Schwarz-Christoffel保形映射的解析和數(shù)值方法實現(xiàn)

顏昌元，歐陽培昌，孔翠香，占小根

Schwarz-Christoffel保形映射的解析和數(shù)值方法實現(xiàn)

顏昌元，歐陽培昌，*孔翠香，占小根

(井岡山大學(xué)數(shù)理學(xué)院，江西，吉安 343009)

利用對稱性和Mathematical軟件，探討了正多邊形到圓盤空間的保形映射，并用雙曲函數(shù)的泰勒展開式，粗糙得到該映射的數(shù)值計算方法。鑒于上述映射存在嚴(yán)重的crowding缺陷，本文引入Schwarz-Christoffel 數(shù)值映射方法，借助SC保形工具箱，實現(xiàn)多邊形到圓盤區(qū)域保形映射。該方法具有高精度、計算快捷、適應(yīng)面廣的特點，在工程計算和美學(xué)領(lǐng)域具有良好的應(yīng)用價值。

保形映射；Schwarz-Christoffel數(shù)值映射方法；雙曲拼貼

0 引言

若定義在一個開集上的映射是一對一和全純的(holomorphic)，則稱是保形映射(conformal mapping)，也稱為保角映射或拱形映射[1-2]。盡管在一個非空開集不能恒定地定義一個一對一的保形映射，但由于逆映射-1是全純的，這意味著，一個函數(shù)是保形的當(dāng)且僅當(dāng)它是雙全純地圖形[3-4]。任何一對相交于某一點的曲線，在保形映射作用下，圖像曲線將以相同的角度相交(這正是保角映射名字的由來)[5]。保形性可以用坐標(biāo)變換的雅可比導(dǎo)數(shù)矩陣來描述。如果變換的雅可比矩陣處處都是標(biāo)量的旋轉(zhuǎn)矩陣，則變換是保形的[6]。

直觀地講，保形映射是一個局部保留角的函數(shù)，它保持角度和無窮小的形狀，保證圖形在該映射作用前和作用后，圖形的輪廓不變。保形映射用復(fù)數(shù)來描述，會非常優(yōu)美。復(fù)平面上一個區(qū)域的保角映射是一個解析（光滑）函數(shù)，則導(dǎo)數(shù)在區(qū)域內(nèi)永不消失。因保角性，平面上正方形網(wǎng)格在保角映射下，會生成曲線正交網(wǎng)格。由于一個拉普拉斯方程的解在共形映射后，仍然是變換后的方程的解，這使得共形映射在熱傳導(dǎo)、電磁理論、空氣動力學(xué)等領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價值[7]。

Gauss在1851年提出共形映射的思想，而Riemann在他的博士論文中給出了一個現(xiàn)稱為黎曼映射定理的著名結(jié)論：在任何兩個單連通區(qū)域，存在一個的共形映射。Schwarz和Christoffel在1867和1869年各自獨立地證明一個在實用領(lǐng)域具有重要意義的Schwarz-Christoffel 保形映射：存在一個把上半平面映射到簡單多邊形內(nèi)部的保形映射[8]。Schwarz-Christoffel映射是黎曼映射定理的具體化和加強版。

一般來說，建立一個單連通區(qū)域到另一個單連通區(qū)域的具體保形映射公式是極為困難甚至不可能的，但Schwarz-Christoffel映射告訴我們，多邊形到多邊形之間的保形映射一定存在解析描述(見下節(jié)中定理1)。由于Schwarz-Christoffel映射理論的重要性和廣泛的實用價值，人們對其進(jìn)行持續(xù)和深入的研究，目前在數(shù)值上已經(jīng)建立了快速適定的計算方法[9-12]。

本文將在第一節(jié)將介紹單位圓盤到正多邊形的保形映射。第二節(jié)介紹Schwarz-Christoffel映射定理，并綜述目前影響力較大的計算軟件，粗略梳理Schwarz-Christoffel數(shù)值算法的工作要點。關(guān)于雙曲拼貼(hyperbolic tiling)的生成方法可以參考文獻(xiàn)[13-17]，本文將以雙曲拼貼網(wǎng)格作為保形映射的測試和演示案例，分別在第一節(jié)和第二節(jié)，用圖形案例演示Schwarz-Christoffel映射的保形計算效果。在第三節(jié)，將簡要概括本文工作要點，介紹本文的研究意義及擬開展的工作。

