基于Laguerre函數(shù)的BLDCM轉(zhuǎn)速預(yù)測控制器

郭 偉1,，姜 睿，李 濤1,，高嚴(yán)凱

(1.大氣環(huán)境與裝備技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心，江蘇 南京 210044； 2.南京信息工程大學(xué) 自動化學(xué)院，江蘇 南京 210044)

無刷直流電機(jī)(Brushless DC Motor,BLDCM)因具有結(jié)構(gòu)簡單、運(yùn)行效率高等優(yōu)勢，在精密機(jī)床、汽車電子、航空航天等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[1]。傳統(tǒng)BLDCM控制器多基于線性理論設(shè)計，但由于模型中存在R、L等慢時變參數(shù)，故解耦簡化得到的模型勢必不能滿足不同工況調(diào)速的需求[2]。

針對上述問題，許多學(xué)者將自適應(yīng)機(jī)制引入控制器設(shè)計中，將非線性時變參數(shù)看作擾動項(xiàng)，設(shè)計自適應(yīng)觀測器或?yàn)V波器進(jìn)行估計[3-5]，但大多會假設(shè)未估計量變化率為零，且觀測器本身會帶來系統(tǒng)延遲，這都會影響參數(shù)辨識精度，進(jìn)而導(dǎo)致控制誤差。因此，可根據(jù)實(shí)時信息在線辨識模型參數(shù)的控制器設(shè)計顯得尤為重要。

近年來，隨著微處理器(如DSP、FPGA等)性能的大幅提升，預(yù)測控制算法在電力電子和電機(jī)驅(qū)動領(lǐng)域得到廣泛關(guān)注[6-7]，設(shè)計簡單、動態(tài)性能好等特點(diǎn)使該方法成為電機(jī)控制領(lǐng)域最有可能替代PI算法的控制方案[8]。文獻(xiàn)[9]用電流預(yù)測控制器替代了傳統(tǒng)PI電流調(diào)節(jié)器，有效抑制了電流紋波。GPC作為一種結(jié)合自校正思想的預(yù)測控制算法[10]，具有建模與控制于一體的特點(diǎn)，自Clarke提出以來30多年，已有眾多學(xué)者對其進(jìn)行了改進(jìn)優(yōu)化。文獻(xiàn)[11]從預(yù)測模型著手，利用ARMAX模型描述動態(tài)對象，并在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)得出可直接求解控制量的廣義預(yù)測控制器。文獻(xiàn)[12]將優(yōu)化后的廣義預(yù)測控制應(yīng)用于無刷直流電機(jī)速度控制中，并在DSP實(shí)驗(yàn)箱中進(jìn)行了算法驗(yàn)證，證實(shí)該算法在快速系統(tǒng)中應(yīng)用的可行性。針對原始GPC和文獻(xiàn)[11]中所提算法需引入丟番圖方程求解計算量大的問題，文獻(xiàn)[13]利用遞推的方法得到預(yù)測模型，求解過程簡單，更易于硬件實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)[14]將ARMAX模型轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間方程形式，并將Laguerre函數(shù)引入來解決傳統(tǒng)模型預(yù)測控制不能保證無差拍控制的缺點(diǎn)。

調(diào)速性能和轉(zhuǎn)矩波動一直是衡量BLDCM運(yùn)行性能的兩個重要指標(biāo)，本文主要研究BLDCM控制系統(tǒng)的調(diào)速性能。為進(jìn)一步減小算法計算量，滿足電機(jī)控制實(shí)時性要求，本文在文獻(xiàn)[13]提出的簡化GPC基礎(chǔ)上，引入Laguerre函數(shù)對控制增量進(jìn)行參數(shù)化，針對傳統(tǒng)GPC算法普遍存在超調(diào)的問題，借鑒文獻(xiàn)[18]中修改性能指標(biāo)的思想，以期結(jié)合PI算法的優(yōu)勢，提出了一種新型的控制算法，最后將其應(yīng)用在BLDCM轉(zhuǎn)速跟蹤控制中，并與文獻(xiàn)[13]所提算法進(jìn)行比較。Matlab平臺仿真結(jié)果表明，相比文獻(xiàn)[13]提出的算法，該算法對跟蹤指令響應(yīng)更快，超調(diào)小，抗干擾能力強(qiáng)，對參數(shù)不確定性具有較強(qiáng)的魯棒性。

1 BLDCM模型

傳統(tǒng)BLDCM控制策略為雙閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)，內(nèi)環(huán)電流環(huán)主要作用為限制電流，保證系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行[15]。實(shí)際應(yīng)用中，轉(zhuǎn)速單環(huán)控制器已能滿足絕大多數(shù)運(yùn)行情況[16]，故本文采用單環(huán)控制器，在此推導(dǎo)BLDCM空載運(yùn)行時的傳遞函數(shù)[1]。

以A、B導(dǎo)通為例，不計換相暫態(tài)過程，則有

(1)

