淺析大學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的解題指導(dǎo)作用

陳巧陸 欣雨寧 詠梅 彭歡 許璐

摘 要 大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)面更廣，難度更大，思維層次更高，它可以從不同角度、高觀點(diǎn)下去分析許多中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)很多中學(xué)數(shù)學(xué)的解題具有指導(dǎo)作用。本文從高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、解析幾何等方面分別分析了它們對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)解題的指導(dǎo)作用。

關(guān)鍵詞 高等數(shù)學(xué) 線性代數(shù) 解析幾何 中學(xué)數(shù)學(xué) 指導(dǎo)作用

中圖分類號(hào)：G633.3文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

0引言

許多中學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)，由于學(xué)生的可接受性原則和知識(shí)面所限，往往是以教育形態(tài)呈現(xiàn)，因此中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的一些知識(shí)內(nèi)容不可能嚴(yán)謹(jǐn)透徹，例如高中代數(shù)中的指數(shù)函數(shù)，然而要在中學(xué)階段講清這些問(wèn)題往往是不大容易的，需要涉及極限理論。然而，我們利用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)則能將中學(xué)數(shù)學(xué)中不能或很難徹底解決的基本理論加以嚴(yán)格地證明，使之更加清晰明了，易于接受，且初等數(shù)學(xué)問(wèn)題往往以高等數(shù)學(xué)問(wèn)題為背景，許多初等數(shù)學(xué)問(wèn)題有極強(qiáng)的高等數(shù)學(xué)知識(shí)背景，特別是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的一些命題更為突出，然而大多數(shù)中學(xué)生無(wú)法解決競(jìng)賽中的一些問(wèn)題，基于大學(xué)知識(shí)，將大學(xué)數(shù)學(xué)作為解決某些初等問(wèn)題的手段和方法，研究大學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)初等數(shù)學(xué)解題的指導(dǎo)作用意義深刻。其主要思想和方法有：轉(zhuǎn)化與化歸;函數(shù)與方程;分類的思想;換元的思想;數(shù)形結(jié)合的思想等。下面從高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、解析幾何等方面分別分析說(shuō)明它們對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)解題的一些指導(dǎo)作用。

1高等數(shù)學(xué)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)解題的指導(dǎo)作用

中學(xué)數(shù)學(xué)在求函數(shù)單調(diào)性及極值時(shí)往往是運(yùn)用定義法和分段討論法，這樣做比較復(fù)雜繁瑣，如果運(yùn)用大學(xué)數(shù)學(xué)中的一階、二階導(dǎo)數(shù)則容易得多。還有不等式是初等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，在初等和高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用極廣。不等式的證明方法很多，初等數(shù)學(xué)主要采用比較法、綜合法、放縮法等方法進(jìn)行證明，學(xué)生掌握起來(lái)較難，而用通過(guò)高等數(shù)學(xué)中構(gòu)建函數(shù)，以導(dǎo)數(shù)為工具進(jìn)行證明很容易得多等等。下面舉一例說(shuō)明。

2線性代數(shù)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)解題的指導(dǎo)作用

中學(xué)數(shù)學(xué)中求函數(shù)的迭代和求代數(shù)式的值等等?？梢岳镁€性代數(shù)中的矩陣或行列式來(lái)求解往往容易得多。特別是針對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，學(xué)生做起來(lái)一般都較難，而通過(guò)引入線性代數(shù)中的相關(guān)知識(shí)，往往會(huì)達(dá)到事半功倍的效果。下面舉一例說(shuō)明。

3解析幾何對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)解題的指導(dǎo)作用

中學(xué)數(shù)學(xué)的立體幾何中點(diǎn)、線、面之間的各種關(guān)系都可以運(yùn)用向量法也稱坐標(biāo)法來(lái)解決，特別是點(diǎn)到平面的距離，二面角等用向量法來(lái)求解或證明既簡(jiǎn)單又可以定量計(jì)算。傳統(tǒng)方法求二面角的平面角是從公共棱上一點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于公共棱的兩條射線，它們形成的角即是二面角的平面角，但是這一點(diǎn)往往很難找，不少學(xué)生無(wú)從下手。那么，如果引進(jìn)大學(xué)數(shù)學(xué)解析幾何中法向量的方向，則可以輕而易舉地求出二面角的平面角，限于篇幅，這里就不舉例說(shuō)明了。

參考文獻(xiàn)

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[2] 許璐，許紹元.關(guān)于線性分式函數(shù)的n次迭代及其應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2006（36）：225-227.