1 單位圓盤到正多邊形的保形映射

由于正多邊形的對稱性，尋找正多邊形到圓盤空間的保形映射形式，是一個很吸引人的課題，荷蘭繪畫大師Escher曾完成一幅在正方形內(nèi)部具有無窮相似對稱性的方極限(Square Limit)作品[14]。本節(jié)將探討最簡單的正多邊形到圓盤空間的保形映射的解析形式。

令＝(│＝+2+2＜1)表示單位圓盤，m表示正邊形，我們用Mathematical的計算給出單位圓盤到m的保形映射為

上面的函數(shù)由近似的泰勒展開式表示，計算上存在突出crowding效應(yīng)[18]，映射后的正多邊形圖案存在非常明顯的扭曲效應(yīng)，并且隨著邊數(shù)的增加，圖形扭曲得更加厲害，詳細(xì)結(jié)果見圖1及其說明。

圖1基于方程(1)中映射的保形映射計算效果示意圖

映射(1)只是近似的保形映射，且只能處理正多邊形區(qū)域，我們將在下一節(jié)給出精確實用的多邊形到圓盤區(qū)域的Schwarz-Christoffel數(shù)值方法。

2 Schwarz-Christoffel映射數(shù)值方法

Schwarz-Christoffel映射指將上半平面空間2＝{│＝+＞0}映射到多邊形區(qū)域。由于上半平面區(qū)域2可經(jīng)由保形變換

映射到單位圓盤空間，因此本文等價地只給出單位圓盤到多邊形區(qū)域的Schwarz- Christoffel映射方法。

設(shè)是復(fù)平面上由頂點v,v,…,v(按逆時針方向排序)確定的多邊形的內(nèi)部區(qū)域，其中απ是頂點v的內(nèi)角。我們特別要求的外角和是360度，即

由此有下面的Schwarz-Christoffel映射定理。

定理1 設(shè)是任一把單位圓盤映射到多邊形區(qū)域的保形映射，則

該定理證明參閱文獻(xiàn)[9-10,18]。由于無法預(yù)知z的信息，人們無法直接使用映射(4)。預(yù)點z散落在單位圓盤上。構(gòu)造Schwarz-Christoffel映射的關(guān)鍵一步是尋找預(yù)點z的準(zhǔn)確位置，該問題即著名的Schwarz-Christoffel映射參數(shù)問題，一旦該問題得到解決，(4)中的參數(shù)和，以及保形映射和它的逆映射都可以相應(yīng)解決。

求解映射(4)中有兩個值得注意的地方：一，除了一些非常簡單的多邊形外，這個公式需要一個沒有閉合形式的積分。二，一般情況下，預(yù)點z并無解析解決辦法，數(shù)值上，它涉及求解一組非線性方程組。上述問題的解決在計算科學(xué)得到長足發(fā)展的近期，才成為可能。

隨著計算機(jī)計算進(jìn)步和數(shù)值算法的研究積累，目前人們建立了若干經(jīng)濟(jì)實用的軟件，諸如SCPACK，ZIPPER，SC等等。本文將應(yīng)用SC實現(xiàn)保形映射(4)的求解。SC是基于MATLAB語言，用于求解Schwarz-Christoffel映射的一個交互式數(shù)值分析和科學(xué)計算軟件，它的交互性和強大圖形功能，使得計算比以往更容易和更靈活。

本文求解映射(4)所調(diào)用的函數(shù)共涉及SC工具箱中的polygon，diskmap和evalinv這三個函數(shù)，它們的具體使用方法請參閱SC的幫助文獻(xiàn)[18]。

圖2和圖3是本文的計算效果示意圖。圖2中，考慮的是正多邊形到單位圓盤的Schwarz-Christoffel映射結(jié)果。第一排給出的是龐加萊空間中具有(3,4,3)，(4,4,4)，(8,5,3) 和(12,2,3)對稱性的拼貼圖，第二排是對應(yīng)拼貼網(wǎng)格圖映射到正三，正四和正八和正十二邊形區(qū)域中的結(jié)果?？梢钥吹綀D2中映射結(jié)果不存在像圖1中的crowding扭曲現(xiàn)象，不管是最簡單正三邊形還是較為復(fù)雜的正十二邊形，映射結(jié)果都非常理想(本文的計算結(jié)果精確到小數(shù)點后八位數(shù)，足以滿足大多數(shù)工程場合需求)。