式中，Ud為直流母線電壓；ra為繞組線電阻，ra=2R；La為繞組等效線電感，La=2(L-M)；ke為線反電勢系數(shù)。

由電機(jī)運(yùn)動方程可得空載情況下的電樞電流為

(2)

式中，KT為電機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)；J為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量；Bv為黏滯摩擦系數(shù)。

將式(2)代入式(1)中，并做Laplace變換可得BLDCM傳遞函數(shù)為

(3)

因有Ω=2πn/60，故機(jī)械角速度與轉(zhuǎn)速之間呈線性關(guān)系，其中轉(zhuǎn)速n單位為r/min。

2 控制增量Laguerre化的預(yù)測控制

2.1 離散Laguerre函數(shù)

連續(xù)型Laguerre函數(shù)是平方可積函數(shù)空間L2(0,∞)上的一組正交基，將其z變換離散化后可寫為[17]

(4)

式中，a為離散Laguerre函數(shù)的極點(diǎn)，0≤a<1。

注意到有如下遞推關(guān)系:

(5)

用l1(k)表示Γ1(z)的z逆變換，則有

L(k)=[l1(k),l2(k),…,lN(k)]T

那么式(5)滿足

L(k+1)=ψL(k)

(6)

且有

(7)

式中，ψ為N×N的矩陣；β=1-α2。

2.2 改進(jìn)的廣義預(yù)測控制

被控對象ARMAX模型可表示為[13]

(8)

式中，y(k)、u(k)和ξ(k)分別為輸出、控制和白噪聲，d+1為時滯；其中參數(shù)可由下式遞推得出：

(9)

式中，n=min{w-1,na}。

預(yù)測模型為

Y=Ym+GΔU

(10)

Y=[y(k+d+1|k),y(k+d+2|k),…,y(k+p|k)]T
Ym=[ym(k+d+1),y(k+d+2),…,y(k+p)]T
ΔU=[Δu(k),Δu(k+1),…,Δu(k+p-d-1)]T

(11)

式中，p為預(yù)測長度。其中，

需要注意的是，令式(9)第二個式子中i=0可快速遞推出矩陣G中元素。

極小化性能指標(biāo)

(12)

式中，λ為控制加權(quán)系數(shù)；參考軌跡Yr計算具體見文獻(xiàn)[19]。

由?J/?ΔU=0可得

ΔU=(GTG+λI)-1GT(Yr-Ym)

(13)

則即時控制增量為

Δu(k)=fT(Yr-Ym)

式中，fT=[1 0 … 0][GTG+λI]-1GT。

由此可得控制量為

游客們對三峽地區(qū)歷史文化的認(rèn)知主要是巴蜀文化和巫文化。原始的巴人部落、舞蹈表演和神秘的巫文化祭祀活動構(gòu)成了游客們對三峽地區(qū)古代文明的體驗(yàn)，幫助游客更好地理解遙遠(yuǎn)的歷史文化。一位廣西的年輕游客描述了印象深刻的巫文化祭祀表演：

u(k)=u(k-1)+Δu(k)

(14)

相比于Clarke提出的原始形式廣義預(yù)測控制算法，該算法的預(yù)測模型計算借鑒了動態(tài)矩陣控制，無需引入丟番圖方程，求解過程更加簡潔，編程易實(shí)現(xiàn)。

2.3 控制增量Laguerre化的PI型廣義預(yù)測控制

算法最終會在嵌入式場合實(shí)現(xiàn)，為進(jìn)一步減小算法計算量，本文將離散Laguerre函數(shù)引入上述算法，并與PI型性能指標(biāo)結(jié)合。

在k時刻，控制增量軌跡Δu(k)，Δu(k+1)，…，Δu(k+j)可以看作是一個穩(wěn)定動態(tài)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)，因此，可將Laguerre函數(shù)應(yīng)用于控制增量的參數(shù)化設(shè)計，即利用l1(k)，l2(k)，…，lN(k)捕獲一系列與系統(tǒng)脈沖響應(yīng)有關(guān)的系數(shù)c1，c2，…，cN[17]。與預(yù)測函數(shù)控制類似，該函數(shù)的引入使得算法對控制量的求解從控制量本身轉(zhuǎn)移到了組合系數(shù)的優(yōu)化，由于這些系數(shù)個數(shù)少且與預(yù)測長度無關(guān)，因而可以減少在線優(yōu)化的計算量[10]。

控制增量Laguerre化過程如下

(15)

式中，L(j)=[l1(j),l2(j),…,lN(j)]T；η=[c1,c2,…,cN]T。

設(shè)定參考軌跡與預(yù)測輸出間誤差為

e(k+j)=yr(k+j)-y(k+j|k)

則有

Δe(k+j)=e(k+j)-e(k+j-1)=Δyr(k+j)-Δy(k+j|k)

工業(yè)控制中常選取PI型性能指標(biāo)[18]，故本文修改性能指標(biāo)如下：

ki(j)e2(k+d+j)+r(j)Δu2(k+j-1)

(16)

