MATLAB在線性代數(shù)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的應(yīng)用研究

杜紅林

摘要：借助MATLAB數(shù)值計(jì)算應(yīng)用軟件，提高高等學(xué)校工科專(zhuān)業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)課程的學(xué)習(xí)興趣。本文以解決矩陣特征值的教學(xué)為實(shí)例，闡述了通過(guò)MATLAB輔助線性代數(shù)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

關(guān)鍵詞：MATLAB;特征值;特征向量;幾何意義

中圖分類(lèi)號(hào)：TP3? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2019）20-0114-02

開(kāi)放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：

線性代數(shù)是大學(xué)理工科學(xué)生所必備的基礎(chǔ)知識(shí)和重要的數(shù)學(xué)工具，它一方面是學(xué)生學(xué)習(xí)后繼專(zhuān)業(yè)課程的基礎(chǔ)，另一方面，由于線性代數(shù)的高度抽象性，它又是讓學(xué)生望而生畏的枯燥課程。因此，作為教師，如何改進(jìn)新的教學(xué)手段，引進(jìn)新的教學(xué)方法，采取更加合理的教學(xué)模式，幫助學(xué)生更好地理解線性代數(shù)課程的理論知識(shí)，并讓學(xué)生能夠靈活應(yīng)用到實(shí)踐中去，這是深化高等學(xué)校工科專(zhuān)業(yè)線性代數(shù)課程實(shí)驗(yàn)部分教學(xué)改革的主要途徑之一，同時(shí)也是該課程任課教師在教學(xué)過(guò)程中值得思考和研討的問(wèn)題[1-4]。

以往的線性代數(shù)教學(xué)偏重的完備課程理論體系學(xué)習(xí)，過(guò)于注重的基本概念的掌握，忽視相應(yīng)的與實(shí)踐相結(jié)合，采取嚴(yán)格的數(shù)學(xué)邏輯思維訓(xùn)練和計(jì)算量大的教學(xué)模式，會(huì)使得學(xué)生學(xué)習(xí)起這門(mén)課程內(nèi)容感覺(jué)枯燥、抽象，導(dǎo)致失去主動(dòng)學(xué)習(xí)的興趣和熱情。進(jìn)入21世紀(jì)，隨著多媒體輔助教學(xué)技術(shù)的發(fā)展，借助MATLAB數(shù)學(xué)軟件，將實(shí)驗(yàn)教學(xué)融入線性代數(shù)的課堂教學(xué)，不僅可以讓學(xué)生擺脫繁重乏味的思考、不必要而又復(fù)雜的數(shù)學(xué)演算，而且可以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)書(shū)本中抽象概念的理解和掌握。下面結(jié)合線性代數(shù)中的實(shí)驗(yàn)教學(xué)，本文將談?wù)劷柚鶰ATLAB軟件改進(jìn)線性代數(shù)教學(xué)的一點(diǎn)體會(huì)予以分享。

1 MATLAB的優(yōu)越性

上世紀(jì)70年代中期，美國(guó)新墨西哥大學(xué)的計(jì)算機(jī)系的系主任Cleve Moler教授在給學(xué)生講授線性代數(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在繁瑣的計(jì)算上花了太多時(shí)間，為此，他為學(xué)生編寫(xiě)了一個(gè)接口程序，取名為MATLAB，即Matrix Laboratory的縮寫(xiě)，意思為“矩陣實(shí)驗(yàn)室”， 這就是 MATLAB這個(gè)應(yīng)用軟件產(chǎn)生的背景。1984年，工程師John Little覺(jué)察到MATLAB的應(yīng)用前景不應(yīng)該僅是單純的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，更應(yīng)該是廣闊的工程領(lǐng)域。于是，他與Cleve Moler成立了MathWorks公司。由于MATLAB強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算功能，很快使其在眾多軟件中脫穎而出。目前，在國(guó)內(nèi)外各大高校中，MATLAB已成為理工科專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課程必備的基本教學(xué)工具。

在線性代數(shù)教學(xué)過(guò)程中，可以充分利用MATLAB軟件強(qiáng)大的計(jì)算功能、程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言簡(jiǎn)單、繪圖功能方便等特點(diǎn)將抽象的概念變得直觀，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算變得簡(jiǎn)潔，加深學(xué)生對(duì)概念的理解，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)線性代數(shù)的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生獲取知識(shí)的主動(dòng)性。

2 借助MATLAB數(shù)值計(jì)算應(yīng)用軟件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)教學(xué)

在線性代數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，大量復(fù)雜而又繁瑣的計(jì)算分散了學(xué)生理解問(wèn)題本身的精力，造成了學(xué)生們忙于應(yīng)付計(jì)算，輕視了方法原理的學(xué)習(xí)，而利用MATLAB軟件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)教學(xué)，可以較好地解決這一問(wèn)題。

