解讀雙動(dòng)點(diǎn)軌跡之線段最值問(wèn)題的捆綁變換

李登位

(湖北省恩施市龍鳳民族初級(jí)中學(xué) 445000)

一、前言

所謂“動(dòng)點(diǎn)型問(wèn)題”是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn),它們?cè)诰€段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng)的一類開(kāi)放性題目.從變換的角度和運(yùn)動(dòng)變化來(lái)研究三角形、四邊形、函數(shù)圖象等幾何圖形，通過(guò)“圖形變換、動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)”等研究手段和方法，來(lái)探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過(guò)程中滲透空間觀念和合情推理.選擇基本的幾何圖形，讓學(xué)生經(jīng)歷探索的過(guò)程，以能力立意，考查學(xué)生的自主探究能力，促進(jìn)培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力．在動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中觀察圖形的變化情況，需要理解圖形在不同位置的情況，才能做好計(jì)算推理的過(guò)程.在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學(xué)“動(dòng)點(diǎn)”探究題的基本思路，這也是動(dòng)態(tài)幾何數(shù)學(xué)問(wèn)題中最核心的數(shù)學(xué)本質(zhì).

二、舉例解析

數(shù)學(xué)卷中的數(shù)學(xué)壓軸題中涉及數(shù)形結(jié)合、動(dòng)態(tài)幾何、動(dòng)手操作、實(shí)驗(yàn)探究等方面題型較多、題意創(chuàng)新，目的是考查學(xué)生的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，內(nèi)容包括空間觀念、應(yīng)用意識(shí)、推理能力等，更好地培養(yǎng)學(xué)生解題素養(yǎng).

線段最值問(wèn)題最常見(jiàn)的就是定點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)最大距離或最小距離問(wèn)題.因此，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于弄清楚動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡.下面學(xué)習(xí)如何利用“捆綁變換”思想來(lái)探尋動(dòng)點(diǎn)軌跡，從而解決線段的最值問(wèn)題.

例1如圖1，矩形ABCD中，AD=2AB=4，長(zhǎng)度為2的動(dòng)線段AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接EC，取EC的中點(diǎn)F，連接DF，求線段DF長(zhǎng)的最大值和最小值.

例2如圖2，AB=4，O為AB的中點(diǎn)，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)作等腰三角形△PBC(點(diǎn)P、B、C按照逆時(shí)針?lè)较蚺帕?，則線段AC長(zhǎng)的取值范圍是____.

例3如圖，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，⊙O的半徑為1，點(diǎn)A(2，0).動(dòng)點(diǎn)B在⊙O上，連接AB，作等邊三角形△ABC(A、B、C為順時(shí)針順序)，求OC的最大值與最小值.

思路分析需要明白從主動(dòng)點(diǎn)B到從動(dòng)點(diǎn)C是作了怎樣的變換？利用幾何畫(huà)板觀察到，將點(diǎn)B繞著點(diǎn)A按照順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60度得到點(diǎn)C，再找從動(dòng)點(diǎn)C所在圓的圓心和半徑，捆綁OB作相同的變換，即：將點(diǎn)O繞著點(diǎn)A按照順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到點(diǎn)O′，即以O(shè)A為邊向上作等邊△OAO′，則點(diǎn)O′就是點(diǎn)C所在圓的圓心，半徑為O′C.連接BO、CO′，因△ABC和△OAO′均為等邊三角形，則AO=AO′，AB=AC，∠BAO=∠CAO′，得△ABC≌△OAO′，CO′=BO=1，點(diǎn)C在以O(shè)′為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，而OO′=AO=2，CO′=BO=1，所以CO的最大值為3，最小值為1.

以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，圖形為背景，運(yùn)動(dòng)變化為主線創(chuàng)設(shè)的求線段最值問(wèn)題，集多個(gè)知識(shí)點(diǎn)為一體，集多種解題思想于一題，要求學(xué)生認(rèn)真讀題、領(lǐng)會(huì)題意、畫(huà)出不同情況下的圖形，判斷動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的形狀是解題的關(guān)鍵，根據(jù)圖形建立變量之間的關(guān)系，要求學(xué)生有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)、靈活的解題方法、良好的思維品質(zhì)；在解題思想上著重對(duì)數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、數(shù)學(xué)建模等思想的靈活運(yùn)用.要以靜代動(dòng)的解題思想解題.