共軛曲面原理在齒輪設(shè)計(jì)中的應(yīng)用研究

史淑芬，薛家國

(安徽工業(yè)大學(xué)工商學(xué)院 安徽馬鞍山 243100)

在漸開線齒輪輪齒齒根彎曲疲勞強(qiáng)度計(jì)算中，齒形系數(shù)和應(yīng)力修正系數(shù)的準(zhǔn)確計(jì)算極為關(guān)鍵。而傳統(tǒng)的計(jì)算方法均為經(jīng)驗(yàn)公式和圖解法，目前關(guān)于齒輪齒根彎曲應(yīng)力的計(jì)算方法有多種[1]，但這些計(jì)算方法均需要確定齒根危險截面的位置。H?fer采用光彈實(shí)驗(yàn)證明了齒輪輪齒齒根危險截面的存在，即著名的H?fer切線法[2]。迭代可用來求解方程、線性和非線性方程組的解，且可重復(fù)執(zhí)行一個計(jì)算過程，直至找到答案。函數(shù)g(x)的一個不動點(diǎn)是指一個實(shí)數(shù)P滿足P=g(P)，而從圖形上分析，函數(shù)y=g(x)的不動點(diǎn)是y=g(x)和y=x的交點(diǎn)。鑒于此，筆者綜合運(yùn)用迭代與不動點(diǎn)兩種方法，提出基于共軛曲面原理，采用不動點(diǎn)迭代法計(jì)算漸開線輪齒形系數(shù)和應(yīng)力修正系數(shù)，以期提高齒輪設(shè)計(jì)中齒根彎曲應(yīng)力計(jì)算的精確度。

1 齒形系數(shù)的計(jì)算

1.1 齒條刀具參數(shù)

圖1中：A為圓角中心；ρ為刀齒圓角半徑；I圓角中心A1與節(jié)線的距離；E刀尖圓心至刀齒對稱軸線的距離。

求解E(刀尖圓心至刀齒對稱軸線的距離)計(jì)算公式為[2]：

(1)

其中，ρ=≈0.38mn

圖1 齒條型刀具與齒輪的嚙合

1.2 危險截面齒厚的計(jì)算

H?fer用光彈實(shí)驗(yàn)方法證明了齒輪輪齒危險截面齒厚SFn的存在和方位。薛家國[3]采用包絡(luò)法計(jì)算SFn，劉平娟等[4]采用齒廓法線法計(jì)算彎曲力臂hF，采用上述兩種方法計(jì)算都需求解非線性方程，涉及到的非線性方程如下。如圖1所示，取被切輪齒的對稱中線為y軸，設(shè)B為刀具圓角中心A到y(tǒng)軸的距離，則

(2)

令齒輪逆時針轉(zhuǎn)過角度為φ，且使切削點(diǎn)S位于圖1所示的切線與過渡曲線的切點(diǎn)處。PS為公法線，設(shè)SAP與y軸的夾角為，影響載荷作用角因素的示意圖如圖2a、圖2b。

(3)

(4)

圖2a影響載荷作用角的因素

圖2b 影響載荷作用角的其他因素

(5)

(6)

(7)

對此非線性方程用不動點(diǎn)迭代法求解，當(dāng)θ很小時，tan=θ，故可將初始值θ0取為

(8)

由此建立迭代序列，其序列模式為：

θ0(初始值)

θ1=g(θ0)

θ2=g(θ1)

┊

θk=g(θk-1)

θk+1=g(θk)

┊

若迭代序列{θk}趨向一極限，則該極限為求解的目標(biāo)值。不動點(diǎn)迭代法序列求解的Matlab程序流程圖3。

圖3 Matlab程序流程圖

求解出θ的同時輸出迭代次數(shù)k，根據(jù)圖2，就可求出危險截面齒厚與模數(shù)之比，結(jié)果為

(9)

1.3 載荷作用角的計(jì)算

由圖2a可知，載荷作用角αF為

αF=αe-γ

(10)

(11)

由圖2a可知

(12)

1.4 彎曲力臂的計(jì)算

由圖2a知，彎曲力臂hF

(13)

其中：

1.5 齒形系數(shù)的計(jì)算

齒形系數(shù)YF的計(jì)算公式如下

(14)

2 應(yīng)力修正系數(shù)的計(jì)算

根據(jù)前面分析可知，對于應(yīng)力修正系數(shù)的計(jì)算，其所需參數(shù)無需另行推導(dǎo)。

3 齒形系數(shù)和應(yīng)力修正系數(shù)的計(jì)算實(shí)例

[例1][5]某給水泵高速齒輪增速器，其為電機(jī)驅(qū)動、單向運(yùn)轉(zhuǎn)，電機(jī)功率為6 000 kW，轉(zhuǎn)速為1 485 r/min，設(shè)計(jì)過程中要求傳動比為3.75，且按持久壽命、高可靠性設(shè)計(jì)。主要參數(shù)為：a=550 mm，b=170 mm，mn=6 mm，αn=20°，β=9°9′3″，z1=38，z2=143，x1=x2=0。

采用如圖3所示的不動點(diǎn)迭代法序列Matlab程序計(jì)算大小齒輪(下標(biāo)1代表小齒輪，下標(biāo)2代表大齒輪)的齒形系數(shù)YF和應(yīng)力修正系數(shù)YS及相應(yīng)的迭代次數(shù)k，分別為：

k1=5；k2=4；

YF1=0.971 3；YF2=0.921 6；

YS1=2.2408；YS2=2.5087。

[例2][6]某球磨機(jī)單級齒輪減速器，小齒輪傳遞的額定功率250 kW，轉(zhuǎn)速750 r/min，要求傳動比3.15，單向運(yùn)轉(zhuǎn)，滿載工作時間5 000 h。主要參數(shù)為a=550 mm，b=180 mm，mn=7 mm，αn=20°，β=9°14′55″，z1=34，z2=107，xn1=0.38,xn2=-0.38。

同樣采用如圖3所示的不動點(diǎn)迭代法序列Matlab程序計(jì)算大小齒輪的齒形系數(shù)YF和應(yīng)力修正系數(shù)YS及相應(yīng)的迭代次數(shù)分別k，分別為：

k1=4；k2=4；

YF1=0.8627；YF2=1.1493；

YS1=2.5844；YS2=2.1034。

計(jì)算實(shí)例結(jié)果與實(shí)際應(yīng)用中的檢測結(jié)果相符，由此表明采用不動點(diǎn)迭代法可精確計(jì)算齒形系數(shù)和應(yīng)力修正系數(shù)。

4 結(jié)論

基于共軛曲面原理，提出采用不動點(diǎn)迭代法計(jì)算齒形系數(shù)和應(yīng)力修正系數(shù)，實(shí)例結(jié)果表明，采用不動點(diǎn)迭代法可精確完成漸開線輪齒形系數(shù)和應(yīng)力修正系數(shù)的計(jì)算。