式中，kp(j)、ki(j)和r(j)分別為輸出誤差和控制增量加權(quán)系數(shù)，假設(shè)為常數(shù)kp、ki和r。

為推導(dǎo)方便，將該性能指標(biāo)改寫成矩陣形式

(17)

定義L=[L(0)T,L(1)T,…,L(p-d-1)T]T，則控制增量可寫為

ΔU=Lη

(18)

將式(18)代入式(17)，由最小二乘法可得

(19)

式中，μ=LTGTHGL+LTRL；β=LTGTH+LTGTHT；H=TTKpT+Ki。

因而可得即時控制量為

u(k)=u(k-1)+Δu(k)=u(k-1)+L(0)Tη

(20)

當(dāng)對象參數(shù)(式(8))未知時，可采用漸消記憶最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計[19]，很多情況下，由于在線辨識的復(fù)雜性，用參考軌跡實(shí)現(xiàn)反饋校正。

采用上述算法設(shè)計BLDCM轉(zhuǎn)速控制器，控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示。

圖1 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

3 仿真結(jié)果與分析

將電機(jī)空載運(yùn)行時采集到的輸入輸出數(shù)據(jù)導(dǎo)入Matlab系統(tǒng)辨識工具箱，可得被控對象為[20]

y(k)-0.4288y(k-1)-0.5665y(k-2)=

1.875u(k-1)-1.87u(k-2)+ξ(k)

式中，ξ(k)為方差為0.01的白噪聲。

為驗(yàn)證新型算法的可行性，在Intel酷睿i7處理器、64位8 GB系統(tǒng)、Matlab版本R2016a的環(huán)境下進(jìn)行仿真，仿真總時長0.063 s。所提出的算法參數(shù)選為：預(yù)測長度p=3；Laguerre函數(shù)參數(shù)a=0.2，N=5；加權(quán)矩陣Kp=Ki=diag{0.2,0.2,0.2}，R=diag{0.5,0.5,0.5}；柔化系數(shù)α=0.7。

下面對電機(jī)在變速、受擾和模型失配3種工況下的控制性能進(jìn)行比較。

圖2為文獻(xiàn)[13]改進(jìn)GPC與所提出的算法在調(diào)速性能上的比較。電機(jī)起動時轉(zhuǎn)速設(shè)定值為2500 r/min，在0.2 s時設(shè)為2000 r/min，由圖1可知，新型算法在起動時幾乎無超調(diào)，控制增量在0.012 s迅速收斂至零，且跟蹤轉(zhuǎn)速更為迅速，變速運(yùn)行時依舊能保持很好的跟蹤性能。

圖2 調(diào)速性能比較

圖3、圖4為4種算法下抗干擾能力的比較。由圖可知，電機(jī)起動時，4種算法中GPC_Laguerre_PI響應(yīng)最快，GPC_Laguerre緊跟其后，GPC_PI次之，最后則是改進(jìn)GPC算法。在0.2 s時給系統(tǒng)加入擾動，GPC_Laguerre波動之后能迅速恢復(fù)到設(shè)定轉(zhuǎn)速，GPC_Laguerre_PI抗干擾能力與之相當(dāng)，最后則是GPC_PI。

圖3 抗干擾能力比較(轉(zhuǎn)速分析)

圖4 抗干擾能力比較(控制增量分析)

圖5為4種算法在模型失配情況下的控制性能比較。由圖可知，GPC和GPC_PI兩種算法受預(yù)測模型失配影響非常大，而控制增量Laguerre化后的兩種改進(jìn)GPC算法則幾乎不受該工況影響。其中，模型失配時，GPC_Laguerre_PI算法控制效果最好。

圖5 模型失配比較

圖6為Laguerre函數(shù)中a參數(shù)變化的比較。由圖6可知，當(dāng)a=0.8時，系統(tǒng)響應(yīng)最快，但存在抖動，實(shí)際中不利于電機(jī)控制。當(dāng)a=0.2時，雖響應(yīng)較慢，但控制器可以準(zhǔn)確跟蹤設(shè)定轉(zhuǎn)速值2500 r/min，因此本文調(diào)參時選用a=0.2。

圖6 Laguerre函數(shù)參數(shù)a變化比較

4 結(jié)束語

本文在改進(jìn)GPC算法基礎(chǔ)上引入Laguerre函數(shù)對控制增量進(jìn)行參數(shù)化，使系統(tǒng)響應(yīng)更迅速；通過修改PI型性能指標(biāo)，抑制了超調(diào)，得到更好的穩(wěn)定性。用改進(jìn)后新型的控制算法設(shè)計了無刷直流電機(jī)轉(zhuǎn)速單環(huán)控制器，并在Matlab平臺進(jìn)行驗(yàn)證。仿真結(jié)果表明，該算法具有良好的控制品質(zhì)。本文減少了電流環(huán)對最大電流的限制，若能將電流約束引入算法推導(dǎo)中，還需結(jié)合優(yōu)化算法做進(jìn)一步的研究。