半導(dǎo)體器件中量子隧穿效應(yīng)的定量分析

張芯陽

摘 要：量子隧穿是指微觀粒子具有一定概率穿透高能量勢(shì)壘的現(xiàn)象，這是量子力學(xué)有別于經(jīng)典力學(xué)的重要成果之一，在解釋微觀現(xiàn)象和進(jìn)行微觀層面的操作中都具有重要的意義。本文主要通過求解一維階梯勢(shì)壘中的薛定諤方程，來獲得微觀粒子波函數(shù)的定量表達(dá)式，進(jìn)而推導(dǎo)出粒子隧穿到勢(shì)壘內(nèi)部的特定深度的概率。在此基礎(chǔ)上，將其應(yīng)用于常見的電子器件材料的等效勢(shì)壘中，從而估算電子元器件內(nèi)部絕緣層的極限厚度，為半導(dǎo)體集成電路的最小制程提供量級(jí)上的參考。

關(guān)鍵詞：量子隧穿;薛定諤方程;階梯勢(shì)壘;隧穿深度

中圖分類號(hào)：TN301 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-2064（2019）14-0201-02

20世紀(jì)是一個(gè)變革的世紀(jì)，物理學(xué)經(jīng)歷了從宏觀到微觀，從低速到高速的轉(zhuǎn)化，實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象與既有理論矛盾重重，物理學(xué)大廈搖搖欲墜，直到相對(duì)論和量子力學(xué)橫空出世。作為現(xiàn)代物理學(xué)兩大理論基礎(chǔ)的量子力學(xué)，改變了人類看到世界的方式，從宏觀確定性向微觀的不確定性轉(zhuǎn)變，在其誕生之后的近百年的時(shí)間里，引起了不計(jì)其數(shù)的應(yīng)用革命，包括激光技術(shù)、納米科技、半導(dǎo)體產(chǎn)業(yè)等。而如今深刻影響人們工作生活的智能手機(jī)，個(gè)人計(jì)算機(jī)，大型服務(wù)器，都是量子力學(xué)應(yīng)用的產(chǎn)物，作為其核心結(jié)構(gòu)的半導(dǎo)體芯片，就是基于量子力學(xué)對(duì)固體電子結(jié)構(gòu)的分析才得以實(shí)現(xiàn)。本文主要討論的是量子力學(xué)中的量子隧穿問題，通過一維階梯勢(shì)壘模型，給出隧穿效應(yīng)的圖像，即當(dāng)微觀粒子的動(dòng)能效應(yīng)勢(shì)壘高度的時(shí)候，粒子依然具有一定的概率穿透到勢(shì)壘內(nèi)部?；谶@個(gè)模型，計(jì)算電子穿透深度來進(jìn)一步分析隧穿效應(yīng)在半導(dǎo)體芯片中可能帶來的影響。

1 微觀粒子的運(yùn)動(dòng)方程

觀察方程的解，可以看到在x>0區(qū)域波函數(shù)不為零，這說明了粒子具有一定的概率出現(xiàn)在這一區(qū)域，這個(gè)經(jīng)典力學(xué)的結(jié)論是截然不同的，在牛頓力學(xué)的理論中，由于粒子的動(dòng)能小于勢(shì)能，遇到勢(shì)壘時(shí)由于能量守恒，動(dòng)能不斷轉(zhuǎn)化為勢(shì)能，當(dāng)動(dòng)能為零時(shí)仍然沒有到達(dá)勢(shì)壘頂點(diǎn)，只能沿著原路徑返回，類似于反射的情況;但是量子力學(xué)給出的結(jié)論是，粒子依然會(huì)穿過勢(shì)壘，只不過概率以指數(shù)的形式衰減。

為了定量地分析這個(gè)過程，我們引入隧穿系數(shù)的概念，定義勢(shì)壘深度x處的粒子出現(xiàn)概率和勢(shì)壘界面處粒子出現(xiàn)的概率的比值為粒子穿透到x處的穿透系數(shù)，本質(zhì)上反映的是隧穿的百分比?？梢院?jiǎn)單得到隧穿系數(shù)為。

3 半導(dǎo)體器件中的量子隧穿效應(yīng)

半導(dǎo)體器件的原理都是利用半導(dǎo)體晶體管實(shí)現(xiàn)一個(gè)比特的儲(chǔ)存和操作，其基本的結(jié)構(gòu)如圖所示，源極和漏極都是半導(dǎo)體材料，其導(dǎo)電性通過柵極控制。改變柵極的電壓，可以改變柵極包覆的半導(dǎo)體材料的導(dǎo)電性，進(jìn)而控制源極和漏極之間的通斷。而整個(gè)基底材料和柵極之間由絕緣層隔開，保證二者不會(huì)漏電導(dǎo)致晶體管邏輯錯(cuò)誤。