接下來(lái)就以線性代數(shù)中的一個(gè)重要內(nèi)容為例說(shuō)明MATLAB的作用。

實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：特征值、特征向量的概念和意義[5]。

線性代數(shù)中許多抽象概念的講解，往往過(guò)于強(qiáng)調(diào)抽象思維能力而忽視了空間想象能力。例如，對(duì)于矩陣的特征值與特征向量的學(xué)習(xí)，學(xué)生往往只知其一：只知道如何套用公式求矩陣特征值和特征向量;不知其二：不知道特征值和特征向量究竟表示什么，有什么幾何意義。在教學(xué)過(guò)程中，可以借助MATLAB軟件，通過(guò)如下的方式幫助學(xué)生理解這一抽象的概念。

在MATLAB命令窗口輸入eigshow命令[6]，可以打開(kāi)一個(gè)特征值、特征向量的演示窗口，其中系統(tǒng)默認(rèn)的矩陣[A=1434112]，綠色線段表示單位向量[x=（1， 0）T]，藍(lán)色線段表示向量[Ax]。當(dāng)鼠標(biāo)在單位圓上移動(dòng)[x]，矩陣[A]作用到向量[x]后的結(jié)果[Ax]也隨之變化。

圖1顯示了向量[x]在矩陣[A]的作用下的變化過(guò)程，可以看出向量[Ax]的軌跡是一個(gè)橢圓。那么，什么是特征值、特征向量呢？從數(shù)學(xué)的定義看，滿(mǎn)足[Ax=λx]的非零向量[x]稱(chēng)為特征向量，[λ]稱(chēng)為特征值。這是一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)概念，但通過(guò)給學(xué)生演示[x]和[Ax]的運(yùn)動(dòng)軌跡，可以直觀地觀察到：所謂特征向量，指的是與[Ax]平行的向量[x]，此時(shí)矩陣[A]的作用僅僅是把單位向量[x]拉伸[λ]倍，[λ]即為特征值。圖2顯示了矩陣[A]的特征值和特征向量。第一個(gè)特征值是正數(shù)，所以[Ax]位于特征向量[x]的頂部，[Ax]的長(zhǎng)度即為特征值，在這個(gè)例子中為[54]。第2個(gè)特征值是負(fù)數(shù)，所以[Ax]平行于特征向量[x]，但方向相反，[Ax]的長(zhǎng)度為[12]，所以相應(yīng)的特征值為 [-1/2]。

細(xì)心的學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，圖2中的兩個(gè)特征向量很接近但并不完全落在橢圓的長(zhǎng)、短軸上。那么，可以引導(dǎo)學(xué)生思考：對(duì)于什么樣的矩陣，特征向量恰好落在橢圓的長(zhǎng)、短半軸上？如果矩陣奇異，那么橢圓又會(huì)發(fā)生什么樣的變化？通過(guò)上述的引導(dǎo)和討論，我們選擇對(duì)角矩陣[A=540034]和奇異矩陣[A=1212]，然后觀察[x]和[Ax]的運(yùn)動(dòng)軌跡，見(jiàn)圖3。

通過(guò)直觀演示，結(jié)合簡(jiǎn)單運(yùn)算，可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)角矩陣的特征向量剛好落在橢圓的長(zhǎng)半軸和短半軸上，（實(shí)際上，如果矩陣[A]對(duì)稱(chēng)，那么其特征向量一定落在橢圓的長(zhǎng)、短軸上），而單位向量[x]在奇異矩陣作用下的軌跡退化成了一條線段。

3 結(jié)語(yǔ)

在線性代數(shù)課堂上引入實(shí)驗(yàn)教學(xué)，將抽象的高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與Matlab這款應(yīng)用軟件相結(jié)合，無(wú)疑是一種行之有效的計(jì)算機(jī)輔助線性代數(shù)教學(xué)的學(xué)習(xí)途徑，有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣，提升教學(xué)效果，促進(jìn)現(xiàn)代教學(xué)改革。同時(shí)不僅消除了學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的枯燥和抽象，還能提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題能力。

參考文獻(xiàn)：

[1] 徐利治.關(guān)于線性數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)改革的看法及建議[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2000，9（2）：1-2.

[2] 王海俠，孫和軍，王青云.改進(jìn)線性代數(shù)教學(xué)方法的幾點(diǎn)想法[J].高等數(shù)學(xué)研究，2010，13（6）：13-15.

[3] 周琳.將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)融入線性代數(shù)課的研究與實(shí)踐[J].遼寧科技學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，10（2）：63-64.

[4] 金波.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在《線性代數(shù)》教學(xué)中的應(yīng)用探索[J].科技信息，2013（7）：319-319.

[5] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)，線性代數(shù).第6版[M].高等教育出版社，2014.

[6] Moler C B.Numerical Computing with MATLAB：Revised Reprint[M].SIAM，2008.

【通聯(lián)編輯：張薇】