流產(chǎn)生的磁矩如式(1)所示。

圖1 環(huán)電流產(chǎn)生的磁偶極子

Pm=I·S·n

(1)

式中，S為環(huán)電流的面積,n為環(huán)電流平面的法向量。由文獻(xiàn)[6]知磁偶極子軸向產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(2)

可以看出磁偶極子產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小與磁矩大小成正比，與距離的三次方成反比，即磁感應(yīng)強(qiáng)度大小以距離r三次方的速率衰減。而磁偶極子在任意空間點(diǎn)M產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為[6]

(3)

1.2 目標(biāo)交變信號(hào)變換與預(yù)處理

假設(shè)交變磁場(chǎng)信號(hào)為H0cos(ωt+ρ)，首先將采集的磁場(chǎng)信號(hào)通過傅里葉變換求出磁場(chǎng)信號(hào)的頻率f，可得ω=2πf。然后將原始信號(hào)分別乘以sin(ωt)和cos(ωt)，可以得到Sa(t)和Sb(t)的關(guān)系式：

Sa(t)=H0cos(ωt+ρ)·sinωt

(4)

Sb(t) =H0cos(ωt+ρ)·cosωt

(5)

分別將Sa(t)和Sb(t)通過低通濾波器，濾掉交流部分后通過三角函數(shù)反正切函數(shù)即可求得原始交變磁場(chǎng)信號(hào)的初始相位ρ，其具體求解過程如圖2所示。

圖2 初始相位的求取過程示意圖

將原始信號(hào)H0cos(ωt+ρ)與同頻同相相干載波相乘后得：

Sp(t)=H0cos(ωt+ρ)·cos(ωt+ρ)

(6)

經(jīng)低通濾波后，乘以系數(shù)2便可得到原始交變磁場(chǎng)信號(hào)的幅度H0。對(duì)n個(gè)不同測(cè)點(diǎn)上采集的交變磁場(chǎng)信號(hào)逐一進(jìn)行相干解調(diào)，便可得到交變磁場(chǎng)源運(yùn)動(dòng)過程中信號(hào)幅度H0的變化曲線。

1.3 磁偶極子反演定位算法

建立如圖3所示的坐標(biāo)系，磁偶極子位于空間點(diǎn)P0(x0,y0,z0)，磁偶極矩為[8]

M0=Mx0i+My0j+Mz0k

(7)

圖3 磁偶極子磁場(chǎng)示意圖

它在空間任意一P(x,y,z)點(diǎn)所產(chǎn)生的磁位與磁場(chǎng)分別為

(8)

(9)

由此可得到M0在x方向的磁矩Mx0在P(x,y,z)點(diǎn)沿x，y，z三個(gè)方向所產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度為

(10)

同理可得到My0和Mz0在空間點(diǎn)P(x,y,z)上所產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度為

(11)

(12)

式中，單位采用MSK制，磁場(chǎng)強(qiáng)度的單位為A/m，若令：

(13)

(14)

(15)

則磁偶極矩M0產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度可表示為矩陣形式：

(16)

記為

H0=F0·M0

(17)

目標(biāo)的磁定位問題就是求解下面非線性無約束方程組的最優(yōu)化問題：

(18)

式中，F(xiàn)0為關(guān)于目標(biāo)位置的系數(shù)矩陣;M0為磁場(chǎng)模型的磁矩參數(shù);H0為三分量感應(yīng)式磁通門傳感器測(cè)得的交變磁場(chǎng)信號(hào)經(jīng)過相干解調(diào)后的磁場(chǎng)強(qiáng)度變化曲線;目標(biāo)函數(shù)E0為定位參數(shù)的非線性函數(shù)。

1.4 非線性無約束優(yōu)化計(jì)算方法

在式(18)描述的求解目標(biāo)磁定位問題的無約束非線性優(yōu)化問題中，由于方程呈現(xiàn)一定的非線性，必須選擇合適的機(jī)器學(xué)習(xí)優(yōu)化算法來實(shí)現(xiàn)磁目標(biāo)定位的無差、快速、穩(wěn)定收斂等要求。這里擬采用一種非線性優(yōu)化中的擬牛頓法，配合BFGS算法，該方法是數(shù)值效果最好的擬牛頓法，并且具有全局收斂性與超線性收斂速度，可以實(shí)現(xiàn)磁目標(biāo)定位問題中的多數(shù)據(jù)融合與數(shù)據(jù)快速處理的目標(biāo)。

牛頓法的特點(diǎn)是收斂速度快，迭代次數(shù)少，擬牛頓法在此基礎(chǔ)上引入了Hessian矩陣的近似矩陣，減少Hessian矩陣的計(jì)算中不斷求逆的過程，它的收斂速度介于梯度下降法與牛頓法之間。擬牛頓法適用于非海量數(shù)據(jù)環(huán)境下的優(yōu)化，雖然每次迭代不像牛頓法一樣保證最優(yōu)方向，但是Hessian近似矩陣始終是正定的，因此算法始終朝著最優(yōu)化的方向搜索[11]。

擬牛頓法的基本思想是用Hessian矩陣的某個(gè)近似矩陣來代替，首先泰勒公式如下：

(19)