這個(gè)原理在經(jīng)典物理的范疇內(nèi)并不會(huì)出錯(cuò)，但是如果考慮量子力學(xué)的效應(yīng)，就可能會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤，比如說柵極的電子如果通過量子隧穿透過絕緣層直接到達(dá)基底材料形成電流通路，絕緣層將形同虛設(shè)。接下來我們將基于之前的理論模型分析量子隧穿效應(yīng)對(duì)此的影響（見圖1）。

為了定量分析由于量子隧穿導(dǎo)致的絕緣層漏電問題，首先要弄清楚絕緣與導(dǎo)電在微觀層面的區(qū)別。在這里需要引入能帶這一概念，在晶體中運(yùn)動(dòng)的電子占據(jù)的能量并非是任意，而是形成許多個(gè)不同的能區(qū)，能區(qū)由十分密集的能級(jí)組成，稱為能帶，能帶與能帶間存在有禁區(qū)，稱為禁帶。若一個(gè)能帶中，所有部分都被電子填滿，稱為滿帶。不與其他空的能帶重疊的滿帶，電子在外電場(chǎng)作用下不出現(xiàn)電流，沒有導(dǎo)電作用。若能帶只填入部分電子。這些電子在外電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)將產(chǎn)生電流，稱為導(dǎo)帶。對(duì)于絕緣體而言，其電子占據(jù)的能量最高的能帶是滿帶，在電場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下不能產(chǎn)生電流，除非電子躍遷到未被電子占據(jù)的更高的能帶上去，而這一過程，可以用電子隧穿勢(shì)壘的模型來描述。我們可以將禁帶的寬度作為電子運(yùn)動(dòng)中遇到的勢(shì)壘和其動(dòng)能的差值，按照量子隧穿的模型，電子有可能穿透到勢(shì)壘的內(nèi)部，如果這個(gè)勢(shì)壘的寬度小于電子深入勢(shì)壘的有效距離，那么就可以認(rèn)為電子穿透了整個(gè)勢(shì)壘，此時(shí)絕緣體不再絕緣。

在這里，我們選取常見的半導(dǎo)體材料作為分析的對(duì)象，定義電子隧穿系數(shù)為0.001的位置作為電子的穿透深度，帶入隧穿系數(shù)為的公式中，反解可以得到電子在常見半導(dǎo)體材料制作的絕緣層中的穿透深度如表1。

可以看到，對(duì)于常見的半導(dǎo)體材料，隧穿深度都在納米的量級(jí)，也就是說，基于半導(dǎo)體材料的集成電路芯片，一旦制造尺度達(dá)到納米量級(jí)，量子隧穿效應(yīng)將會(huì)導(dǎo)致絕緣層漏電，電路發(fā)生邏輯錯(cuò)誤。作為微觀世界的基本現(xiàn)象，經(jīng)典電路無法克服這一點(diǎn)，即使改進(jìn)工藝和材料，也只能暫時(shí)避免隧穿電流的影響，一旦進(jìn)一步減小晶體管尺寸，總會(huì)有無法繞開量子隧穿的時(shí)候。此時(shí)，也只能放棄經(jīng)典電路的工作方式，基于量子力學(xué)原理來設(shè)計(jì)電路，才能進(jìn)一步地發(fā)展下去。

4 總結(jié)與展望

本課題從量子力學(xué)的基本運(yùn)動(dòng)方程，薛定諤方程出發(fā)，利用階梯勢(shì)壘地簡(jiǎn)單模型，計(jì)算了量子隧穿的隧穿系數(shù)，并且將之應(yīng)用于半導(dǎo)體材料當(dāng)中，以此計(jì)算半導(dǎo)體晶體管能夠避免量子隧穿的影響，保持正常工作的最小尺寸，結(jié)果表明常見的半導(dǎo)體材料中，電子發(fā)生量子隧穿的深度在納米量級(jí)，一旦晶體管尺寸接近這個(gè)量級(jí)，隧穿效應(yīng)導(dǎo)致的漏電將不可避免。

當(dāng)然，本文在分析的過程中為了突出主要的物理圖像而簡(jiǎn)化了細(xì)節(jié)，模型精細(xì)程度不夠，存在很多需要改進(jìn)的地方，比如利用階梯勢(shì)壘作為電子遇到絕緣層的近似模型與現(xiàn)實(shí)情況存在一定差異;再者電子在材料當(dāng)中的運(yùn)動(dòng)情況非常復(fù)雜，自由電子近似也不能精確描述這一過程;同時(shí)，半導(dǎo)體材料的能帶特征對(duì)溫度有很強(qiáng)的依賴關(guān)系，這一點(diǎn)在本文的計(jì)算中沒有詳細(xì)討論。這些都值得進(jìn)一步的探究。

參考文獻(xiàn)

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