圖2 基于方程(4) 中Schwarz-Christoffel數(shù)值映射方法的計算效果示意圖

圖 2中，第一排從左到右分別是雙曲空間龐加萊模型中具有(3,4,3)，(4,4,4)，(8,5,3) 和(12,2,3)對稱性的拼貼圖。第二排從左到右分別是對應(yīng)上一排拼貼圖映射到正三、正四和正八和正十二邊形區(qū)域中的結(jié)果。

圖3 基于方程(4) 中Schwarz-Christoffel數(shù)值映射方法的計算效果示意圖

圖3中，第一排從左到右分別是雙曲空間龐加萊模型中具有(6,4,2) ，(5,15,2)和(9,2,3)對稱性的拼貼圖。第二排從左到右分別是對應(yīng)上一排拼貼圖映射到雙等邊三角形疊加、五角星和鉆石區(qū)域中的結(jié)果。

在圖3中，我們測試了Schwarz-Christoffel映射(4)在更復(fù)雜區(qū)域的效果圖。第一排給出的是分別具有(6,4,2)，(5,15,2)和(9,2,3)對稱性的拼貼圖，再把上述拼貼分別映射到雙等邊三角形疊加、五角星和鉆石區(qū)域中，可以看到映射結(jié)果非常理想(特別是對于復(fù)雜的五角星案例)。

3 小結(jié)

利用正多邊形對稱性，本文用Mathematical求解正多邊形到單位圓盤的解析型保形映射，并利用泰勒展開式和雙曲函數(shù)給出該映射的計算方法。計算結(jié)果如圖1顯示，該方法存在突出的crowding效應(yīng)。針對上述缺陷，本文給出數(shù)值Schwarz-Christoffel映射方法，并借用現(xiàn)有的SC工具箱，實現(xiàn)其計算細(xì)節(jié)。計算結(jié)果顯示從圖2和圖3，本文方法精確快速好用，即便是對于復(fù)雜如五角星或鉆石型區(qū)域，也能理想地避免crowding效應(yīng)。

數(shù)值Schwarz-Christoffel映射方法在空氣動力學(xué)、電磁理論和熱傳導(dǎo)等領(lǐng)域具有重要的實用價值。本文給出Schwarz-Christoffel映射方法的實現(xiàn)細(xì)節(jié)，對非數(shù)學(xué)專業(yè)的工程領(lǐng)域?qū)W者具有一定參考價值。另外，從計算結(jié)果可以看到，數(shù)值保形映射具有良好的美學(xué)意義，我們將在今后挖掘Schwarz-Christoffel保形映射的美學(xué)價值。

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Analytical and Numerical Method Implementation of Conformal Schwarz-Christoffel Mapping

YAN Chang-yuan, OUYANG Pei-chang,*KONG Cui-xiang, ZHAN Xiao-gen

(School of Mathematics and Physics, Jinggangshan University, Ji’an, Jiangxi 343009, China)

Using symmetry and Mathematical, this paper investigates the conformal mapping between circle disc and regular polygons. The mapping is roughly realized by the Taylor expansion of Hyper function. Because this method has serous crowing defect, we introduce numerical Schwarz-Christoffel mapping method and use SC tool to realize it. The latter method has the characteristics of high precision, fast calculation and wide adaptability, which has good application value in engineering calculation and aesthetics.

conformal mapping; numerical Schwarz-Christoffel mapping method; hyperbolic tiling

TP391

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2019.05.001

1674-8085(2019)05-0001-05

2019-03-13；

2019-05-20

國家自然科學(xué)基金項目(11461035，11761039)；江西省教育廳科技計劃項目(GJJ160749)；吉安市科技局(吉市科計字[2014]36號12)；(JZB1303)；井岡山大學(xué)校級課題(JZ1802)

顏昌元(1980-)，男，湖北洪湖人，助教，碩士，主要從事有限群研究(E-mail:yanyuan05@outlook.com);

歐陽培昌(1980-)，男，江西贛州人，副教授，博士，主要從事計算機(jī)可視化研究(E-mail: g_fcayang@163.com);

*孔翠香(1978-)，女，陜西渭南人，講師，碩士，主要從事計算機(jī)應(yīng)用、計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)研究(E-mail:jxjgskcxy@163.com);

占小根(1980-)，男，江西上饒人，講師，碩士，主要從事時間序列研究(E-mail: xiaogenzhan@163.com).