泰勒公式是用一個(gè)近似多項(xiàng)式來代替復(fù)雜的函數(shù)表達(dá)式。對(duì)于擬牛頓法來說，構(gòu)造二次型：

f(X)=f(Xi+1)+(X-Xi+1)T▽f(Xi+1)+

(20)

忽略高階無窮小部分，進(jìn)而求導(dǎo)得到：

▽f(X)≈▽f(Xi+1)+Hi+1(X-Xi+1)

(21)

令X=Xi，那么得到：

(22)

Bi+1[▽f(Xi+1)-▽f(Xi)]≈Xi+1-Xi

(23)

方程(23)就是擬牛頓方程，所以關(guān)鍵的問題就是如何求解每一步的Bi+1。擬采用BFGS算法計(jì)算，迭代如下[11]：

(24)

(25)

這就是BFGS算法的原理，這樣可以迭代求解每一步的Bi+1，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)磁定位目標(biāo)函數(shù)擬牛頓法的非線性優(yōu)化計(jì)算。

2 動(dòng)磁源定位試驗(yàn)及定位算法效用分析

當(dāng)前不具備海湖水下試驗(yàn)的條件，擬采用陸上試驗(yàn)的方法構(gòu)建系統(tǒng)，驗(yàn)證算法的定位準(zhǔn)確性及擬牛頓法的計(jì)算難易程度。陸上試驗(yàn)是水下系統(tǒng)試驗(yàn)的常用手段，只要滿足一定的條件，也可獲得有參考價(jià)值的規(guī)律。陸上試驗(yàn)時(shí)，必須對(duì)試驗(yàn)環(huán)境做相應(yīng)的要求，試驗(yàn)場(chǎng)地應(yīng)遠(yuǎn)離工廠等電器設(shè)備較多的地域，減少50 Hz工頻及倍頻程的電磁干擾；動(dòng)磁源載體運(yùn)動(dòng)時(shí)必須滿足平穩(wěn)、勻速的要求，減弱運(yùn)動(dòng)振動(dòng)時(shí)傳感器線圈切割地磁磁感線造成的振動(dòng)電磁干擾，在運(yùn)動(dòng)載體上布防減振材料。

2.1 基于磁測(cè)陣列的動(dòng)磁源近場(chǎng)定位試驗(yàn)方法

建立如圖4所示的坐標(biāo)系，將12只感應(yīng)式磁通門傳感器按圖示位置布置，每個(gè)傳感器連接一枚數(shù)據(jù)采集卡，對(duì)采集到的磁信號(hào)進(jìn)行寄存、濾波、格式轉(zhuǎn)換并與上位機(jī)程序通信，為總線提供接口。總線采用CAN卡局域網(wǎng)，收集數(shù)據(jù)與計(jì)算機(jī)進(jìn)行信息交互，為應(yīng)用程序提供命令流與數(shù)據(jù)流通道。上位機(jī)軟件是基于CVI平臺(tái)自主開發(fā)應(yīng)用程序，該平臺(tái)包含很多與測(cè)試、數(shù)據(jù)采集、快速信息處理、信息融合有關(guān)的數(shù)據(jù)庫(kù)與庫(kù)函數(shù)，利于軟件開發(fā)。該程序可以實(shí)現(xiàn)如下功能：選擇通道、波特率、采集頻率、濾波方式；用指示燈的強(qiáng)弱表示各傳感器信號(hào)強(qiáng)度大小，設(shè)置閾值后，高于閾值的信號(hào)燈會(huì)被點(diǎn)亮；用不同顏色曲線顯示各傳感器采集信號(hào)的時(shí)域變化，并將采集到的三分量磁場(chǎng)強(qiáng)度矩陣存儲(chǔ)在計(jì)算機(jī)上，有待后期利用磁偶極子模型反演動(dòng)磁源位置信息。

圖4 動(dòng)磁源相對(duì)磁測(cè)陣列運(yùn)動(dòng)態(tài)勢(shì)圖

動(dòng)磁源采用磁性輻射棒，波形發(fā)生器可產(chǎn)生不同類型的波形信號(hào)，實(shí)驗(yàn)時(shí)采用正弦波，幅值為20 V，頻率為450 Hz，占空比為50%，偏置為0，功放放大倍數(shù)為兩倍。輻射棒產(chǎn)生的磁矩與加在上面的功率成正比，磁場(chǎng)輻射強(qiáng)度與磁矩成正比，與距離的三次方成反比，如式(2)與式(3)所示。

為保證輻射棒可以勻速平穩(wěn)運(yùn)行，減少振蕩誤差，用電動(dòng)車作為載體，將輻射棒置于電動(dòng)車上，下面墊減振材料。磁源運(yùn)動(dòng)軌跡如圖4箭頭所示，輻射棒從7#傳感器附近出發(fā)，向12#運(yùn)動(dòng)，到達(dá)12#后轉(zhuǎn)向1號(hào)，再沿著1#～6#的途徑返回。

試驗(yàn)共進(jìn)行兩次，一次緩速(約3 m/s)，一次快速(約6 m/s)，測(cè)試系統(tǒng)性能與驗(yàn)證磁偶極子反演算法定位準(zhǔn)確性、精度，并在過程中實(shí)時(shí)測(cè)量輻射源在傳感器陣列中的實(shí)際位置，與定位坐標(biāo)進(jìn)行對(duì)比，求其相對(duì)定位誤差。

2.2 動(dòng)磁源定位結(jié)果及算法效用分析

為方便與實(shí)際位置比較，采取T0～T14這15個(gè)時(shí)刻點(diǎn)的三分量磁場(chǎng)強(qiáng)度值作為輸入，采用式(18)所示的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行定位。動(dòng)磁源緩速(約3 m/s)運(yùn)動(dòng)軌跡如圖5所示，快速(約6 m/s)運(yùn)動(dòng)軌跡如圖6所示，其橫縱坐標(biāo)單位為米(m)，滿足圖4建立的坐標(biāo)系。圖中光滑曲線是利用算法定位后，由定位點(diǎn)P0～P14連接起來的折線，而“*”點(diǎn)則為同一時(shí)刻動(dòng)磁源的實(shí)際測(cè)量位置，限于篇幅，具體定位點(diǎn)與測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)不再一一陳列。觀察圖5與圖6，定位位置與實(shí)測(cè)位置比較接近，誤差分析如表1所示,表中F表示Fast快速通過(約6 m/s)，L表示Low緩速通過(約3 m/s)，矢量差模值的單位為米(m)，表中快速與緩速通過的時(shí)刻點(diǎn)T分別屬于兩段時(shí)間，在不至于混淆的前提下，方便制表用統(tǒng)一符號(hào)表示。

圖5 輻射棒緩速通過陣列運(yùn)動(dòng)軌跡圖

圖6 輻射棒快速通過運(yùn)動(dòng)軌跡

T矢量差模值(F)相對(duì)誤差(F)矢量差模值(L)相對(duì)誤差(L)T00.132.40%0.081.68%T10.181.84%0.171.84%T20.020.12%0.060.37%T30.271.19%0.120.54%T40.331.13%0.20.68%T50.260.77%0.20.58%T60.340.97%0.441.24%T70.370.10%0.782.01%T80.481.37%0.130.34%T91.213.66%0.130.37%T100.010.03%0.210.69%T110.451.90%0.230.93%T120.311.65%0.030.16%T130.221.58%0.291.97%T140.252.35%0.10.84%

取坐標(biāo)原點(diǎn)到算法定位點(diǎn)或?qū)嶋H測(cè)量點(diǎn)的矢量作為參考，分別命名為算法定位矢量Pi與實(shí)際測(cè)量矢量Ti，作兩矢量的差值Pi-Ti， 取其絕對(duì)值|Pi-Ti|，命名為矢量差模值，而相對(duì)誤差的計(jì)算滿足：

(26)

緩速通過時(shí)，最小的定位誤差為0.16%，最大的定位誤差為2.01%，平均誤差為0.95%；快速通過時(shí)，最小的定位誤差為0.03%，最大的定位誤差為3.66%，平均誤差為1.40%。所有定位誤差都低于工程目標(biāo)要求的4.0%的指標(biāo)，具有較高的定位精度，緩速通過的平均定位誤差要低于快速通過的平均定位誤差，隨著動(dòng)磁源運(yùn)動(dòng)速度的增加，定位精度會(huì)略有所降低。該誤差是最終合成誤差，包括了測(cè)量誤差、動(dòng)磁源近場(chǎng)定位系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差、計(jì)算誤差和模型誤差，根據(jù)誤差合成原理，計(jì)算誤差和模型誤差要低于最終誤差(4%)這個(gè)水平，證明本文設(shè)計(jì)的磁偶極子反演定位算法與運(yùn)用擬牛頓法及BFGS算法求解是可行的，并具有較高精度，可滿足工程要求，具有應(yīng)用前景。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文設(shè)計(jì)了一種新的磁偶極子反演定位算法，可解決目標(biāo)函數(shù)的無約束非線性優(yōu)化問題，基于磁測(cè)陣列采集到的磁場(chǎng)強(qiáng)度向量，及采用擬牛頓法非線性優(yōu)化算法(BFGS)等計(jì)算方法，可實(shí)現(xiàn)對(duì)動(dòng)磁源的近場(chǎng)定位。通過搭建相應(yīng)系統(tǒng)，動(dòng)磁源緩速和快速定位試驗(yàn)，對(duì)算法定位坐標(biāo)與實(shí)際測(cè)量坐標(biāo)進(jìn)行對(duì)比，定位誤差不超過4.0%，平均誤差為1.40%，得出該算法定位位置精確，計(jì)算方法得當(dāng)，可以實(shí)現(xiàn)多信息融合與數(shù)據(jù)的快速處理。該算法在水下異常磁場(chǎng)近場(chǎng)定位與測(cè)量、魚雷末彈道與脫靶量測(cè)量、過靶態(tài)勢(shì)判斷、靶場(chǎng)建設(shè)、新武器試驗(yàn)與研發(fā)等領(lǐng)域具有重要意義。